逯光輝,周 疆

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆 烏魯木齊 830046)

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)μ是定義在d上的正Radon測度且滿足下面的增長條件: 對于所有的x∈d,r>0,都有

μ(B(x,r))≤C0rn,

(1)

其中:C0,n是正數(shù)且 00,滿足μ(B(x,2r))≤Cμ(B(x,r)),則稱μ是倍測度.

近年來,關(guān)于Calderón-Zygmund算子和函數(shù)空間的許多經(jīng)典結(jié)果在測度為僅滿足式(1)的Radon測度時(shí)被證明仍然成立. 詳見文獻(xiàn)[1-6]. 本文主要討論參數(shù)型Marcinkiewicz 積分以及交換子在廣義Morrey空間的有界性.

設(shè)方體Q?d,Q是閉的且平行于坐標(biāo)軸,用表示其中心,l表示其邊長,并且記Q(μ)為所有滿足μ(Q)>0的全體方體. 設(shè)α>1,β>αn,如果μ(αQ)≤βμ(Q),稱Q為(α,β)倍方體. 這里αQ表示與Q同心且邊長為l(αQ)=αl(Q)的方體. 若α與β無特別說明,所有的倍方體均為(2,2d+1)-倍方體.

其中:NQ,R是使得l(2kQ)≥l(R)成立的最小正整數(shù)k. 有關(guān)KQ,R的性質(zhì)詳見文獻(xiàn)[7].

設(shè)K(x,y)是定義在d×d{(x,y):x=y}上的局部可積函數(shù)且滿足下列條件:存在常數(shù)C>0,使得對所有的x,y∈d且x≠y有

|K(x,y)|≤C|x-y|-(n-1),

(2)

以及對任意的x,y,y′∈d,有

(3)

定義關(guān)于上述K(x,y)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分算子為

d,ρ>0.

(4)

設(shè)函數(shù)b∈RBMO(μ),定義相應(yīng)的參數(shù)型Marcinkiewicz積分交換子為

d,ρ>0.

(5)

Hu,Lin和Yang[4]引入了一類比式(3)更強(qiáng)的H?rmander條件

(6)

基于此,得到了由Marcinkiewicz積分算子M和RBMO(μ)函數(shù)生成的Marcinkiewicz交換子M(f)在Lp(μ)空間中的有界性.

定義1 設(shè)k>1,1≤p<∞,φ:(0,+∞)→(0,+∞)是一個(gè)增函數(shù). 定義廣義Morrey空間Lp,φ(k,μ)為

其中f在廣義Morrey空間上的Lp,φ(n,μ)的范數(shù)為

引理1 設(shè)k1>k2>1,1≤p<∞,φ:(0,+∞)→(0,+∞) 是一個(gè)增函數(shù),則存在一個(gè)僅以k1,k2,d有關(guān)的常數(shù)Ck1,k2,d,使得

需要說明的是,Lp,φ(k1,μ)與Lp,φ(k2,μ)的范數(shù)是等價(jià)的.

2 Mρ(f)在廣義Morrey空間中的有界性

引理2 設(shè)1

‖Mρ(f)‖Lp(μ)≤C‖f‖Lp(μ).

引理3 設(shè)φ:(0,+∞)→(0,+∞)的函數(shù)且滿足對所有的r>0有

定理1 設(shè)1

(7)

(8)

(9)

則存在常數(shù)C,使得

‖Mρ(f)‖Lp,φ(μ)≤C‖(f)‖Lp,φ(μ).

證明對任意固定的Q∈Q(μ)及f∈Lp,φ(μ),將f分解為f=f1+f2,其中f1=fχ2Q. 于是有

Ⅰ1+Ⅰ2.

首先估計(jì)Ⅰ1,由引理 2,有

那么對Ⅰ2,有

由H?lder不等式以及式(1),(7)和(9),有

最后來估計(jì)Ⅱ2,根據(jù)引理 3,有

于是由式(7)得

結(jié)合Ⅰ1和Ⅰ2估計(jì),完成了定理 1的證明.

定義2 設(shè)ν>1,b∈Lloc(μ). 如果存在常數(shù)C>0,使得對于任意中心在supp(μ)中的方體Q,有

則稱b∈RBMO(μ). 其中Q′表示形如2kQ(k∈ N)的最小倍方體,mQ′(b)表示b在方體Q′上的平均,即

稱滿足上述條件的最小常數(shù)C為b的RBMO(μ)范數(shù),簡記為‖b‖*.

Tolsa[7]指出RBMO(μ)的定義與參數(shù)ν>1的選取無關(guān),并且滿足下面的引理.

引理4 若1≤p<∞,1≤ν<∞,則b∈RBMO(μ)當(dāng)且僅當(dāng)存在C>0,使得當(dāng)Q∈d時(shí),有

對于任意2個(gè)倍方體Q?R,有|mQ(b)-mR(b)|≤KQ,R‖b‖*. 當(dāng)方體Q,R可以比較時(shí),KQ,R是有界的.

證明對任意固定的Q∈Q(μ)及f∈Lp,φ(μ),將f分解為f=f1+f2,其中f1=fχ2Q.則有

Ⅲ1+Ⅲ2.

首先估計(jì)Ⅲ1,由引理 5,有

Ⅲ1≤C‖b‖*‖(f)‖Lp,φ(μ).

對于Ⅲ2,有

類似于定理 1的證明,對Ⅲ21,得

對于Ⅳ1,

最后來估計(jì)Ⅳ2,

于是由引理 4和條件(7)得

C‖b‖*‖f‖Lp,φ(μ).

結(jié)合Ⅲ1和Ⅲ2的估計(jì),完成了定理 2的證明.

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