趙雙雙，郭嗣琮

遼寧工程技術(shù)大學理學院，遼寧阜新 123000

含模糊修復(fù)速率的生產(chǎn)庫存模型

趙雙雙，郭嗣琮

遼寧工程技術(shù)大學理學院，遼寧阜新 123000

1 引言

經(jīng)典的EPQ模型，通過確定最優(yōu)的生產(chǎn)批量來實現(xiàn)降低總成本的目的，它通常假設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品完好無損。但現(xiàn)實生產(chǎn)過程中，往往由于機器故障、人員失誤等原因，使得生產(chǎn)的過程中含有缺陷產(chǎn)品。而缺陷產(chǎn)品的存在會對最佳生產(chǎn)批量產(chǎn)生一定的影響，因此研究含有缺陷產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存問題對于企業(yè)的成功發(fā)展至關(guān)重要。

目前在含有缺陷產(chǎn)品的生產(chǎn)庫存問題中，已有很多學者做出了研究。文獻[1]在假設(shè)缺陷率為常數(shù)的情況下，研究了允許缺貨和不允許缺貨兩種情況下的單周期生產(chǎn)庫存模型；文獻[2]基于檢驗速度的不同，建立了兩種含模糊缺陷率的經(jīng)濟生產(chǎn)批量問題；文獻[3]在考慮缺貨的情況下，給出了含有模糊缺陷率的生產(chǎn)庫存模型的優(yōu)化求解方法，并探討了缺陷率對生產(chǎn)批量的影響；文獻[4]建立了庫存有限且含隨機缺陷率的兩種EPQ模型；文獻[5]研究了含有均勻分布的缺陷率且缺陷產(chǎn)品可全部修復(fù)為合格品的EPQ模型；文獻[6]在假設(shè)缺陷率服從正態(tài)分布情況下，研究了缺陷產(chǎn)品可重新生產(chǎn)為合格產(chǎn)品的EPQ模型；文獻[7]在假設(shè)生產(chǎn)過程中出現(xiàn)缺陷產(chǎn)品和廢品，而缺陷產(chǎn)品可以全部修復(fù)的EPQ模型；文獻[8]研究了庫存有限且缺陷產(chǎn)品可修復(fù)的模糊生產(chǎn)庫存模型；文獻[9]分析了缺陷率隨機且缺陷產(chǎn)品可修復(fù)的EPQ模型；文獻[10]研究了含有一定比例的缺陷產(chǎn)品和一定比例的廢品且缺陷產(chǎn)品可全部修復(fù)的EPQ模型；文獻[11]在文獻[2]的基礎(chǔ)上進行了擴充，研究了缺陷產(chǎn)品可修復(fù)的EPQ模型；文獻[12]討論了缺陷產(chǎn)品可修復(fù)的模糊生產(chǎn)庫存模型。

文獻[1-4]所研究的EPQ問題雖然均考慮了缺陷產(chǎn)品的存在，但沒有考慮對缺陷產(chǎn)品的重新生產(chǎn)問題；文獻[5-12]研究了對缺陷產(chǎn)品進行修復(fù)的生產(chǎn)庫存模型，但修復(fù)速率均為常數(shù)。然而，在實際生產(chǎn)過程中，由于生產(chǎn)過程中的人為失誤、機器故障等因素，會產(chǎn)生缺陷產(chǎn)品，而往往缺陷產(chǎn)品的損壞程度是具有不確定性的，進而直接導(dǎo)致修復(fù)速率的不確定性，因此修復(fù)速率應(yīng)為一個模糊變量；在以往諸多的模糊EPQ模型求解過程中，均涉及到了形如A～+B～X=0方程的求解，但在通常的模糊數(shù)運算過程中，此類方程是沒有意義的，因為等式左端為一些模糊數(shù)的四則運算，其結(jié)果應(yīng)仍為模糊數(shù)，而等式右端是一個精確數(shù)。因此，它不是普通意義下的模糊線性方程，而是在限定運算[13]意義下的一種新的模糊方程，即一種模糊限定線性方程。

綜上所述，考慮到修復(fù)速度的不確定性，本文對已有的含有缺陷產(chǎn)品的EPQ模型進行了修改，建立了含有模糊修復(fù)速率且允許缺貨的EPQ模型，為實現(xiàn)總成本的最小化，在求解過程中，運用模糊結(jié)構(gòu)元[14]對模糊限定線性方程進行求解，進而確定模型的最優(yōu)生產(chǎn)批量。

2 預(yù)備知識

2.1 限定運算

設(shè)Aλ為模糊數(shù)A～的λ截集，對于二元算子*，相應(yīng)的限定算子*R被定義為：

2.2 模糊結(jié)構(gòu)元

定義2.2.1對模糊集E而言，若它的隸屬函數(shù)E(x)有下列性質(zhì)：

（1）E(0)=1；

（2）在[-1,0)上E(x)單增右連續(xù)函數(shù)，在(0,1]上是單降左連續(xù)函數(shù)；

（3）當-∞＜x＜-1或者1＜x＜+∞時，E(x)=0。則將E稱作模糊結(jié)構(gòu)元。

若模糊結(jié)構(gòu)元E滿足：①?x∈(-1,1)，E(x)＞0；②在[-1,0)上E(x)是連續(xù)且嚴格單調(diào)增的，在(0,1]上是連續(xù)且嚴格單調(diào)降的，則稱E為正則模糊結(jié)構(gòu)元。若E(-x)=E(x)，則稱E為對稱的。

