文/楊愛民+劉春鳳+崔玉環(huán)+張煥成

摘 要：首先介紹了樣條的起源和基本的樣條理論，隨后討論了樣條理論在數(shù)值計算方法中的應用。在應用中教師主要從樣條的插擬合、數(shù)值微積分、微分方程數(shù)值解和積分方程數(shù)值解四個方面論述了樣條理論在數(shù)值計算中的應用，從而突出了樣條理論在數(shù)值計算中的重要性。

關(guān)鍵詞：樣條；插值；擬合；數(shù)值方法；微分方程解法

樣條函數(shù)作為計算幾何中表示和逼近幾何對象的基本工具，幾十年來有了長足的發(fā)展。1946年，I.J.Schoenberg ［1］在做數(shù)據(jù)的平滑處理時提出了B樣條，并系統(tǒng)地研究了一元樣條函數(shù)，并指出一元三次樣條函數(shù)的力學觀點，即彈性細梁在集中載荷作用下小撓度彎曲變形曲線的數(shù)學模型，這也是“樣條函數(shù)”命名的由來。時至今日，樣條函數(shù)的應用越來越廣泛，樣條函數(shù)和有限元有著密切的聯(lián)系。

一、樣條理論的簡介

樣條函數(shù)（Spline Function）最早來源于美國數(shù)學家舍恩伯格（I.J.Schocnberg），他在1946年的文章中以研究無窮區(qū)間上等距結(jié)點的平滑問題（即數(shù)據(jù)光滑插值問題）為背景引入了樣條函數(shù)，但是I.J.Schocnberg的工作剛開始時并未受到重視，從60年代開始，隨著計算機技術(shù)的飛速發(fā)展，研究樣條函數(shù)的熱潮才漸漸興起，當時它與計算機輔助設(shè)計相結(jié)合，應用在外形設(shè)計方面。到70年代得到迅速發(fā)展，經(jīng)過半個多世紀的發(fā)展，樣條函數(shù)作為一類靈巧而有效的數(shù)學工具已被廣泛應用于計算幾何、數(shù)值插值、逼近，數(shù)值微分、積分等數(shù)學與工程的各個領(lǐng)域。數(shù)十年的理論和實踐表明，樣條是一類特別有效的逼近工具。

二、樣條函數(shù)在數(shù)值計算中的應用

1.三次樣條插值與擬合

在數(shù)值計算中許多實際問題都存在某些特定的數(shù)量關(guān)系y=f（x），其中相當一部分函數(shù)是通過實驗觀測得到的，雖然f（x）在某個區(qū)間上是存在的甚至是連續(xù)的，但通過實驗只能得到一些散亂的數(shù)據(jù)點。有的函數(shù)雖然有函數(shù)解析式，但由于解析式的形式復雜使使用不方便。為此需要構(gòu)造一些滿足給定條件且表達式簡單的插值函數(shù) ［2］。

2.數(shù)值微分與積分

當函數(shù)f（x）為類表函數(shù)或圖示函數(shù)時，尋找函數(shù)某點的微商，只能借助數(shù)值方法。根據(jù)樣條函數(shù)誤差估計公式，可以知道用f（x）的插值三次樣條公式s（x）的微商s′（x）來替f ′（x）時，其誤差為°（h3），其中h表示劃分區(qū)間段中長度最大者，所以用s′（x）來替f′（x）很合適。特別當劃分是等距的，h為相鄰兩結(jié)點間的距離時，各結(jié)點xi處有f′（xi）=s′（xi）=■

3.常微分方程的樣條函數(shù)解法

W. G. Bickley提出求解兩點邊值問題的數(shù)值方法 ［3］。E. A. Al-Said利用一元三次樣條給出求解一類二階邊值問題（一階導項缺失） 的數(shù)值方法［4］，以及Arshad Khan利用參數(shù)三次樣條求解同類問題的數(shù)值方法［5］。E. A. Al-Said的方法歸結(jié)為求逼近解析解的一元三次樣條函數(shù)，通過樣條函數(shù)計算出各結(jié)點上的數(shù)值解，并證明了該方法是二階收斂的。Arshad Khan構(gòu)造了二階邊值問題的差分格式，并通過不同的參數(shù)選取，分別獲得二階和四階收斂的數(shù)值方法，并且在適當?shù)膮?shù)選取下退化為Bickley的方法[3]和Usmani基于四次樣條給出的四階方法［6］。

在S24（Δ（2）mn）中的均勻B-樣條在求解偏微分方程數(shù)值解中。利用S24（Δ（2）mn）中兩組具有高度對稱性的均勻B-樣條給出了求Poisson方程數(shù)值解。并利用這兩組B-樣條所構(gòu)造的擬插值算子討論數(shù)值解的誤差估計。具體數(shù)值算例也顯示了這種方法的有效性和高精度，類似的方法還可以用在其他類型的偏微分方程數(shù)值解中。

注：本文為國家科技計劃項目創(chuàng)新方法專項 “科學思維、科學方法在高校教學創(chuàng)新中的應用與實踐”（NO.2009IM010400）、河北省高等學校人文社會科學研究教育規(guī)劃項目“五環(huán)式大學數(shù)學教學模式的研究與實踐”（NO.GH132044）、高等學校大學數(shù)學教學研究與發(fā)展中心教學改革項目“開放課程背景下基于應用型人才培養(yǎng)的大學數(shù)學教學改革的研究與實踐”、河北聯(lián)合大學教育教學改革項目（NO.z1202-02，NO. Y1336-06）的研究成果。

參考文獻：

［1］J. Schoenberg. Contributions to the problem of approximation of equidistant data by analytic function, Quart［J］. Applied Mathematics, 1946, 4: 45-99,112-141.

［2］王省富. 樣條函數(shù)及其應用［M］. 西北工業(yè)大學出版社, 1989-09.

［3］韓延鵬.基于二元B樣條的某些數(shù)據(jù)擬合方法［D］.大連理工大學，2010-12.

［4］曲凱.多元樣條及其某些應用［D］.大連理工大學，2010-06.

［5］朱功勤，何天曉.關(guān)于多元樣條函數(shù)研究［J］.合肥工業(yè)大學學報：自然科學版.1989（02）.

［6］朱安民.多元樣條函數(shù).同濟大學學報，1984（02）.

編輯 張珍珍