廖慧敏，譚滿春

暨南大學數(shù)學系，廣州 510632

不確定線性系統(tǒng)新的穩(wěn)定性準則

廖慧敏，譚滿春

暨南大學數(shù)學系，廣州 510632

1 引言

時滯現(xiàn)象經(jīng)常存在于網(wǎng)絡控制系統(tǒng)、自動化系統(tǒng)、通信系統(tǒng)、運輸系統(tǒng)等許多動態(tài)系統(tǒng)中。由于時滯會導致系統(tǒng)的不穩(wěn)定性和性能變差，因此時滯的穩(wěn)定性得到了廣泛的關注[1-25]。

為得到時滯系統(tǒng)的穩(wěn)定性準則，許多學者提出了不同的方法[1-12]。文獻[1-2]通過引入自由權矩陣來處理Lyapunov函數(shù)導數(shù)中的相關項，優(yōu)勢在于不必對交叉項進行處理，但引入過多的變量會增加計算的復雜度。文獻[3-4]采用Jensen積分不等式對交叉項進行放大處理。文獻[5-6]構造含有三重積分項的新型Lyapunov函數(shù)，并結合積分不等式法或自由權矩陣方法。文獻[7-8]利用時滯中點法，用時滯區(qū)間的中點(h1+h2)/2把時滯區(qū)間分割成相等的兩個區(qū)間，再充分利用積分不等式等方法。

基于上述研究成果，本文不同于文獻[7-8]，不再把時滯分割成相等的兩區(qū)間，而用分割點h=λh1+(1-λ)h2將時滯區(qū)間分割成任意兩段。通過構造新的Lyapunov函數(shù)，并結合積分不等式，得到了新的穩(wěn)定性準則。本方法引入了狀態(tài)向量x(t-h)，含有更多的時滯區(qū)間信息。通過數(shù)值實例說明本文方法的有效性和較小的保守性。

本文符號說明：I表示單位矩陣，Rn表示n維歐式空間，Rn×m表示n×m矩陣，T表示矩陣轉(zhuǎn)置，*表示矩陣相應的對稱部分，對任意矩陣A,B,A＞B表示矩陣A-B是正定矩陣。

2 問題描述

考慮如下不確定系統(tǒng)：

本文定理證明將用到如下引理：

3 主要結果

備注1系統(tǒng)最大允許時滯上界的大小與λ的精度有關。假設λ的精度為0.01，由于0＜λ＜1，那么λ的值是0.01，0.02，…，0.99。把每個λ的值作為已知數(shù)，由上述定理，利用MATLAB的LMI工具箱，可以求得相應的最大允許時滯上界，取這些最大允許時滯上界的最大值做為系統(tǒng)的最大允許時滯上界。為求得更大的系統(tǒng)最大允許時滯上界，可以提高λ的精度，但這樣會增加計算的復雜度，需要更多的計算時間。

4 數(shù)值實例

例1考慮具有如下系數(shù)矩陣的不確定線性系統(tǒng)：

當假設λ的精度為0.1。當h1=0時，對不同的時滯變化率d，系統(tǒng)式（1）最大允許時滯上界h2值見表1。當d=0.1時，文獻[15]的最大允許時滯上界為1.107 5,而由定理1，令λ=0.5，計算得到最大允許時滯上界為1.178 2。由表1知，與文獻[14-15]相比，本文方法具有較小保守性。

表1 h?1=0時，對不同d的最大允許時滯上界

例2考慮具有如下系數(shù)矩陣的不確定線性系統(tǒng)：

假設λ的精度為0.01。當d=0.5,h1=0時，由定理1，系統(tǒng)式（1）在λ=0.55時取得系統(tǒng)的最大允許時滯上界h2=2.194 0。當d=0.5,h1=1時，系統(tǒng)式（1）在λ=0.31時取得系統(tǒng)的最大允許時滯上界h2=2.279 2，見表2。當d=0.2,h1=0時，系統(tǒng)在λ=0.48時取得最大允許時滯上界為3.293 6，見表3。由表2，3可知，在h1較小的情況下，與文獻[7-8]相比，本文方法具有較小保守性。

表2 d=0.5時，對不同h1的最大允許時滯上界

表3 d=0.2,h1=0時，最大允許時滯上界

5 結論

本文研究了帶有區(qū)間時滯的不確定線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。利用時滯分割法，通過構造適當Lyapunov函數(shù)，并結合積分不等式，得到了不確定線性系統(tǒng)新穩(wěn)定性的準則。數(shù)值實例表明，新的穩(wěn)定性準則具有更小的保守性。

[1]Qiu Fang，Cui Baotong，Ji Yan.Further results on robust stability of neutral systems with mixed time-varying delays and nonlinear perturbations[J].Nonlinear Analysis：Real World Applications，2010，11（2）：895-906.

[2]Liang Yuanxin.Robust stability for uncertain neutral systems with time-varying and distributed delays[C]//Seventh International Conference on Computational Intelligence and Security，2011：321-324.

[3]Sarabi F E，Momeni H R.Less conservative delay-dependent robust stability criteria for linear time-delay systems[C]// International Conference on Electronics Computer Telecommunications and Information Technology，2010：738-741.

[4]Ramakrishnan K，Ray G.Robust stability criteria for uncertain linear systems with interval time-varying delay[J].J Control Theory Appl，2011，9（4）：559-566.

[5]Sun Jian，Chen Jie，Liu G P.Delay-range-dependent and rate-range-dependent stability criteria for linear systems with time-varying delays[C]//Joint 48th IEEE Conference on Decision and Control and 28th Chinese Control Conference，Shanghai，China，2009：251-256.