定理2.2.1對于給定的正則模糊結(jié)構(gòu)元E和任意有界閉模糊數(shù)A～，總存在一個在[-1,1]上單調(diào)有界的函數(shù)f，使得=f(E)。

2.3 模糊限定線性方程及結(jié)構(gòu)元表示

3 含模糊修復(fù)速率的EPQ模型的建立

3.1 模型假設(shè)與符號說明

模型假設(shè)：（1）允許缺貨，缺貨量在下一生產(chǎn)周期補充；（2）產(chǎn)品檢驗周期內(nèi)不會發(fā)生缺貨；（3）整個生產(chǎn)周期的所有產(chǎn)品都需要檢驗，檢驗合格品在滿足需求的同時，對上期缺貨進行最大可能地補充；（4）僅考慮單一產(chǎn)品，需求連續(xù)；（5）缺陷產(chǎn)品經(jīng)修復(fù)后，將廢品一次性低價處理。

表1 各變量及其含義

3.2 模型建立

在實際生產(chǎn)過程中，鑒于生產(chǎn)速率與檢驗速率存在兩種大小關(guān)系，本文將按生產(chǎn)速率與檢驗速率的兩種大小關(guān)系對模型進行分類討論。

模型1當檢驗速率小于生產(chǎn)速率時，即V＜p，庫存量狀態(tài)圖如圖1所示。在[0,t1]時間內(nèi)，為缺貨期，缺貨量以速率D增加，在t1時刻形成最大缺貨量S0，并以速率p開始生產(chǎn)，且對所生產(chǎn)的產(chǎn)品以速率V進行檢驗，檢驗合格的產(chǎn)品不僅要滿足需求，而且要最大限度地補充缺貨；[t1,t2]時間內(nèi)，庫存量以速率p-V(1-m)增加，缺貨量以速率V(1-m)-D減少，在t2時刻缺貨量補充完畢；[t2,t3]時間內(nèi)，庫存量以速率p-D增加，且在t3時刻，停止生產(chǎn)，達到最大庫存量S；[t3,t4]時間內(nèi)，庫存量以需求速率D減少，在t4時刻，全部產(chǎn)品檢驗完畢，此時立即將缺陷品mQ以速率p*進行修復(fù)，并以速率V對修復(fù)后的產(chǎn)品進行檢驗；[t4,t5]時間內(nèi)，庫存量以速率p*-D增加，在t5時刻，缺陷產(chǎn)品修復(fù)完畢；[t5,t6]時間內(nèi)，庫存以需求速率D減少，在t6時刻，修復(fù)產(chǎn)品檢驗完畢，立即將廢品mxQ以低價一次性處理；[t6,t]時間內(nèi)，庫存量繼續(xù)以速率D減少，在t時刻庫存量降為0，直到再次形成最大缺貨量S0，開始下一周期的生產(chǎn)。

圖1 V＜p時庫存量狀態(tài)

由以上模型分析有：

周期t內(nèi)的總成本由生產(chǎn)成本、訂貨成本、修復(fù)成本、檢驗成本、缺貨成本及庫存持有成本組成，故單位時間的總成本函數(shù)：

當修復(fù)速率p*為模糊變量時，單位時間的模糊總成本函數(shù)：

模型2當檢驗速率不小于生產(chǎn)速率時，即V≥p。由于V≥p，所以，產(chǎn)品與缺陷品的生產(chǎn)停止時刻等于其檢驗完畢時刻，即t3=t4,t5=t6。

4 基于結(jié)構(gòu)元理論的模糊EPQ模型求解

4.1 模型求解

采用模糊結(jié)構(gòu)元方法進行求解，并應(yīng)用Hessian矩陣的正定性來確定最小總成本的存在性。

具體求解步驟如下：

步驟1求單位時間模糊總成本函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)

由式（8），得：

步驟2給出各模糊參數(shù)的結(jié)構(gòu)元表示

由定理2.2.1可知，給定任意的正則模糊結(jié)構(gòu)元E，則存在[-1,1]上的單調(diào)函數(shù)f(x)有

步驟3應(yīng)用極值原理求最優(yōu)生產(chǎn)批量

利用極值原理，令式（10）、（11）等于零，求得：

步驟4驗證最小模糊生產(chǎn)成本的存在性

單位時間模糊總成本的Hessian矩陣可表示為：

4.2 結(jié)果分析

5 實例

某生產(chǎn)加工廠單位產(chǎn)品生產(chǎn)成本20元，單位產(chǎn)品修復(fù)成本4元，單位產(chǎn)品檢驗成本1元，單位產(chǎn)品的缺貨費10元，單位產(chǎn)品的日庫存持有成本5元，每周期的訂貨成本100元，市場的日需求量200件，日生產(chǎn)量400件，缺陷率為0.1，廢品率為0.3，缺陷產(chǎn)品的日修復(fù)量（480，500，520）件。試求產(chǎn)品的日檢驗量V=300時，求該加工廠的最優(yōu)生產(chǎn)批量。

