金少華,盧芳,陳秀引,王東

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401)

非齊次樹上馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理

金少華,盧芳,陳秀引,王東

(河北工業(yè)大學(xué)理學(xué)院,天津300401)

通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,給出了非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理.

非齊次樹;鞅;馬氏信源;Shannon-McMillan定理

1 引言

樹指標(biāo)隨機(jī)過程已成為近年來發(fā)展起來的概率論的研究方向之一.強(qiáng)極限定理一直是國(guó)際概率論界研究的中心課題之一.文獻(xiàn)[1]利用隨機(jī)變量的截尾方法,給出了H可積下的相依隨機(jī)變量和的完全收斂定理以及強(qiáng)大數(shù)定理.文獻(xiàn)[2]利用ND隨機(jī)變量序列的矩不等式、極大值不等式以及隨機(jī)變量的截尾方法,研究了ND隨機(jī)變量序列部分和的大偏差結(jié)果和強(qiáng)收斂性.文獻(xiàn)[3]研究了兩兩NQD序列部分和完全收斂性的較一般形式,通過NQD序列的截尾方法以及相關(guān)引理,在較寬泛的條件下得到了一類較為廣泛的完全收斂性的結(jié)果.文獻(xiàn)[4]研究了一類隨機(jī)適應(yīng)序列部分和的一類新的局部極限定理,得出了一些新結(jié)果,并進(jìn)一步推廣了Borel-Cantelli引理.文獻(xiàn)[5]利用兩兩NQD列三級(jí)數(shù)定理的思想和Chebyshev不等式,研究了兩兩NQD列在一類廣泛條件下的弱大數(shù)定理和一類加強(qiáng)條件下的強(qiáng)大數(shù)定理,得到了與獨(dú)立情形一致的結(jié)果,還特別討論了同分布情形,推廣了相關(guān)文獻(xiàn)的結(jié)果.文獻(xiàn)[6]給出了樹指標(biāo)馬氏鏈的定義并研究了其常返性及角常返性.文獻(xiàn)[7]研究了齊次樹上某些平穩(wěn)隨機(jī)場(chǎng)的熵率.文獻(xiàn)[8]定義了在任意狀態(tài)空間取值的二叉樹上的分枝馬氏鏈,并研究了其極限定理.文獻(xiàn)[9]給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機(jī)場(chǎng)的一類偏差定理.文獻(xiàn)[10]首先給出了在可列狀態(tài)空間取值的二叉樹上分枝馬氏鏈定義的離散形式,然后建立了二叉樹上分枝馬氏鏈的若干強(qiáng)極限定理,最后研究了二叉樹上有限狀態(tài)分枝馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)定理.文獻(xiàn)[11]研究給出了非齊次樹上二重馬爾可夫鏈的若干強(qiáng)極限定理.本文通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆秦?fù)鞅,將Doob鞅收斂定理應(yīng)用于幾乎處處收斂的研究,給出了非齊次樹上m重非齊次馬氏信源的一類Shannon-McMillan定理.

2 定義

設(shè)T是一個(gè)具有根頂點(diǎn)O的無限樹,{Nn,n≥1}是一列正整數(shù)集,如果第n(n≥0)層上的每個(gè)頂點(diǎn)均與第n+1層上的Nn+1個(gè)頂點(diǎn)相鄰,則稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地,若對(duì)非負(fù)整數(shù)集N,用模m的同余關(guān)系對(duì)其分類得到模m的剩余類:

當(dāng)n∈(i)時(shí),令Nn+1=αi(αi均為正整數(shù)且不同時(shí)為1,i=0,1,2,···,m?1),就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0,α1,··,αm?1.

以下恒以T表示樹Tα0,α1,··,αm?1,以Ln表示第n(n≥0)層上所有頂點(diǎn)的子圖,Tn表示含有從頂點(diǎn)O到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖.S(t)表示頂點(diǎn)t的所有子代的子圖.

定義2.1[12]設(shè)(?,F,P)為一概率空間,Tn表示樹T上含有從o頂點(diǎn)到第n層上所有頂點(diǎn)的子圖,|Tn|表示子圖Tn的所有頂點(diǎn)數(shù).{Xσ,σ∈T}是定義在該概率空間并于字母集S={s1,s2,···}上取值的任意信源，其聯(lián)合分布為:

令則稱fn(ω)為{Xσ,σ∈T}的相對(duì)熵密度.

