李文略

(湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

慣量張量并矢式及其應(yīng)用

李文略

(湛江師范學(xué)院 基礎(chǔ)教育學(xué)院，廣東 湛江 524037)

對(duì)慣量張量并矢式進(jìn)行改造，得到新的慣量張量并矢式.新的并矢式有助于理解慣量張量的不變性.給出算例，計(jì)算出勻質(zhì)長方體剛體對(duì)過定點(diǎn)的任意轉(zhuǎn)軸、對(duì)其面對(duì)角線、體對(duì)角線和勻質(zhì)圓錐體對(duì)其母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

慣量張量并矢式；主軸坐標(biāo)系；轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；長方體剛體；圓錐體剛體

慣量張量是以純矩陣的形式表示的[1-4].慣量張量除了用純矩陣的方法表示，還可以用并矢式表示.文獻(xiàn)[5]提出了慣量張量的并矢式，但并未做太多的討論.其實(shí)，慣量張量并矢式對(duì)學(xué)生理解慣量張量，特別是慣量張量對(duì)定點(diǎn)的不變性是非常有幫助的.引用黃寶宗先生的話[6]:“張量……特別是并矢記法，既在總體上有不變性特點(diǎn)，又包含了標(biāo)架和分量，因此更便于初學(xué)者在張量運(yùn)算中應(yīng)用.”本文將在文獻(xiàn)[5]的基礎(chǔ)上改造慣量張量并矢式，得到新的慣量張量并矢式，闡述其物理含義.由新的慣量張量并矢式還能得到計(jì)算一類勻質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的新方法.給出算例，計(jì)算出勻質(zhì)長方體剛體對(duì)過定點(diǎn)(質(zhì)心)的任意軸、對(duì)其面對(duì)角線和其體對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量以及勻質(zhì)圓錐體對(duì)其母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

1 新的慣量張量并矢式及其物理含義

剛體(分立系統(tǒng))對(duì)于定點(diǎn)(坐標(biāo)原點(diǎn))慣量張量并矢式定義為[5]

(1)

慣量張量并矢式(1)以簡(jiǎn)潔的形式出現(xiàn)，可對(duì)式(1)進(jìn)行矩陣改造如下，

(2)

若剛體的質(zhì)量連續(xù)分布，則式(2)寫為

(3)

(4)

由式(3)和(4)，可得

(5)

2 算例

對(duì)于一類勻質(zhì)、對(duì)稱性高的剛體，很容易找出其主軸坐標(biāo)系并計(jì)算出其主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即確定剛體在主軸坐標(biāo)系下的慣量張量并矢式.以此為基礎(chǔ)，應(yīng)用主軸坐標(biāo)系與任意坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，可簡(jiǎn)捷地計(jì)算出剛體對(duì)過定點(diǎn)的任意轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，從而避免繁瑣的積分計(jì)算.現(xiàn)以勻質(zhì)長方體剛體和圓錐體為例，用本文的方法計(jì)算勻質(zhì)長方體對(duì)過原點(diǎn)的任意軸，對(duì)面對(duì)角線、體對(duì)角線和勻質(zhì)圓錐體對(duì)其母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.

2.1 勻質(zhì)長方體剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(6)

圖1 長方體剛體Fig.1 Rectangular rigid body

(7)

將式(6)代入式(7)中，進(jìn)行矩陣運(yùn)算得

(8)

結(jié)合式(8)與圖2進(jìn)行以下討論.

圖2 主軸坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖Fig.2 Rotation diagram of coordinates of principal axes

2.2 勻質(zhì)圓錐體對(duì)母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量

(9)

圖3 圓錐體剛體Fig.3 The cone body

(10)

3 結(jié)語

現(xiàn)行的理論力學(xué)教材比較注重慣量張量的正定特性，并以此為基礎(chǔ)進(jìn)行主軸變換，使慣量張量對(duì)角化，得到主軸坐標(biāo)系和主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.本文對(duì)慣量張量并矢式進(jìn)行了改造，新的慣量張量并矢式能使學(xué)生加深對(duì)慣量張量定點(diǎn)不變性的理解，并易于計(jì)算一類勻質(zhì)剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可作為慣量張量教學(xué)上的補(bǔ)充.文中給出了算例，計(jì)算了勻質(zhì)長方體剛體對(duì)過定點(diǎn)的任意軸、對(duì)面對(duì)角線、體對(duì)角線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和勻質(zhì)圓錐剛體對(duì)母線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，所用的方法不同于傳統(tǒng)的定義積分法和慣量主軸法，拓寬了學(xué)生的解題思路.

[1] 周衍柏.理論力學(xué)教程[M].北京:高等教育出版社，2001:178-184.

[2] 沈慧川，李書民.經(jīng)典力學(xué)[M].合肥:中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2006:50-52.

[3] 梁昆淼，鞠國興，施毅.力學(xué)：下，理論力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2009:165-172.

[4] 李俊峰，張雄.理論力學(xué)[M].北京:清華大學(xué)出版社，2010:13-14.

[5] 周培源.理論力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社，2013:289.

[6] 黃寶宗.張量和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)[M].北京:冶金工業(yè)出版社,2012:18.

[7] 李洲圣，唐長紅.三維空間張量分析的矩陣方法[M].北京:航空工業(yè)出版社，2010:10.

[8] 黃宏煒.關(guān)于慣量張量的注釋[J].物理與工程，2002，12(2):27-30.

[9] 樓智美.勻質(zhì)多邊形薄板繞任一對(duì)角線轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量[J].大學(xué)物理，2008，27(10):15-17.

[10]張燕林，李建國.慣量主軸在計(jì)算均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的應(yīng)用[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版，2004,13(1)：23-24.

The Dyadic of Inertia Tensor and Its Application

LI Wen-lue

(CollegeofBasicEducation，InstituteofZhanjiangNormalUniversity，Zhanjiang524037,China)

A novel dyadic of inertia tensor, which contributes to the students’ understanding of the invariance and easy application of Inertia Tensor, is obtained by modifying the old one. The moment of inertia tensor of any rotating shaft, opposite diagonal, body diagonal of a homogeneous rectangular rigid body and that of generatrix of a homogeneous cone are calculated by exemplifying.

dyadic of inertia tensor； coordinates of principal axes； moment of inertia； rectangular rigid body； cone rigid body

2014-06-28

湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院科研資助項(xiàng)目成果之一(XM1302)

李文略(1981—)，男，廣東茂名人，湛江師范學(xué)院基礎(chǔ)教育學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2014.04.012

O313.3

A

1007-0834(2014)04-0047-05