洪飛

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是每年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。下面對(duì)一次函數(shù)的常見考點(diǎn)分類例析。

考點(diǎn)1一次函數(shù)關(guān)系式的確定

例1正比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=ax+b的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），且一次函數(shù)的圖像交x軸于點(diǎn)B（4，0）。求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式。

解析 由正比例函數(shù)y=kx的圖像過點(diǎn)（1，2） 得2=k。

所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2x。

由一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-■x+■。

考點(diǎn)2一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

例2 如圖1，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖像分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A、B兩點(diǎn)，則m的取值范圍是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案選B。

例3 如圖2，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2），則kb=_________。

解析 因?yàn)閥=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行，所以k=2。

因?yàn)閥=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考點(diǎn)3 一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的綜合問題

例4 如圖3，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖像l1與y=k2x+b2的圖像l2相交于點(diǎn)P,則方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由圖3可知，P點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，3），所以方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案選A。

■

例5 如圖4，直線y=kx+b經(jīng)過A（3,1）和B（6,0）兩點(diǎn)，則不等式0＜kx+b＜■x的解集為________。

解析過點(diǎn)A（3,1）和原點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=■x，即直線y=kx+b和y=■x交點(diǎn)為A，由圖像可知，當(dāng)x＜6時(shí)，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，當(dāng)x＞3時(shí)，y=kx+b的值小于y=■x的值，綜上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考點(diǎn)4一次函數(shù)的應(yīng)用

例6 某文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1 000元，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準(zhǔn)備拿出1 000元全部用來購(gòu)進(jìn)這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆的數(shù)量不少于乙種鋼筆數(shù)量的6倍，且不超過乙種鋼筆數(shù)量的8倍，那么該文具店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若該文具店銷售一支甲種鋼筆可獲利潤(rùn)2元，銷售一支乙種鋼筆可獲利潤(rùn)3元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

解析（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需x元和y元，根據(jù)題意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需5元和10元。

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆a支，乙種鋼筆b支，根據(jù)題意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因?yàn)閍、b為整數(shù)，所以b=20，21，22，23，24，25共六種方案，因?yàn)?a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以該文具店共有6種進(jìn)貨方案。

（3）設(shè)利潤(rùn)為W元，則W=2a+3b，因?yàn)?a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因?yàn)?1＜0，所以W隨著b的增大而減小，所以當(dāng)b=20時(shí)，W最大，此時(shí)a=160時(shí)，W最大。

所以W的最大值為400-20=380（元）。

答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲鋼筆160支，購(gòu)進(jìn)乙鋼筆20支時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為380元。

練習(xí)

1．函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像如圖5所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如圖6，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的解析式。

4．某超市以10元/件的價(jià)格調(diào)進(jìn)一批商品，根據(jù)前期銷售情況，每天銷售量y（件）與該商品定價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖7所示。

（1）求銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果超市將該商品的銷售價(jià)定為13元/件，不考慮其他因素，求超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)。

練習(xí)參考答案

1．C 2.C

3.解：設(shè)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像與x軸交點(diǎn)為D（d,0）,因一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則■×2d=2，得d=±2。

將兩點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）、（2，0）代入一次函數(shù)y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。

4．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），由圖像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是每年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。下面對(duì)一次函數(shù)的常見考點(diǎn)分類例析。

考點(diǎn)1一次函數(shù)關(guān)系式的確定

例1正比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=ax+b的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），且一次函數(shù)的圖像交x軸于點(diǎn)B（4，0）。求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式。

解析 由正比例函數(shù)y=kx的圖像過點(diǎn)（1，2） 得2=k。

所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2x。

由一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-■x+■。

考點(diǎn)2一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

例2 如圖1，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖像分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A、B兩點(diǎn)，則m的取值范圍是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案選B。

例3 如圖2，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2），則kb=_________。

解析 因?yàn)閥=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行，所以k=2。

因?yàn)閥=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考點(diǎn)3 一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的綜合問題

例4 如圖3，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖像l1與y=k2x+b2的圖像l2相交于點(diǎn)P,則方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由圖3可知，P點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，3），所以方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案選A。