算例分析：

由圖2所示，隨著修復(fù)速率的模糊度的減小，最優(yōu)生產(chǎn)批量的模糊度也減小。這是由于當訂貨到達時，如果修復(fù)速率的模糊度越大，那么相應(yīng)的不合格品被修復(fù)的越慢，即合格品越少，則在該訂貨周期內(nèi)不能被滿足的需求數(shù)量越大，即該周期內(nèi)的缺貨量越大，而該周期內(nèi)的缺貨量將會在下一周期內(nèi)進行填補，所以會導(dǎo)致下一周期的生產(chǎn)批量增大。

圖2 修復(fù)速率對最佳生產(chǎn)批量的影響

由圖3所示，單位時間總成本的模糊度隨著修復(fù)速率的模糊度的減小而減小。這是由于修復(fù)速率的模糊度越大，那么相應(yīng)的不合格品被修復(fù)的越慢，即不合格產(chǎn)品越多，則在該訂貨周期內(nèi)的不合格產(chǎn)品大量被持有，使得持有成本增加，進而導(dǎo)致該周期的生產(chǎn)總成本增加。

圖3 修復(fù)速率對單位時間總成本的影響

6 結(jié)論

（1）在以往的缺陷品可進行修復(fù)的模糊EPQ模型基礎(chǔ)上，鑒于缺陷產(chǎn)品的損壞程度的不確定性，對模型中的修復(fù)速度進行了模糊化。

（2）探討了基于兩種檢驗速度的含模糊修復(fù)速率的模糊生產(chǎn)庫存問題，并給出了基于模糊結(jié)構(gòu)元理論進行模糊生產(chǎn)總成本最小化的求解方法，同時，通過模糊生產(chǎn)總成本的Hessian矩陣的正定性驗證了模糊生產(chǎn)成本最小值的存在性。

（3）通過具體的實例，證明了本文提出的EPQ問題模型的結(jié)構(gòu)元解法具有較強的現(xiàn)實意義，且方法行之有效。結(jié)果表明，在一定的修復(fù)速率內(nèi)，最佳生產(chǎn)批量的模糊度隨著修復(fù)速率的模糊度的減小而減小。因此，在實際生產(chǎn)過程中，需要認真對企業(yè)生產(chǎn)庫存條件進行分析，合理地確定修復(fù)速率的模糊度，以便獲得盡可能準確的預(yù)測值。

（4）在今后的工作中，將進一步針對缺陷率及修復(fù)速率均為模糊數(shù)的生產(chǎn)庫存模型進行研究。

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ZHAO Shuangshuang,GUO Sicong

College of Science,Liaoning Technical University,Fuxin,Liaoning 123000,China

This paper studies the problem of the Economic Production Quantity（EPQ）with repairable imperfect items and fuzzy repairable rate;The optimal production policies are determined using fuzzy structured element theory to solve the fuzzy models;The optimal production quantity with fuzzy structured element is obtained;The positive definite characteristic of Hessian matrix shows that the objective function has the minamal production inventory cost at the optimal production quantity point;The relationship between model and classical EPQ is revealed through theoretical analysis;A numerical example is given to illustrate the feasibility of using the fuzzy mathematics to solve the inventory problem.

Economic Production Quantity（EPQ）;fuzzy structuring element;fuzzy defective rate;rework;shortage

研究了缺陷產(chǎn)品可修復(fù)且修復(fù)速率為模糊變量情況下的生產(chǎn)庫存模型；給出了基于模糊結(jié)構(gòu)元理論的求解模糊庫存總成本最小化的方法步驟；得到了含有模糊結(jié)構(gòu)元的最佳生產(chǎn)批量的表達式；應(yīng)用Hessian矩陣的正定性驗證了最小成本的存在性；分析了其與經(jīng)典EPQ公式之間的聯(lián)系；最后通過具體算例，證明了模型求解方法的可行性。

生產(chǎn)庫存模型；模糊結(jié)構(gòu)元；缺陷率；修復(fù)；缺貨

A

O159；O227

10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0231

ZHAO Shuangshuang,GUO Sicong.Economic Production Quantity（EPQ）with fuzzy repairable rate.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：233-237.

教育部高校博士學科點專項科研基金（No.20102121110002）。

趙雙雙（1990—），女，碩士研究生，研究領(lǐng)域為模糊庫存；郭嗣琮（1951—），男，教授，研究領(lǐng)域為模糊分析學、模糊預(yù)算與決策等。E-mail：460519959@qq.com

2014-02-21

2014-06-12

1002-8331（2014）22-0233-05

CNKI網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版：2014-06-24,http://www.cnki.net/kcms/doi/10.3778/j.issn.1002-8331.1402-0231.html