尹建東,葉 飛

(南昌大學(xué)數(shù)學(xué)系,江西 南昌 330031)

本文稱(X,f)為一個(gè)緊致系統(tǒng),若X為緊致度量空間,f為X上的連續(xù)自映射. 偽軌跟蹤性質(zhì)研究的是在一個(gè)連續(xù)自映射下的偽軌能否被跟蹤的問(wèn)題. 偽軌跟蹤性質(zhì)與系統(tǒng)的穩(wěn)定性態(tài)和混沌性態(tài)都有著密切的聯(lián)系,在動(dòng)力系統(tǒng)的定性理論中有重要的應(yīng)用. 對(duì)于偽軌跟蹤性質(zhì)的研究已有一系列重要成果[1-3].例如文獻(xiàn)[1]對(duì)具有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)的緊致系統(tǒng),研究了偽軌跟蹤性與Takens-Ruelle 意義下混沌、拓?fù)浠旌弦约靶再|(zhì)P之間的關(guān)系; 文獻(xiàn)[2]給出了緊致空間上具有偽軌跟蹤性的滿射具有完全正熵的一個(gè)必要條件.文獻(xiàn)[3]利用遍歷理論討論了具有偽軌跟蹤性質(zhì)系統(tǒng)的動(dòng)力性質(zhì). 更多關(guān)于偽軌跟蹤方面的研究見(jiàn)文獻(xiàn)[4-6]及其中所引文獻(xiàn).

在文獻(xiàn)[1-3]的基礎(chǔ)上,引進(jìn)了兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì),并研究了具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)系統(tǒng)的動(dòng)力性狀,得到一些有意思的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

如果對(duì)于每一對(duì)非空開(kāi)集U和V,都存在一個(gè)N>0,使得對(duì)任意的n>N,都有fn(U)∩V≠φ,則稱f是拓?fù)浠旌系?

定義1[1]如δ>0,?i∈Z+,0≤n1

如果對(duì)于x,y∈X,ε>0,存在X上的一個(gè)有限ε偽軌{x0,x1,…,xn},使得x0=x,xn=y,則稱{x0,x1,…,xn}為一個(gè)從x到y(tǒng)的ε鏈,n+1稱為該ε鏈的長(zhǎng)度.

如果對(duì)任意的x,y∈X,ε>0,都存在一個(gè)從x到y(tǒng)的ε鏈,則稱f是鏈可遷的.

如果對(duì)任意的x,y∈X,ε>0,總存在一個(gè)正整數(shù)N,使得當(dāng)n≥N時(shí),總有一個(gè)長(zhǎng)度為n從x到y(tǒng)的ε鏈,則稱f是鏈混合的.

定義2[7]設(shè)(Y,g)也是一個(gè)緊致系統(tǒng),如果存在同胚映射h:X→Y,使得

h°f=g°h,

則稱f和g拓?fù)涔曹?記作f?g.

定義3[7]設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),d是X的一個(gè)拓?fù)涠攘?X0?X非空,如果存在不可數(shù)集合S?X0,滿足

我們說(shuō)f在X0上是在Li-Yorke意義下混沌的.這里的S亦稱作“f的混沌集”,如果f在X上混沌,簡(jiǎn)稱f是Li-Yorke混沌的.

定義4[1]令ε>0,{xn1,xn1+1,…,xn2}為f的一個(gè)δ偽軌,如果存在x∈X,使得對(duì)任意的0≤i≤n2-ni,都有d(fi(x),xn1+i)<ε,則稱點(diǎn)x相對(duì)于f—ε跟蹤δ偽軌{xn1,xn1+1,…,xn2}.如果對(duì)任意的ε>0,總存在δ>0,使得f的任意一個(gè)δ偽軌總能被X中的某點(diǎn)相對(duì)于f—ε跟蹤,則稱f滿足偽軌跟蹤性質(zhì).

定義5[2]設(shè)x∈X,如果對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)d(x,y)<δ時(shí),d(fn(x),fn(y))<ε對(duì)一切n∈Z+成立,則稱x是f的一個(gè)穩(wěn)定點(diǎn).若X中每點(diǎn)都是穩(wěn)定的,則稱f點(diǎn)態(tài)穩(wěn)定.如果X中每一點(diǎn)都不是f的穩(wěn)定點(diǎn),則稱f是滿足敏感依賴初始條件.

如f是拓?fù)鋫鬟f的且滿足敏感依賴于初始條件,則稱f在Takens-Ruelle意義下是混沌的.

定義6[8]如果對(duì)任意ε>0,存在δ>0,使得對(duì)任意的x,y∈X,當(dāng)d(x,y)<δ時(shí),d(fn(x),fn(y))<ε,?n∈Z+,則稱f是等度連續(xù)的.

