華沛

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467000）

復(fù)雜表面問(wèn)題的有限元計(jì)算與分析

華沛

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467000）

本文通過(guò)對(duì)復(fù)雜接觸表面問(wèn)題、流固耦合方程組以及邊界條件切觸不確定性的分析詳細(xì)探討了復(fù)雜表面問(wèn)題的有限元計(jì)算與分析，希望能夠?yàn)榕鲎舶踩珳y(cè)試中最優(yōu)接觸問(wèn)題的計(jì)算方法研究提供幫助.

復(fù)雜接觸表面；流固耦合方程組；邊界條件切觸不確定性；有限元

引言：近年來(lái)，隨著經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，我國(guó)在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的研究越來(lái)越精確化.有限元算法（F E A）在科研測(cè)試中也逐漸變得重要.就目前來(lái)看，有限元計(jì)算法在接觸表面問(wèn)題的數(shù)值計(jì)算中已經(jīng)獲得廣泛的應(yīng)用，其中較為典型的例子就是在三維立方元模型高性能前處理計(jì)算中的應(yīng)用.三維立方元模型的計(jì)算以算法作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，分為隱式以及顯式，其中隱式算法主要就是求出聯(lián)立方程組的聯(lián)解，在計(jì)算中常有難以收斂的情況發(fā)生，改重算法的優(yōu)點(diǎn)在于能夠?qū)Ρ砻娼佑|節(jié)點(diǎn)邊界條件進(jìn)行精確的計(jì)算.對(duì)于顯式算法來(lái)說(shuō)，在計(jì)算中不需要對(duì)聯(lián)立方程求解，缺點(diǎn)在于受穩(wěn)定性限制.總之，就目前對(duì)復(fù)雜表面問(wèn)題的有限元計(jì)算分析來(lái)看，立方元相關(guān)的計(jì)算是主要的研究方向，同時(shí)也是力學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的隨機(jī)模型重要的參考對(duì)象.

1 復(fù)雜接觸表面問(wèn)題

對(duì)于復(fù)雜接觸表面問(wèn)題主要可以從兩個(gè)方面進(jìn)行研究分析，即從確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析以及蜂窩多孔復(fù)合材料的應(yīng)用和算法結(jié)果，下面對(duì)此進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析探討：

1.1 確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析

確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析，主要可以分為三個(gè)步驟，第一步就是對(duì)于涉及時(shí)間變量的初邊值問(wèn)題的分析，對(duì)與時(shí)間變量初邊值的處理基本就是依靠有限元方法求解的基本思想，也就是分開(kāi)處理涉及到的時(shí)間變量以及與空間變量，使用有限元法的離散化對(duì)空間變量進(jìn)行處理計(jì)算，從而得到與初值相關(guān)的常微分方程組.第二步驟，對(duì)第一步驟中有關(guān)的時(shí)間變量的處理，對(duì)于時(shí)間變量的處理是不同于空間變量的，時(shí)間變量的處理主要是應(yīng)用差分方法的離散化，從而得到線性代數(shù)方程組.第三步，利用確定性模型的工程試驗(yàn)相關(guān)的數(shù)據(jù)庫(kù)，綜合第一步和第二步所得的時(shí)間和空間相關(guān)變量的初邊值可以確定離散系統(tǒng)隨機(jī)初邊值條件，進(jìn)而對(duì)該離散系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的運(yùn)算，進(jìn)而能夠取得相應(yīng)研究對(duì)象，比如像應(yīng)力、塑性變形率以及常見(jiàn)的碰撞加速度控制等相關(guān)的各種分布函數(shù)的高精度解.

