孫志玲,孫燕

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028000)

多重調和Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子

孫志玲,孫燕

(內蒙古民族大學數學學院,內蒙古 通遼 028000)

完全刻畫多重調和Bergman空間上Toeplitz算子和Hankel算子的緊性.運用緊Toeplitz算子這個結果,建立了Toeplitz代數和小Hankel代數的短正合列,推廣了單位圓盤上相應的結果.

多重調和Bergman空間;緊Toeplitz算子;Toeplitz代數;小Hankel代數

1 引言

令 Cn為 n維復向量空間,Bn和 Sn分別代表 Cn中的單位球和單位球面.對 Cn中的點 z=(z1,···,zn)和 ξ=(ξ1,···,ξn),令其中是 ξj的復共軛,并且令表示分量在非負整數 N0中的 n-元數組組成的集合.對一個多重指標和如果令|α|=α1+···+αn代表它的長度,并且 α!=α1!···αn!.對N0n中兩個多重指標α=(α1,α2,···,αn)和β=(β1,β2,···,βn), α?β表示

α⊥β表示

定義

并且,當α?β時,有

L2(Bn,dv)是Bn上Lebesgue平方可積的Hilbert空間,其上的內積定義為:

其中dv是Bn上通常正規(guī)化球測度.

令 P代表 L2(Bn,dv)到上的正交投影.對 ?∈L∞(Bn,dv),Bergman空間上的Toeplitz算子和Hankel算子分別定義為:

其中I是恒等算子.

一個帶有符號?的簡化的(little或者reduced)Hankel算子h?定義為:

其中U是L2(Bn,dv)→L2(Bn,dv)的酉算子,并且

通過直接的驗證,下面命題成立.

命題 1.1下列關系式是成立的

令 Q是 L2(Bn,dv)到上的正交投影.多重調和 Bergman空間上的帶有符號?的Toeplitz算子和Hankel算子分別定義為:

文獻 [1]運用把單位圓盤上調和 Bergman空間上的 Toeplitz算子分解成 Bergman空間上的 Toeplitz算子和小 Hankel算子的技巧,刻畫了單位圓盤的調和 Bergman空間上的緊Toeplitz算子.利用這個結果,建立了相應的Toeplitz代數和Hankel代數的短正合列.本文在單位球Bn上的多重調和Bergman空間上研究相應問題.

文獻 [2]完全描述了單位球Bergman空間上 Toeplitz算子的緊性.文獻 [3]給出了單位球和多圓盤上緊Hankel算子的一些等價條件.文獻[4]研究了單位球上Bergman空間上的Toeplitz代數.運用這些結果,刻畫了多重調和Bergman空間上的緊Toeplitz和Hankel算子.根據這些算子緊性的特征,對函數研究了由 Toeplitz算子生成Toeplitz代數 T,和由小 Hankel算子和 Toeplitz算子生成的小 Hankel代數H.

2 緊Toeplitz和Hankel算子

本節(jié)將給出多重調和Bergman空間上Toeplitz算子和Hankel算子緊性的一個判別準則.緊Toeplitz算子在后面的段落中將用來研究Toeplitz代數和小Hankel代數.

其中

因為在L2(Bn,dv)上U?=U,則可得且

對L2(Bn,dv)中的函數f和g,定義秩1算子

定理 2.1在上,對?∈L∞(Bn,dv),有

其中z=(z1,z2,···,zn),??(z)=?(ˉz),并且

證明函數是的一個正規(guī)正交基,其中 m=(m1,m2,···,mn)取遍非負整數的多重指標.顯然,是的一個正規(guī)正交基.因此是多重調和Bergman空間的正規(guī)正交基.對每個f∈L2(Bn,dv),有

其中P1是從L2(Bn,dv)到上的投影.這樣

令K(z,w)是單位球Bn上的Bergman再生核,則

由文獻[5]知

因此有

并且

f∈L2(Bn,dv)的Berezin變換定義如下:

其中kz=Kz/∥Kz∥是標準化Bergman再生核.

引理 2.1在L2(Bn,dv)上,Berezin變換與算子U交換.即對f∈L2(Bn,dv),?Uf=U?f.