■

例5 如圖4，直線y=kx+b經(jīng)過A（3,1）和B（6,0）兩點(diǎn)，則不等式0＜kx+b＜■x的解集為________。

解析過點(diǎn)A（3,1）和原點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=■x，即直線y=kx+b和y=■x交點(diǎn)為A，由圖像可知，當(dāng)x＜6時(shí)，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，當(dāng)x＞3時(shí)，y=kx+b的值小于y=■x的值，綜上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考點(diǎn)4一次函數(shù)的應(yīng)用

例6 某文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1 000元，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準(zhǔn)備拿出1 000元全部用來購(gòu)進(jìn)這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆的數(shù)量不少于乙種鋼筆數(shù)量的6倍，且不超過乙種鋼筆數(shù)量的8倍，那么該文具店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若該文具店銷售一支甲種鋼筆可獲利潤(rùn)2元，銷售一支乙種鋼筆可獲利潤(rùn)3元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

解析（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需x元和y元，根據(jù)題意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需5元和10元。

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆a支，乙種鋼筆b支，根據(jù)題意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因?yàn)閍、b為整數(shù)，所以b=20，21，22，23，24，25共六種方案，因?yàn)?a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以該文具店共有6種進(jìn)貨方案。

（3）設(shè)利潤(rùn)為W元，則W=2a+3b，因?yàn)?a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因?yàn)?1＜0，所以W隨著b的增大而減小，所以當(dāng)b=20時(shí)，W最大，此時(shí)a=160時(shí)，W最大。

所以W的最大值為400-20=380（元）。

答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲鋼筆160支，購(gòu)進(jìn)乙鋼筆20支時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為380元。

練習(xí)

1．函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像如圖5所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如圖6，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的解析式。

4．某超市以10元/件的價(jià)格調(diào)進(jìn)一批商品，根據(jù)前期銷售情況，每天銷售量y（件）與該商品定價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖7所示。

（1）求銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果超市將該商品的銷售價(jià)定為13元/件，不考慮其他因素，求超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)。

練習(xí)參考答案

1．C 2.C

3.解：設(shè)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像與x軸交點(diǎn)為D（d,0）,因一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則■×2d=2，得d=±2。

將兩點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）、（2，0）代入一次函數(shù)y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。

4．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），由圖像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。

一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是每年中考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)考查內(nèi)容。下面對(duì)一次函數(shù)的常見考點(diǎn)分類例析。

考點(diǎn)1一次函數(shù)關(guān)系式的確定

例1正比例函數(shù)y=kx和一次函數(shù)y=ax+b的圖像都經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），且一次函數(shù)的圖像交x軸于點(diǎn)B（4，0）。求正比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式。

解析 由正比例函數(shù)y=kx的圖像過點(diǎn)（1，2） 得2=k。

所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為y=2x。

由一次函數(shù)y=ax+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（4，0）得

a+b=2，4a+b=0。

解得：a=-■，b=■。

所以一次函數(shù)的表達(dá)式為y=-■x+■。

考點(diǎn)2一次函數(shù)的圖像及性質(zhì)

例2 如圖1，一次函數(shù)y=（m-1）x-3的圖像分別與x軸、y軸的負(fù)半軸相交于A、B兩點(diǎn)，則m的取值范圍是（）

A． m＞1 B． m＜1

C． m＜0 D． m＞0

解析 因?yàn)楹瘮?shù)圖像經(jīng)過二、四象限，所以m-1＜0，解得m＜1。故答案選B。

例3 如圖2，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行且經(jīng)過點(diǎn)A（1，-2），則kb=_________。

解析 因?yàn)閥=kx+b的圖像與正比例函數(shù)y=2x的圖像平行，所以k=2。

因?yàn)閥=kx+b的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(1，-2)，所以2+b=-2。

解得b=-4，所以kb=2×(-4)=-8。

考點(diǎn)3 一次函數(shù)與方程（組）、不等式（組）的綜合問題

例4 如圖3，一次函數(shù)y=k1x+b1的圖像l1與y=k2x+b2的圖像l2相交于點(diǎn)P,則方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是（）

