李 曉 冬

(包頭師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，內(nèi)蒙古 包頭 014030)

Stirling數(shù)和Bernoulli數(shù)在分析、組合數(shù)學(xué)、數(shù)論及近似計(jì)算等方面均有廣泛應(yīng)用。一直以來是人們感興趣的研究課題，Bernoulli數(shù)是18世紀(jì)由瑞士數(shù)學(xué)家Jakob Bernoulli所定義。Stirling數(shù)的概念，由James Stirling于1730年提出的，并在他的著作《Methodus Differentialis》中首次使用。1933Ch.Jordan在他的一篇論文中對(duì)Stirling數(shù)做了徹底的闡述，并給出了一些Stirling數(shù)重要性質(zhì)。本文主要目的是在Bernoulli數(shù)與第二類Stirling數(shù)關(guān)系的基礎(chǔ)上,獲得包含 Bernoulli 多項(xiàng)式Bn(x)、第二類Stirling 數(shù)的恒等式。

1 Stirling數(shù)

定義1：設(shè)x為實(shí)變?cè)?x)0=1，(x)n=x(x-1)(x-2)…(x-n+1)(n=1,2,…)。

(x)n叫做實(shí)變?cè)獂的n次降階乘，顯見(x)n是x的n次多項(xiàng)式。以S1(n,k)表示(x)n的展開式中xk的系數(shù)，S1(n,k)稱為第一類Stirling數(shù)。

定理1：xn可由(x)0,(x)1,…,(x)n線性表出且表示法唯一。

定義3：令ΔmOr=Δmnr|n=0,ΔmOr稱為零的差分。

2 Bernoulli數(shù)及Bernoulli多項(xiàng)式

(1)

定理4:當(dāng)n>1時(shí)，有B2n+1=B2n+1(0)=0.

定理5:求當(dāng)n很小時(shí)候的Bernoulli數(shù)Bn,根據(jù)

有

另一方面，有

注意到定理4中所述的B3=B5=B7=…=0，比較二者的系數(shù)可知：

定理6:試求低價(jià)的Bernoulli多項(xiàng)式

B0(x)=B0(0)=B0=1,

3 S2(n,k)與Bn(x)的關(guān)系

〔參考文獻(xiàn)〕

[1]曹汝成.組合數(shù)學(xué)[M].廣州:華南理工大學(xué)出版社 1999.

[2]劉建軍 與Bernoulli數(shù)相關(guān)的一組計(jì)數(shù)恒等式 [J].遼寧大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002，29(4)，301—303.

[3]黃清.Bernoulli多項(xiàng)式的性質(zhì)和計(jì)算 [J].杭州師范學(xué)院學(xué)報(bào),2000，6，43-46.

[4]李曉冬.Bernoulli數(shù)Bn與第二類Stirling數(shù)S2(n,k)的關(guān)系[J].太原師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011，4,29-31.

[5]John Riordan.Combinatorial Identities[M].NewYork:Roberte Krieger Publishine Company Huntington,1979.