1.2 蜂窩多孔復(fù)合材料的應(yīng)用和算法結(jié)果

對(duì)于有限元計(jì)算方法在蜂窩多孔復(fù)合材料（如圖2所示的力學(xué)結(jié)構(gòu)圖）這種典型復(fù)雜表面問(wèn)題中的應(yīng)用計(jì)算來(lái)說(shuō)，重要的問(wèn)題是對(duì)動(dòng)力方程中相關(guān)的多尺度算法的計(jì)算規(guī)模的考慮，主要方法就是在蜂窩多孔材料區(qū)域耦合方程中，對(duì)時(shí)間變量做處理時(shí)，加強(qiáng)對(duì)積分變換的應(yīng)用，同時(shí)對(duì)帶有關(guān)于蜂窩多孔材料的參數(shù)的新耦合方程進(jìn)行合理的多尺度分析，以求得易于計(jì)算多尺度的算法.不僅如此，在對(duì)蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的表面問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以應(yīng)用三維網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計(jì)算.

圖1 蜂窩多孔復(fù)合材料區(qū)域上耦合彈塑性方程的算法結(jié)果

2流固耦合方程組

在復(fù)雜表面問(wèn)題的有限元計(jì)算中，流固耦合方程組也是整個(gè)計(jì)算中重要的環(huán)節(jié)，流固耦合方程組是對(duì)復(fù)雜表面性質(zhì)進(jìn)行描述的基礎(chǔ)，也是計(jì)算的方法之一，下面就從流固耦合方程組的離散系統(tǒng)和復(fù)雜接觸表面的計(jì)算方法這兩方面進(jìn)行簡(jiǎn)單分析：

2.1 流固耦合方程組

流固耦合方程組對(duì)于復(fù)雜接觸表面的問(wèn)題來(lái)說(shuō)，主要起到媒介的作用，也就是可以通過(guò)流固耦合方程組進(jìn)行描述的同時(shí)，還能對(duì)流固耦合方程組進(jìn)行計(jì)算，從研究的角度來(lái)說(shuō)，主要表現(xiàn)在下面的兩個(gè)方面：在工程材料科學(xué)中的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)變量的基礎(chǔ)之上，以對(duì)非牛頓P－T／T方程所表現(xiàn)的處理特性為切入點(diǎn)，分析復(fù)雜接觸表面的外延以及簡(jiǎn)單剪切速率的阻力；以Cauchy守恒方程為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)方程的計(jì)算可以得出，在宏觀與微觀應(yīng)力場(chǎng)中因素τ分布發(fā)生變化時(shí)，所產(chǎn)生的彈塑性材料變形的基本情況，其中關(guān)于移動(dòng)邊界層在時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值結(jié)果如圖2所示.

圖2 三維碰撞模型中接觸表面移動(dòng)邊界層，部分時(shí)間節(jié)點(diǎn)上的結(jié)果

2.2 復(fù)雜接觸表面的計(jì)算方法

通過(guò)分析可以得知，對(duì)復(fù)雜表面問(wèn)題處理時(shí)可以以非牛頓耦合方程模型為基礎(chǔ)進(jìn)行探究，具體可以通過(guò)非牛頓耦合方程模型隨機(jī)邊界層的特點(diǎn)來(lái)分析研究，并以此研究為基礎(chǔ)，對(duì)相關(guān)研究的任意元素的計(jì)算進(jìn)行數(shù)值仿真.具體的來(lái)說(shuō)也就是應(yīng)用人工邊界法數(shù)值來(lái)求解非線性外問(wèn)題，從而達(dá)到對(duì)復(fù)雜接觸表面的計(jì)算.但是，應(yīng)用該種計(jì)算方法時(shí)應(yīng)該注意的是，人工邊界法數(shù)值求解非線性外問(wèn)題，其基礎(chǔ)是在得到人工邊界上相對(duì)于該非線性問(wèn)題相關(guān)的準(zhǔn)確近似的邊界條件.該邊界條件一般來(lái)說(shuō)就是未知函數(shù)及其微商相對(duì)于與計(jì)算相關(guān)的人工邊界的非線性積分方程.