A. x=-2y=3 B. x=3y=-2 C. x=2y=3 D. x=-2y=-3

解析 由圖3可知，P點(diǎn)坐標(biāo)是（-2，3），所以方程組y=k1x+b1y=k2x+b2的解是x=-2y=3，故答案選A。

■

例5 如圖4，直線y=kx+b經(jīng)過A（3,1）和B（6,0）兩點(diǎn)，則不等式0＜kx+b＜■x的解集為________。

解析過點(diǎn)A（3,1）和原點(diǎn)的直線表達(dá)式為y=■x，即直線y=kx+b和y=■x交點(diǎn)為A，由圖像可知，當(dāng)x＜6時(shí)，y=kx+b的值大于0，即0＜kx+b，當(dāng)x＞3時(shí)，y=kx+b的值小于y=■x的值，綜上所述，3＜x＜6是不等式0＜kx+b＜■x的解集。故答案填3＜x＜6。

考點(diǎn)4一次函數(shù)的應(yīng)用

例6 某文具店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆100支，乙種鋼筆50支，需要1 000元，若購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆50支，乙種鋼筆30支，需要550元。

（1）求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需多少元？

（2）若該文具店準(zhǔn)備拿出1 000元全部用來購(gòu)進(jìn)這兩種鋼筆，考慮顧客需求，要求購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆的數(shù)量不少于乙種鋼筆數(shù)量的6倍，且不超過乙種鋼筆數(shù)量的8倍，那么該文具店共有幾種進(jìn)貨方案？

（3）若該文具店銷售一支甲種鋼筆可獲利潤(rùn)2元，銷售一支乙種鋼筆可獲利潤(rùn)3元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤(rùn)是多少元？

解析（1）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需x元和y元，根據(jù)題意得：100x+50y=1 000，50x+30y=550。 解得 x=5，y=10。

答：購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種鋼筆每支各需5元和10元。

（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種鋼筆a支，乙種鋼筆b支，根據(jù)題意可得：5a+10b=1 000，6b≤a≤8b。解得：20≤b≤25。因?yàn)閍、b為整數(shù)，所以b=20，21，22，23，24，25共六種方案，因?yàn)?a=1000-10b＞0，所以0＜b＜100，所以該文具店共有6種進(jìn)貨方案。

（3）設(shè)利潤(rùn)為W元，則W=2a+3b，因?yàn)?a+10b=1 000，所以a=200-2b，所以代入上式得：W=400-b。

因?yàn)?1＜0，所以W隨著b的增大而減小，所以當(dāng)b=20時(shí)，W最大，此時(shí)a=160時(shí)，W最大。

所以W的最大值為400-20=380（元）。

答：當(dāng)購(gòu)進(jìn)甲鋼筆160支，購(gòu)進(jìn)乙鋼筆20支時(shí)獲利最大，最大利潤(rùn)為380元。

練習(xí)

1．函數(shù)y=■中，自變量x的取值范圍是（ ）

A．x＞-1 B．x＜-1 C．x≠-1 D．x≠0

2．一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖像如圖5所示，當(dāng)y＞0時(shí)，x的取值范圍是（ ）

A．x＜0 B．x＞0

C．x＜2 D．x＞2

3.如圖6，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求此一次函數(shù)的解析式。

4．某超市以10元/件的價(jià)格調(diào)進(jìn)一批商品，根據(jù)前期銷售情況，每天銷售量y（件）與該商品定價(jià)x（元）是一次函數(shù)關(guān)系，如圖7所示。

（1）求銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果超市將該商品的銷售價(jià)定為13元/件，不考慮其他因素，求超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)。

練習(xí)參考答案

1．C 2.C

3.解：設(shè)一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像與x軸交點(diǎn)為D（d,0）,因一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）圖像過點(diǎn)（0，2），且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，則■×2d=2，得d=±2。

將兩點(diǎn)坐標(biāo)（0，2）、（2，0）代入一次函數(shù)y=kx+b中，得b=2，2k+b=0，k=-1。因此一次函數(shù)的解析式為y=-x+2。

4．解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），由圖像可知，

11k+b=10，15k+b=2。解得k=-2，b=32。

所以銷售量y與定價(jià)x之間的函數(shù)關(guān)系式是：y=-2x+32。

（2）超市每天銷售這種商品所獲得的利潤(rùn)是：

W=（-2x+32）（13-10）=-6x+96。