[6]Sun J，Liu G P，Chen J，et al.Improved stability criteria for linear systems with time-varying delay[J].IET Control Theory Appl，2010，4（4）：683-689.

[7]Peng C，Tian Y C.Improved delay-dependent robust stability criteria for uncertain systems with interval timevarying delay[J].IET Control Theory Appl，2008，2（9）：752-761.

[8]Zhao Xia，Song Jin，Tian Engang，et al.Delay-dependent stability analysis for linear system with time-varying delay：a PAM method[C]//Chinese Control and Decision Conference，2009：1422-1426.

[9]Zhang Ao，Xu Zhaodi，Liu Dong.New stability criteria for neutral systems with interval time-varying delays and nonlinear perturbations[C]//27th Chinese Control and Decision Conference，2011：2995-2999.

[10]Tan Manchun.Global asymptotic stability of fuzzy cellular neural networks with unbounded distributed delays[J]. Neural Processing Letters，2010，31（2）：147-157.

[11]Tan Manchun.Exponential convergence behavior of fuzzy cellular neural network with distributed delay and timevarying coefficients[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2009，19（7）：2455-2462.

[12]Tan M C，Su Z Y.Exponential stability analysis of neural networks with variable delays[J].International Journal of Bifurcation and Chaos，2010，20（5）：1541-1549.

[13]Guo Liangdong，Gu Hong，Jun Xing，et al.Asymptotic and exponential stability of uncertain system with interval delay[J].Applied Mathematics and Computation，2012，218（19）：9997-10006.

[14]Peng C，Tian Y C.Delay-dependent robust stability criteria for uncertain systems with interval time-varying delay[J]. JournalofComputationalandAppliedMathematics，2008，214（2）：480-494.

[15]Wang Cheng，Shen Yi.Improved delay-dependent robust stability criteria for uncertain time delay systems[J]. Applied Mathematics and Computation，2011，218（6）：2880-2888.

[16]He Y，Wang Q，Lin C G，et al.Delay-range-dependent stability for systems with time-varying delay[J].Automatica，2007，43（2）：371-376.

[17]Shao Hanyong.New delay-dependent stability criteria for systems with interval delay[J].Automatica，2009，45（3）：744-749.

[18]Kwon O M，Park M J，Park J H，et al.New delay-partitioning approaches to stability criteria for uncertain neutral systems with time-varying delays[J].Journal of the Franklin Institute，2012，349（9）：2799-2823.

[19]Qiu Fang，Cui Baotong，Ji Yan.A delay-dividing approach to stability of neutral systems with mixed delays and nonlinear perturbations[J].Applied Mathematical Modelling，2010，34（11）：3701-3707.

[20]Liu Pinlin.A delay decomposition approach to robust stability analysis of uncertain systems with time-varying delay[J].ISA Transactions，2012，51（6）：694-701.

[21]Chen Huabin.New delay-dependent stability criteria for uncertain stochastic neural networks with discrete interval and distributed delays[J].Neurocomputing，2013，101（4）：1-9.

[22]Ramakrishnan K，Ray G.Robust stability criteria for a class of uncertain discrete-time systems with time-varying delay[J].Applied Mathematical Modelling，2013，37（3）：1468-1479.

[23]Chen Huabin，Zhang Yong，Zhao Yang.Stability analysis for uncertain neutral systems with distributed delays[J]. Applied Mathematical and Computation，2012，218（23）：11351-11361.

[24]Xia Nan，Jia Yingmin.Delay distribution dependent stability criteria for interval time-varying delay systems[J]. Journal of the Franklin Institute，2012，349（10）：3142-3158.

[25]Zheng Min，F(xiàn)ei Minrui，Li Yang.Improved stability criteria for uncertain delayed neural networks[J].Neurocomputing，2012，98（3）：34-39.

LIAO Huimin,TAN Manchun

Department of Mathematics,Jinan University,Guangzhou 510632,China

The stability problem for uncertain linear systems with interval time-varying delay is studied.Based on the delaydividing approach,the delay interval is partitioned into two subintervals.By constructing an appropriate Lyapunov function and using integral inequalities,some delay-dependent stability criteria are obtained.Numerical examples are given to illustrate the effectiveness of the results.

uncertain linear systems;Lyapunov function;delay-dependent;stability

研究了帶有區(qū)間時滯的不確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。通過采用時滯分割法，把時滯區(qū)間分割成任意兩小段，并構造恰當?shù)腖yapunov函數(shù)，利用積分不等式，得到了新的時滯相關的穩(wěn)定性準則。通過數(shù)值例子驗證了結果的有效性。

不確定線性系統(tǒng)；Lyapunov函數(shù)；時滯依賴；穩(wěn)定性

A

TP13；O213.2

10.3778/j.issn.1002-8331.1212-0016

LIAO Huimin,TAN Manchun.New stability criteria for uncertain linear systems.Computer Engineering and Applications,2014,50（22）：256-259.

廣東省自然科學基金（No.S201201001036）；廣東省科學計劃項目（No.2009B011400046）。

廖慧敏（1987—），男，碩士研究生，主要研究方向：系統(tǒng)優(yōu)化與控制；譚滿春（1968—），男，教授，碩士生導師，主要研究方向：系統(tǒng)優(yōu)化與控制。E-mail：tanmc@jnu.edu.cn

2012-12-03

2013-02-18

1002-8331（2014）22-0256-04

CNKI網(wǎng)絡優(yōu)先出版：2013-03-13，http://www.cnki.net/kcms/detail/11.2127.TP.20130313.0950.011.html