相對(duì)熵密度fn(ω)的極限性質(zhì)在信息論中稱為Shannon-McMillan定理或信源的漸近均分割性,是信息論編碼的基礎(chǔ).

定義2.2[13]如果存在STm?1上的分布

和一列定義在Sm+1上的條件概率組

使得?σ,τ∈T,σ∈Ln,有

且

則稱{Xσ,σ∈T}為具有初始分布(3)與轉(zhuǎn)移矩陣列(4)的在S上取值的樹T上的m重非齊次馬爾可夫鏈.

在上述定義下,樹T上的非齊次馬爾可夫鏈的聯(lián)合分布為:

從而有

定義2.3[14]設(shè)

稱Hk(Xξk|Xξk?m,···,Xξk?1)為Xξk關(guān)于Xξk?m,···,Xξk?1的隨機(jī)條件熵.

3 主要結(jié)果及其證明

引理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布(3)與轉(zhuǎn)移矩陣列(4)的取值于S的樹T上的m重非齊次馬爾可夫鏈,λ為一常數(shù),令

則{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥m}是一非負(fù)鞅.

證明由于P(XLn=xLn|XTn?1=xTn?1)所以有

而

即

從而{tn(λ,ω),σ(XTn),n≥m}是一非負(fù)鞅.

定理3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布(3)與轉(zhuǎn)移矩陣列(4)且具有聯(lián)合分布(7)的非齊次樹T上的m重非齊次馬氏信源,fn(ω)與Hk(Xξk|Xξk?m,···,Xξk?1)分別由(8)式

和(9)式定義,設(shè)α>0,令

則有

證明取(?,F,P)為所考慮的概率空間,由引理3.1知對(duì)任意的常數(shù)λ,

是一非負(fù)鞅.故由Doob鞅收斂定理知,存在A(λ)∈F,P(A(λ))=1,使得

由(13)式與(17)式,有

由(18)式,上極限的性質(zhì)

不等式

以及不等式

有

取0

因函數(shù)g(x)=(lnx)2xh,h>0,在處達(dá)到區(qū)間(0,1]上的最大值故有

當(dāng)0<λ

取0<λi<α(i=1,2···),使得λi→0(i→∞).則對(duì)一切正整數(shù)i,由(22)式,有

類似地,當(dāng)?α

與(23)式類似,可證得

由(23)式與(25)式,有

又由(9)式,有

于是由(26)式,有

推論3.1設(shè){Xσ,σ∈T}為具有初始分布(3)與轉(zhuǎn)移矩陣列(4)且具有聯(lián)合分布(7)的非齊次樹T上的m重非齊次馬氏信源,fn(ω)與Hk(Xξk|Xξk?m,···,Xξk?1)分別由(8)式和(9)式定義,設(shè)α>0,令

則有

證明當(dāng)0<|λ|<α?xí)r,由定理3.1證明中的(19)式,即

當(dāng)0<λ<α?xí)r,將(29)式兩端同除以λ,得

取0<λi<α(i=1,2,···),使得λi→0(i→∞).則對(duì)一切正整數(shù)i,由(30)式,有

類似地,當(dāng)?α<λ<0時(shí),將(29)式兩端同除以λ,得

由(31)式和(32)式,有

由(33)式和(9)式,有(28)式成立.

參考文獻(xiàn)

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A class of Shannon-McMillan theorems for Markov information source on a non-homogeneous tree

Jin Shaohua,Lu Fang,Chen Xiuyin,Wang Dong
(College of Science,Hebei University of Technology,Tianjin300401,China)

In this paper,by constructing non-negative martingales and appliying Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence,a class of Shannon-McMillan theorems for m-order non-homogeneous Markov information source on a non-homogeneous tree are given.

non-homogeneous tree,martingale,Markov information source,Shannon-McMillan theorem

O177.91

A

1008-5513(2014)04-0331-10

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.001

2014-01-30.

河北省高等學(xué)校科學(xué)技術(shù)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(ZD2014051).

金少華(1965-),博士,教授,研究方向：概率極限理論.

2010 MSC:60B12