華沛

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467000）

復(fù)雜表面問題的有限元計算與分析

華沛

（河南城建學(xué)院，河南 平頂山 467000）

本文通過對復(fù)雜接觸表面問題、流固耦合方程組以及邊界條件切觸不確定性的分析詳細(xì)探討了復(fù)雜表面問題的有限元計算與分析，希望能夠為碰撞安全測試中最優(yōu)接觸問題的計算方法研究提供幫助.

復(fù)雜接觸表面；流固耦合方程組；邊界條件切觸不確定性；有限元

引言：近年來，隨著經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展，我國在科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域的研究越來越精確化.有限元算法（F E A）在科研測試中也逐漸變得重要.就目前來看，有限元計算法在接觸表面問題的數(shù)值計算中已經(jīng)獲得廣泛的應(yīng)用，其中較為典型的例子就是在三維立方元模型高性能前處理計算中的應(yīng)用.三維立方元模型的計算以算法作為分類的標(biāo)準(zhǔn)，分為隱式以及顯式，其中隱式算法主要就是求出聯(lián)立方程組的聯(lián)解，在計算中常有難以收斂的情況發(fā)生，改重算法的優(yōu)點在于能夠?qū)Ρ砻娼佑|節(jié)點邊界條件進(jìn)行精確的計算.對于顯式算法來說，在計算中不需要對聯(lián)立方程求解，缺點在于受穩(wěn)定性限制.總之，就目前對復(fù)雜表面問題的有限元計算分析來看，立方元相關(guān)的計算是主要的研究方向，同時也是力學(xué)與經(jīng)濟(jì)學(xué)等相關(guān)領(lǐng)域的隨機(jī)模型重要的參考對象.

1 復(fù)雜接觸表面問題

對于復(fù)雜接觸表面問題主要可以從兩個方面進(jìn)行研究分析，即從確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析以及蜂窩多孔復(fù)合材料的應(yīng)用和算法結(jié)果，下面對此進(jìn)行簡單的分析探討：

1.1 確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析

確定性模型之上的隨機(jī)邊界條件分析，主要可以分為三個步驟，第一步就是對于涉及時間變量的初邊值問題的分析，對與時間變量初邊值的處理基本就是依靠有限元方法求解的基本思想，也就是分開處理涉及到的時間變量以及與空間變量，使用有限元法的離散化對空間變量進(jìn)行處理計算，從而得到與初值相關(guān)的常微分方程組.第二步驟，對第一步驟中有關(guān)的時間變量的處理，對于時間變量的處理是不同于空間變量的，時間變量的處理主要是應(yīng)用差分方法的離散化，從而得到線性代數(shù)方程組.第三步，利用確定性模型的工程試驗相關(guān)的數(shù)據(jù)庫，綜合第一步和第二步所得的時間和空間相關(guān)變量的初邊值可以確定離散系統(tǒng)隨機(jī)初邊值條件，進(jìn)而對該離散系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)化的運(yùn)算，進(jìn)而能夠取得相應(yīng)研究對象，比如像應(yīng)力、塑性變形率以及常見的碰撞加速度控制等相關(guān)的各種分布函數(shù)的高精度解.

1.2 蜂窩多孔復(fù)合材料的應(yīng)用和算法結(jié)果

對于有限元計算方法在蜂窩多孔復(fù)合材料（如圖2所示的力學(xué)結(jié)構(gòu)圖）這種典型復(fù)雜表面問題中的應(yīng)用計算來說，重要的問題是對動力方程中相關(guān)的多尺度算法的計算規(guī)模的考慮，主要方法就是在蜂窩多孔材料區(qū)域耦合方程中，對時間變量做處理時，加強(qiáng)對積分變換的應(yīng)用，同時對帶有關(guān)于蜂窩多孔材料的參數(shù)的新耦合方程進(jìn)行合理的多尺度分析，以求得易于計算多尺度的算法.不僅如此，在對蜂窩夾層結(jié)構(gòu)的表面問題進(jìn)行計算時，可以應(yīng)用三維網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值計算.

圖1 蜂窩多孔復(fù)合材料區(qū)域上耦合彈塑性方程的算法結(jié)果

2流固耦合方程組

在復(fù)雜表面問題的有限元計算中，流固耦合方程組也是整個計算中重要的環(huán)節(jié)，流固耦合方程組是對復(fù)雜表面性質(zhì)進(jìn)行描述的基礎(chǔ)，也是計算的方法之一，下面就從流固耦合方程組的離散系統(tǒng)和復(fù)雜接觸表面的計算方法這兩方面進(jìn)行簡單分析：

2.1 流固耦合方程組

流固耦合方程組對于復(fù)雜接觸表面的問題來說，主要起到媒介的作用，也就是可以通過流固耦合方程組進(jìn)行描述的同時，還能對流固耦合方程組進(jìn)行計算，從研究的角度來說，主要表現(xiàn)在下面的兩個方面：在工程材料科學(xué)中的相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)變量的基礎(chǔ)之上，以對非牛頓P－T／T方程所表現(xiàn)的處理特性為切入點，分析復(fù)雜接觸表面的外延以及簡單剪切速率的阻力；以Cauchy守恒方程為基礎(chǔ)，通過對方程的計算可以得出，在宏觀與微觀應(yīng)力場中因素τ分布發(fā)生變化時，所產(chǎn)生的彈塑性材料變形的基本情況，其中關(guān)于移動邊界層在時間節(jié)點上的數(shù)值結(jié)果如圖2所示.

