鄭乃峰, 孔翔

(1.寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.寧波工程學(xué)院理學(xué)院,浙江 寧波 315211)

Hom-Hopf代數(shù)上的L-R smash積

鄭乃峰1, 孔翔2

(1.寧波大學(xué)理學(xué)院,浙江 寧波 315211;2.寧波工程學(xué)院理學(xué)院,浙江 寧波 315211)

在Hom-Hopf代數(shù)上,定義了L-R smash積概念并討論了它的相關(guān)性質(zhì),給出了L-R smash積是Hom-Hopf代數(shù)的充要條件.

Hom-Hopf代數(shù);L-R smash積;Hom-雙模代數(shù)

1 引言

Hom-代數(shù)的概念是由Makhlouf和Silvestrov于 2006年在研究擬李代數(shù)時(shí)引入的[1]. Hom-代數(shù)推廣了結(jié)合代數(shù),把結(jié)合代數(shù)中的結(jié)合性法則作了形變,將其變成了線性變換α結(jié)合性條件,即α(a)(bc)=(ab)α(c).隨著Hom-代數(shù)研究的深入,一些學(xué)者在文獻(xiàn)[2-4]中又陸續(xù)引入了Hom-余結(jié)合余代數(shù)、Hom-雙代數(shù)和Hom-Hopf代數(shù)等,給出了一些重要的結(jié)論.

Smash積是Hopf代數(shù)理論中的重要概念之一,近年來,人們對(duì)其做了各種形式的推廣.如文獻(xiàn)[5]給出了一種新的Smash積,使Smash積和交叉積均是它的特例;而文獻(xiàn)[6-7]分別給出了Hopf代數(shù)和擬Hopf代數(shù)的L-R smash積的概念.本文利用Hom-雙模代數(shù),構(gòu)造了Hom-Hopf代數(shù)上的L-R smash積,并給出了L-R smash積是Hom-Hopf代數(shù)的充要條件.

本文的所有工作都是在域k上進(jìn)行的.所討論的模、張量積和線性映射均指域k上的.文中將使用Sweedler關(guān)于余代數(shù)余乘法的記號(hào)

S(或SH)表示Hom-Hopf代數(shù)H的對(duì)極映射.

2 L-R smash積

關(guān)于Hom-代數(shù)、Hom-余代數(shù)及Hom-Hopf代數(shù)的概念和性質(zhì),可參閱文獻(xiàn)[1-4,8-9].本節(jié)先介紹Hom-模代數(shù)和Hom-雙模代數(shù)的概念,后構(gòu)造Hom-Hopf代數(shù)上的L-R smash積,并給出L-R smash積是Hom-Hopf代數(shù)的充要條件.

設(shè)(H,β)是Hom-雙代數(shù),(A,α)是Hom-代數(shù).如果有一個(gè)線性映射

使下面條件成立:

則稱(A,α)是左H-模Hom-代數(shù).同理可定義右H-模Hom-代數(shù).若(A,α)既是左H-模Hom-代數(shù)又是右H-模Hom-代數(shù),且滿足下式:

則稱(A,α)是H-雙模Hom-代數(shù).

定義2.1設(shè)(H,β)是Hom-雙代數(shù),(A,α)是H-雙模Hom-代數(shù).令線性映射

在張量空間A?H上有一個(gè)代數(shù)結(jié)構(gòu),稱為L(zhǎng)-R smash積,記作(A?H,γ),對(duì)任意a,b∈A, h,g∈H,其乘法運(yùn)算規(guī)定如下:

則有如下結(jié)論.

定理2.1設(shè)L-R smash積(A?H,γ)的定義如上,則(A?H,γ)是以1A?1H為單位元的Hom-代數(shù).

證明對(duì)任意a,b,c∈A和h,g,k∈H,直接計(jì)算,有

下面證明(A?H,γ)滿足Hom-結(jié)合律.

即L-R smash積(A?H,γ)是一個(gè)Hom-代數(shù).

注2.1如果α和β是恒等映射,即對(duì)任意的a∈A和h∈H,有則L-R smash積(A?H,γ)是文獻(xiàn)[6-7]中的L-R smash積.如果Hom-代數(shù)(A,α)的右H-模作用是平凡的,則L-R smash積(A?H,γ)是Hom-代數(shù)上的smash積.

引理2.1設(shè)(A?H,γ)為L(zhǎng)-R smash積,則對(duì)任意a,b∈A和h,g∈H,下面關(guān)系式成立:

證明直接驗(yàn)證可得.

下面給出L-R smash積(A?H,γ)是Hom-雙代數(shù)的充要條件.

定理2.2設(shè)A,H是Hom-雙代數(shù),則L-R smash積(A?H,γ)是Hom-雙代數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的h∈H,a∈A,下列條件成立:

其中(A?H,γ)的余代數(shù)結(jié)構(gòu)是Hom-張量積余代數(shù),其余乘和余單位定義為:

進(jìn)一步地,如果(A,α)和(H,β)是Hom-Hopf代數(shù),其對(duì)極映射分別為SA和SH,則(A?H,γ)也是Hom-Hopf代數(shù),其對(duì)極映射S為:

證明ε是Hom-代數(shù)同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)(4)式成立,直接驗(yàn)證即可.下面證明△是Hom-代數(shù)同態(tài)當(dāng)且僅當(dāng)(5)-(7)式成立.設(shè)a,b∈A和h,g∈H,有

反之,如果△是Hom-代數(shù)同態(tài),則由等式

展開可得:

把IA?εH?IA?εH作用于上式兩端,可得條件(5)的前一式成立.把εA?IH?IA?εH作用于上式兩端,可得條件(6)成立.

由等式

展開可得:

把IA?εH?IA?εH作用于上式兩端,可得條件(5)的后一式成立.把IA?εH?εA?IH作用于上式兩端,可得條件(7)成立.

同理可證

因此,(A?H,γ)是Hom-Hopf代數(shù).

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L-R smash product for Hom-Hopf algebras

Zheng Naifeng1,Kong Xiang2
(1.Faculty of Science,Ningbo University,Ningbo 315211,China;
2.Faculty of Science,Ningbo University of technology,Ningbo 315211,China)

In this paper,we give the concept of L-R smash product over Hom-Hopf algebras and investigate their properties.In addition,the necessary and sufficient conditions for(A?H,γ)to be Hom-Hopf algebra are given.

Hom-Hopf algebra,L-R smash product,Hom-bimodule algebra

O153.3

A

1008-5513(2014)04-0354-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.004

2014-03-23.

鄭乃峰(1968-),副教授,研究方向：Hopf代數(shù)及量子群.

2010 MSC:16W30