證明令f∈L2(Bn,dv),對z∈Bn,(Uf)(z)的Berezin變換是

下面給出多重調和Bergman空間上緊Toeplitz算子的描述.

引理 2.2假設?是L∞(Bn,dv)中的函數.在多重調和Bergman空間上,Toeplitz算子是緊的當且僅當(z)→0,當|z|→1,并且

其中α=(α1,α2,···,αn)是一個非負整數的有序n元組,|α|=α1+α2+···+αn=n+1,并且

證明首先假設是緊的.調和Bergman空間上的Toeplitz算子的矩陣表示(2.1)表明Γ?和在Bergman空間上是緊的.由命題1.1知,Γ?=Uh??,則h?和h??在上是緊的.

注意對?∈L∞(Bn,dv),有因此,得到和由文獻[6]中推論1可知,下面論斷成立:

并且

現在來證明符號函數的Berezin變換的極限在單位球的邊界上是0.?T?的矩陣表示(2.1)表明T?和T??在Bergman空間上是緊的.文獻[2]中的定理2表明當|z|→1時,??(z)和???(z)收斂到0.

相反地,假設

則

和

從命題1.1和文獻[6]中的推論1得出Γ?和Γ??都是緊的.已知當|z|→1時,由引理2.1知當 |z|→1.則由文獻 [2]中的定理 2,有 T?和是緊的.根據(2.1)式,有在多重調和Bergman空間上是緊的.

推論 2.1令?是單位球Bn上的一個有界多重調和函數.則是緊的當且僅當?=0.

證明如果?是0,顯而易見是0.相反地,假設是緊的.根據文獻[5]中Bn的自同構的性質和調和函數的平均值定理,有

其中φz是Bn的一個自同構,

下面給出多重調和Bergman空間上Hankel算子關于緊性的描述.

定理 2.3在多重調和Bergman空間上,對?∈L∞(Bn,dv),如果

證明對z∈Bn,令通過的定義,有

上面的第三等式從定理2.1證明過程的這個等式UP1=PU中獲得.這樣,上面的方程可以寫成

推論 2.2如果?是上的連續(xù)函數,則是緊的.

證明容易驗證,對取定的w∈Bn,當|z|→1?時,∥φz(w)?z∥→0.由勒貝格控制收斂定理,當|z|→1時,∥??φz??(z)∥2→0.由算子I?P的有界性,有∥??φz?P(??φz)∥2→0.由定理2.3,知 ?H?是緊算子.

3 Toeplitz代數

對L∞(Bn,dA)中的函數?,定義Toeplitz算子的本質范數如下:

下面的引理給出了多重調和Bergman空間上Toeplitz算子的本質范數的表示式.

引理 3.1令則

證明由于從文獻[8]知Γ?和都是緊的.由上Toeplitz算子的矩陣表示(2.1)式,有

從文獻[9]中引理4.1和引理4.2,得

這樣得到等式

因此

定理 3.1列是一個短正合列,即商代數T/K和C(Sn)是?-等距同構,其中π是映+K到的符號映射.

證明首先證明K?T.由文獻 [10]中的定理 11,對 i∈{1,2,···,n},換位子?不是零.由文獻 [4]中定理 1,對中的 f和 g,Tfg?TfTg是緊的.這樣,換位子TfTg?TgTf=TfTg?Tfg?TgTf+Tfg在上是緊的.對由命題1.1和文獻[11]中的定理12得出Γ?和Γ??都是緊的.根據矩陣表示(2.1)式,通過對算子矩陣的簡單計算,得到是緊的.

因此T包含一個非零緊算子.由文獻[12]中的定理5.39,每個不可約代數的換位子理想如果包含一個非平凡的緊算子則包含緊算子的理想.因此,需要證明T是不可約的.