圖2 三維碰撞模型中接觸表面移動邊界層，部分時間節(jié)點上的結(jié)果

2.2 復(fù)雜接觸表面的計算方法

通過分析可以得知，對復(fù)雜表面問題處理時可以以非牛頓耦合方程模型為基礎(chǔ)進(jìn)行探究，具體可以通過非牛頓耦合方程模型隨機(jī)邊界層的特點來分析研究，并以此研究為基礎(chǔ)，對相關(guān)研究的任意元素的計算進(jìn)行數(shù)值仿真.具體的來說也就是應(yīng)用人工邊界法數(shù)值來求解非線性外問題，從而達(dá)到對復(fù)雜接觸表面的計算.但是，應(yīng)用該種計算方法時應(yīng)該注意的是，人工邊界法數(shù)值求解非線性外問題，其基礎(chǔ)是在得到人工邊界上相對于該非線性問題相關(guān)的準(zhǔn)確近似的邊界條件.該邊界條件一般來說就是未知函數(shù)及其微商相對于與計算相關(guān)的人工邊界的非線性積分方程.

3 邊界條件切觸不確定性

對于復(fù)雜接觸表面處理的有限元的計算與分析中，邊界條件切觸的不確定性也是整個計算中的重點難點，下面就從邊界條件切觸不確定性的邊界層特征函數(shù)和邊界層的外解漸進(jìn)分析以及內(nèi)解漸進(jìn)分析進(jìn)行闡述：

邊界層的特征函數(shù).在復(fù)雜表面問題中利用邊界層理論對有限元接觸邊界相關(guān)的非線性特征函數(shù)基進(jìn)行探討，這是對復(fù)雜表面問題進(jìn)行有限元計算的關(guān)鍵點之一.簡單的說就是以邊界層外解與內(nèi)解逼近為基礎(chǔ)，通過對非線性邊界條件的匹配方法，得到跳躍條件特征值譜P與參數(shù)R，G，N及χ的關(guān)系，進(jìn)而得到了復(fù)雜表面有限元后處理的優(yōu)化基函數(shù)外解的漸近分析.邊界條件切觸性對于漸近分析，主要就是針對外解問題微分方程（方程一）而言，通過該方程的分析，可得到相關(guān)的彈性方程以及耦合方程組在復(fù)雜接觸表面層厚中當(dāng)δ→0時，將會喪失方程或方程組的橢圓性，這也就是構(gòu)造新的空間，去討論光滑解相關(guān)的收斂性.因此，就外解的漸近分析而言，邊界層外穩(wěn)態(tài)約束場是好的逼近.

內(nèi)解的漸近分析.對于內(nèi)解的漸近分析，主要是對邊界層內(nèi)解的計算，即是通過對非線性相關(guān)的耦合方程進(jìn)行線性變換，同時對傅立葉進(jìn)行調(diào)和分析，在引入新的參數(shù)的情況下，將邊界相關(guān)的三維流體動力學(xué)方程轉(zhuǎn)換為一維復(fù)空間的階微分方程，方程如下：

通過對方程的分析與計算，可以確定復(fù)雜接觸表面的非線性有限元特征函數(shù)基，進(jìn)而能夠保證其在復(fù)雜表面有限元相關(guān)計算中的的穩(wěn)定與收斂.

4結(jié)束語

綜上所述，在對復(fù)雜表面問題進(jìn)行有限元計算與分析時，計算的方法和基礎(chǔ)就在于去采用流固耦合非牛頓流體方程對復(fù)雜表面的初邊值求解三維層結(jié)構(gòu)特性，同時可以利用變分原理的攝動問題的有限元方法，在已經(jīng)研發(fā)使用的高性能軟件平臺對所得數(shù)據(jù)實現(xiàn)挖掘處理，得到有效的結(jié)果.此外，復(fù)雜接觸表面的有限元計算，還可以利用基于漸近攝動方法，以及邊界層理論進(jìn)行研究，從而得到可解的微分方程特征的函數(shù)空間，此種方法也可以用來優(yōu)化有限元基函數(shù)的解，達(dá)到對復(fù)雜表面問題做有限元計算的目的.

〔1〕林群，周俊明，陳竤燾．橢圓形方程四面體線元的超逼近與外推 [J].數(shù)學(xué)實踐與認(rèn)識，2009，39（15）：200－208．

〔2〕林群，謝和虎，羅福生，等.Stokes方程非協(xié)調(diào)混合元的特征值下界 [J].數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010，40（19）：157－168.

〔3〕李開泰，黃愛香，黃慶懷.有限元方法及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2005．

O241.1

A

1673-260X（2014）04-0005-02