3 邊界條件切觸不確定性

對(duì)于復(fù)雜接觸表面處理的有限元的計(jì)算與分析中，邊界條件切觸的不確定性也是整個(gè)計(jì)算中的重點(diǎn)難點(diǎn)，下面就從邊界條件切觸不確定性的邊界層特征函數(shù)和邊界層的外解漸進(jìn)分析以及內(nèi)解漸進(jìn)分析進(jìn)行闡述：

邊界層的特征函數(shù).在復(fù)雜表面問(wèn)題中利用邊界層理論對(duì)有限元接觸邊界相關(guān)的非線性特征函數(shù)基進(jìn)行探討，這是對(duì)復(fù)雜表面問(wèn)題進(jìn)行有限元計(jì)算的關(guān)鍵點(diǎn)之一.簡(jiǎn)單的說(shuō)就是以邊界層外解與內(nèi)解逼近為基礎(chǔ)，通過(guò)對(duì)非線性邊界條件的匹配方法，得到跳躍條件特征值譜P與參數(shù)R，G，N及χ的關(guān)系，進(jìn)而得到了復(fù)雜表面有限元后處理的優(yōu)化基函數(shù)外解的漸近分析.邊界條件切觸性對(duì)于漸近分析，主要就是針對(duì)外解問(wèn)題微分方程（方程一）而言，通過(guò)該方程的分析，可得到相關(guān)的彈性方程以及耦合方程組在復(fù)雜接觸表面層厚中當(dāng)δ→0時(shí)，將會(huì)喪失方程或方程組的橢圓性，這也就是構(gòu)造新的空間，去討論光滑解相關(guān)的收斂性.因此，就外解的漸近分析而言，邊界層外穩(wěn)態(tài)約束場(chǎng)是好的逼近.

內(nèi)解的漸近分析.對(duì)于內(nèi)解的漸近分析，主要是對(duì)邊界層內(nèi)解的計(jì)算，即是通過(guò)對(duì)非線性相關(guān)的耦合方程進(jìn)行線性變換，同時(shí)對(duì)傅立葉進(jìn)行調(diào)和分析，在引入新的參數(shù)的情況下，將邊界相關(guān)的三維流體動(dòng)力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為一維復(fù)空間的階微分方程，方程如下：

通過(guò)對(duì)方程的分析與計(jì)算，可以確定復(fù)雜接觸表面的非線性有限元特征函數(shù)基，進(jìn)而能夠保證其在復(fù)雜表面有限元相關(guān)計(jì)算中的的穩(wěn)定與收斂.

4結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，在對(duì)復(fù)雜表面問(wèn)題進(jìn)行有限元計(jì)算與分析時(shí)，計(jì)算的方法和基礎(chǔ)就在于去采用流固耦合非牛頓流體方程對(duì)復(fù)雜表面的初邊值求解三維層結(jié)構(gòu)特性，同時(shí)可以利用變分原理的攝動(dòng)問(wèn)題的有限元方法，在已經(jīng)研發(fā)使用的高性能軟件平臺(tái)對(duì)所得數(shù)據(jù)實(shí)現(xiàn)挖掘處理，得到有效的結(jié)果.此外，復(fù)雜接觸表面的有限元計(jì)算，還可以利用基于漸近攝動(dòng)方法，以及邊界層理論進(jìn)行研究，從而得到可解的微分方程特征的函數(shù)空間，此種方法也可以用來(lái)優(yōu)化有限元基函數(shù)的解，達(dá)到對(duì)復(fù)雜表面問(wèn)題做有限元計(jì)算的目的.

〔1〕林群，周俊明，陳竤燾．橢圓形方程四面體線元的超逼近與外推 [J].數(shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009，39（15）：200－208．

〔2〕林群，謝和虎，羅福生，等.Stokes方程非協(xié)調(diào)混合元的特征值下界 [J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010，40（19）：157－168.

〔3〕李開(kāi)泰，黃愛(ài)香，黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2005．

O241.1

A

1673-260X（2014）04-0005-02