定義7 設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),如果對(duì)任給的ε>0,存在δ>0,使得對(duì)于X中的任意δ偽軌{x0,x1,…,xn},存在x∈X,使得x—ε兩點(diǎn)跟蹤{x0,x1,…,xn},即d(x,x0)<ε且d(fn(x),xn)<ε,則稱f具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

2 主要結(jié)論及證明

定理1 設(shè)(X,f)是一個(gè)具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)的緊致系統(tǒng),f是鏈傳遞的,則f是拓?fù)鋫鬟f的.

證明設(shè)U,V是X中的非空開(kāi)集,取x∈U,y∈V,則存在δ>0,使得B(x,δ)?U,B(y,δ)?V,這里

B(x,δ)={z∈X|d(x,z)<δ},

B(y,δ)={η∈X|d(y,η)<δ},

從而

于是fm(z0)∈fm(U)∩V,因此f是拓?fù)鋫鬟f的.

定理2 設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),f是鏈混合的且具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì),則f是拓?fù)浠旌系?

又f是鏈混合的,針對(duì)上述δ,存在M>0,使得對(duì)任意的n≥M,存在從x到y(tǒng)的長(zhǎng)度為n的δ偽軌{y0,y1,…,yn},其中y0=x,yn=y.由f的兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)可知,存在x0∈X,使得

1.2.1 0 統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用EpiData數(shù)據(jù)庫(kù)管理軟件建立數(shù)據(jù)庫(kù),應(yīng)用SPSS 17.0軟件進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。計(jì)數(shù)資料用構(gòu)成比(%)表示,采用X2檢驗(yàn),檢驗(yàn)水準(zhǔn)α定義為0.05(雙側(cè))。

于是fn(x0)∈fn(U)∩V,?n≥M.因此fn(U)∩V≠φ,?n≥M,所以f是拓?fù)浠旌系?

注:設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),因?yàn)槿鬴是拓?fù)浠旌系?則f是Li-Yorke混沌的,f是修改的Devaney混沌的,即Takens-Ruelle混沌的[4].因此在定理2的條件下,f是Li-Yorke混沌的且在Takens-Ruelle意義下是混沌的.

定理3 設(shè)(X,f),(Y,g)是兩個(gè)緊致系統(tǒng),f與g拓?fù)涔曹?則f具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)蘊(yùn)含g也是具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

證明設(shè)d1,d2分別為X,Y上的度量,h是從f到g的拓?fù)涔曹椨成?即h:X→Y同胚且h°f=g°h.于是對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得當(dāng)x1,x2∈X且d1(x1,x2)<δ時(shí),有d2(h(x1),h(x2))<ε.又f具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì),針對(duì)上述δ>0,存在δ1>0,使得f的任一δ1偽軌{x0,x1,…,xn},存在x∈X滿足

d1(x,x0)<δ,d(fn(x),xn)<δ.

又注意到h-1存在且為同胚映射,從而對(duì)于上述δ1,存在δ2>0,使得對(duì)任意的y1,y2∈Y,當(dāng)d2(y1,y2)<δ2時(shí),有d1(h-1(y1),h-1(y2))<δ1.下設(shè){y0,y1,…,ym}是g的任一δ2偽軌,即

d2(g(yi),yi+1)<δ2,i=0,1,…,m-1.

則

d1(h-1(g(yi)),h-1(yi+1))=d1(f(h-1(yi)),

h-1(yi+1))<δ1,i=0,1,…,m-1,

即{h-1(y0),h-1(y1),…,h-1(ym)}是f的一個(gè)δ1偽軌.由f的兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)得,存在x∈X,使得

d1(x,h-1(y0))<δ,d(fm(x),h-1(ym))<δ.

于是

d2(h(x),y0)<ε,

d2(hfm(x),ym)=d2(gm(h(x)),ym)<ε.

令y=h(x)∈Y,則y—ε兩點(diǎn)跟蹤{y0,y1,…,ym}.所以g也具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

定理4 設(shè)(X,f),(Y,g)是兩個(gè)緊致系統(tǒng)且均具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì),則(X×Y,f×g)也具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

即

i=0,1,…,k-1.

于是,

所以{x0,x1,…,xk}被(x,y)—ε兩點(diǎn)跟蹤.從而(X×X,f×g)具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

推論設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),則f具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)(X×X,f×f)具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

證明只需在定理4中令Y=X,g=f即可.

定理5 設(shè)(X,f)是一個(gè)緊致系統(tǒng),如果f具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì),則對(duì)任意的k∈Z+,fk具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì).

證明設(shè)k>0為任一正整數(shù).因?yàn)閒具有兩點(diǎn)偽軌跟蹤性質(zhì)，所以對(duì)任意的ε>0,存在δ>0,使得f的任一δ偽軌可被X中的某點(diǎn)—ε跟蹤. 令{x0,x1,…,xn}為fk的任一δ偽軌,即

d(fk(xi),xi+1)<δ,i=0,1,…,n-1.

令yki+j=fj(xi)(0≤j

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