并且

現在,對λ∈Bn,令h=kλ,則有

因此

應用Cauchy-Schwartz不等式,得到

這表明g在L∞(Bn,dv)中.由于集合{p+ˉq:p,q是多項式}在中是稠的,有

令P(z,ξ)是Bn上不變Poisson核,表示如下:

取z∈Bn,對C(Sn)中的函數?的Poisson積分P[?]定義為:

其中,dσ是Sn通常標準化Lebesgue測度.由文獻[13]中的定理3.3.4,有令 ?1(z)=P[?](z),定義ξ從C(Sn)到T,形式為容易驗證η短正合列0→K→是一個等距截面,這給出這個列是分裂的.

4 小Hankel代數

下列命題給出了小Hankel代數H中算子的形式.

命題4.1令A∈H.則存在函數中的?1和?2和一個緊算子K,使得

證明對首先將證明

對每個緊算子K′,有

第三個不等式是從Γg的緊性得出,最后的等式從引理3.1得出.因此,

其中

用?1和?2分別表示f和g的Poisson積分.因此

注意到

因此

這樣存在緊算子K,使得

定理 4.1令則算子是Fredholm型的當且僅當在Sn上沒有零點.

證明酉算子定義為:

其中F為有限秩算子.因為Γf,Γg,Γ?f和Γ?g是緊的,我們有

其中K為緊算子.

為了更好的理解小Hankel代數,考慮商代數H/K.由命題4.1的證明過程中可知H/K是由算子生成的,其中再由得到商代數是非交換的.

考慮C?-動力系統(tǒng)(C(Sn),Z2,σ),其中Z2在C(Sn)上的作用形式為:

(π,U)是(C(Sn),Z2,σ)的一個協變表示,其中π是Hilbert空間H上C(Sn)的一個C?表示,而s→Us是Hilbert空間H上Z2的一個酉表示,作用形式如下:向量積C(Sn)×σZ2是對所有的協變表示通常的C?-代數的定義.這樣C(Sn)×σZ2包含一個典型冪等的酉元素δ使得

并且線性空間是C(Sn)×σZ2的一個稠密?-子代數.

定理4.2列是一個短正合列,即商代數T/H與C(Sn)×

σZ2是?-同構,其中是映U+K到f|Sn+g|Snδ的符號映射.

證明在Hilbert空間L2(Sn)上,令L表示所有帶有連續(xù)符號的乘法算子生成的代數并且酉算子U定義為:z∈Sn.定義γ:H/K到L的映射,形式如下:

由命題 4.1,這個映射是良定義的.從定理 3.1的證明過程知是緊算子,容易驗證 γ是一個單射 ?-同態(tài).這樣,由文獻 [14]中的定理 1.3.2知,γ是等距的.由于集合 {M?+MψU:?,ψ∈C(Sn)}是 L的一個稠 ?-子代數,可知映射 γ是一個 C?-代數的同構.現在,考慮 L2(Sn)上 (C(Sn),Z2,σ)的協變表示 (π,U),其中 π(f)=Mf.存在一個從C(Sn)×σZ2到L滿射C?-同態(tài)α,定義為:

下面證明這個同態(tài)是單射.假設存在一個 ξ∈C(Sn)×σZ2使得 α(ξ)=0.則存在一列{fn+gnδ}收斂到ξ,因此

在Bn上,分別表示f和g的Poisson積分,在Sn上,這樣就有同時,由命題4.1的證明過程,有

這樣有

因為

有ξ=0,從而α是單射.這意味著α是一個C?-同構.根據τ=α?1?γ,

是一個C?-同構.

參考文獻

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Toeplitz and Hankel operators on the pluriharmonic Bergman space

Sun Zhiling,Sun Yan
(College of Mathematics,Inner Mongolia University for Nationalities,Tongliao 028000,China)

In this paper,we completely characterize compact Toeplitz and Hankel operators on the pluriharmonic Bergman space.We establish the short exact sequences associated with the Toeplitz algebra and small Hankel algebra by using the criterion for compactness of Toeplitz operators,and generalize the corresponding results on the unit disk.

pluriharmonic Bergman space,compact Toeplitz operator,Toeplitz algebra, small Hankel algebra

O177.1

A

1008-5513(2014)04-0393-13

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.009

2014-04-03.

內蒙古民族大學博士科研啟動基金(BS311).

孫志玲(1979-),博士,講師,研究方向：函數空間中的算子理論.

2010 MSC:47B35