姜鑫,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

擬序下非連續(xù)增算子新的廣義不動(dòng)點(diǎn)定理

姜鑫,薛西鋒

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

運(yùn)用序方法研究了擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子的廣義不動(dòng)點(diǎn)的存在性問題,證明了在擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子存在最小廣義不動(dòng)點(diǎn)和最大廣義不動(dòng)點(diǎn).所得結(jié)果推廣了相關(guān)結(jié)論.

擬序關(guān)系;擬序拓?fù)淇臻g;增算子;廣義不動(dòng)點(diǎn)

1 引言及預(yù)備知識(shí)

算子的不動(dòng)點(diǎn)定理可以廣泛的應(yīng)用于求解微分方程、積分方程和其他類型的方程[1],在經(jīng)濟(jì)均衡理論中也有著廣泛的應(yīng)用[2].然而,非線性泛函分析中序集上增算子不動(dòng)點(diǎn)定理都要求定理中的序集必須為半序集[1,3-4].但是在數(shù)學(xué)的一些領(lǐng)域中[5-7],特別是在經(jīng)濟(jì)均衡理論中的序關(guān)系并不滿足半序關(guān)系中的反對(duì)稱性[2],這種序關(guān)系在文獻(xiàn)[5]中被稱為擬序關(guān)系,而在文獻(xiàn)[6]中被稱為不完全偏好關(guān)系.為方便起見,本文將這種序關(guān)系稱為擬序關(guān)系.文獻(xiàn)[6]研究了序列相容的不完全偏好空間(或擬序空間)X中非連續(xù)增算子的廣義不動(dòng)點(diǎn),而本文是在文獻(xiàn)[6]的研究基礎(chǔ)上,證明了擬序空間X中具A=CB型非連續(xù)增算子存在最小廣義不動(dòng)點(diǎn)和最大廣義不動(dòng)點(diǎn),進(jìn)而推廣了文獻(xiàn)[3,6]中的主要結(jié)果.

定義 1.1[5]設(shè)X為非空集合,若在X中的某些元素對(duì)x,y之間可以定義一種二元關(guān)系,記為x?y,具有下列性質(zhì):

(i)對(duì)任給x∈X,都有x?x; (ii)如果x?y,y?z,則x?z,

則稱?為擬序關(guān)系,稱X為擬序集.稱x?y為y偏好于x.

顯然,半序關(guān)系一定是擬序關(guān)系,而擬序關(guān)系未必是半序關(guān)系.

定義 1.2[6]設(shè) X 是擬序集,若 x?y與 y? x同時(shí)成立,則稱 x無差別于 y,記作x～y;若x?y,且x?y,則稱y嚴(yán)格偏好于x,記作x?y,其中“?”表示非無差別關(guān)系;設(shè)M?X,若對(duì)任給x,y∈M,關(guān)系x?y與y?x至少有一個(gè)成立,則稱M 為X中的全擬序子集.

定義 1.3[6]設(shè)X為擬序集,且為Hausdor ff空間,若對(duì)X中任意兩個(gè)序列{xn}和{yn},只要xn?yn(n=1,2,···),xn→x?,yn→y?,就有x??y?,則稱X是序列相容的擬序拓?fù)淇臻g.

定義1.4[6]設(shè)X為擬序集,如果對(duì)X中的任何全擬序子集M,都存在可數(shù)集{xn}?M,使得只要x∈M,x/=supM,就有xn0∈{xn},滿足x?xn0,則稱X是按擬序偽可分的.

同理給出按半序偽可分的定義.顯然,可分集一定是按擬序(或半序)偽可分的.

定義1.5[6]設(shè)X為擬序集,D?X,A:D→D為一個(gè)算子,若存在x∈D,使Ax～x,則稱x為A的廣義不動(dòng)點(diǎn).

顯然,在半序意義下的不動(dòng)點(diǎn)與廣義不動(dòng)點(diǎn)是等價(jià)的.

2 主要內(nèi)容

設(shè)X是擬序集,?是X的非空子集,根據(jù)定義1.2容易證明X中的無差別關(guān)系“～”滿足反身性、對(duì)稱性和傳遞性,因而關(guān)系“～”是X、也是?中的等價(jià)關(guān)系.

定義 2.1[6]任取若存在使u?v,則記

由于文獻(xiàn)[6]中引理1和引理3的證明中沒有用到任何拓?fù)湫再|(zhì),因此文獻(xiàn)[6]中引理1和引理3中X不必為拓?fù)淇臻g,即如下引理2.1和引理2.2.

引理 2.1[6]由X 中的擬序關(guān)系“?”在商集?/～中誘導(dǎo)出的序關(guān)系“≤”是一個(gè)半序,從而?/～在序關(guān)系“≤”下是半序集.

引理2.2[6]設(shè)r:?→?/～為自然映射,N是?/～中的全序子集,則r?1(N)必是?中的全擬序子集.

定理2.1設(shè)X是擬序集,D=[u0,v0]是X中的序區(qū)間,設(shè) (i)存在序列相容的擬序拓?fù)淇臻gY及增算子和增算子,使得A=CB;

(ii)B(D)是按擬序偽可分的;

(iii)B(D)中的單調(diào)增序列是相對(duì)序列緊的;

(iv)u0?Au0,Av0?v0.

則A在D中必有廣義不動(dòng)點(diǎn).

證明令則由條件(iv)可得u0∈?,從而?/=?.由引理2.1知,由X中的擬序關(guān)系“?”在商集?/～中誘導(dǎo)出的序關(guān)系“≤”是半序關(guān)系,從而?/～在序關(guān)系“≤”下是半序集.設(shè)M 是?/～中任意給定的全序子集,下證M 在?/～中有上界.

因?yàn)镸 是?/～中的全序子集,則由引理2.2可知,r?1(M)是?中的全擬序子集,再由是增算子可知,B(r?1(M))?B(D)是B(D)中的全擬序子集.再由條件(ii)和定義1.4可得,存在可數(shù)集{yn}?B(r?1(M)),使對(duì)任意y∈B(r?1(M)),有yn1∈{yn},滿足y?yn1.令

由于B(r?1(M))是全擬序集,故諸{zn}都有定義,{zn}?B(r(M)),并且

即{zn}是B(D)中的單調(diào)增加序列,由條件(iii)可知,存在{zn}中的子列{znk}?{zn}收斂于Y中一點(diǎn),即存在z?∈Y,使得

任取n0,當(dāng)nk≥n0時(shí),有zn0?znk,再令nk→∞,由定義1.3和條件(i)可知,zn0?z?,再由n0的任意性可得,對(duì)一切n,都有

由 znk∈B(r?1(M))?B(D)可得,Bu0?znk?Bv0,再由 (3)式可知,Bu0?z??Bv0,即 z?∈B(D).對(duì)任意 y∈B(r?1(M)),存在 yn2∈{yn},使得 y?yn2,又 yn2?zn2,從而有y?zn2,再由(4)式可得y?z?.因此,z?是B(r?1(M))在B(D)中的上界,即

令x?=Cz?,任給x∈r?1(M)??,有Bx∈B(r?1(M)),由(5)式可得Bx?z?,由C是增算子可得CBx?Cz?,從而Ax?x?,再由x∈?可得,x?Ax?x?,故

下證x?∈?.由Bu0?z??Bv0,并利用條件(iv)知,

故x?=Cz?∈[u0,v0]=D.由(4)式及C的增性知

由于{zn}?B(r?1(M)),故可取xn∈r?1(M),使Bxn=zn.注意到xn?Axn,故由(7)式知再由B的增性即知zn=Bxn?BCz?,從而znk=Bxnk?BCz?,利用(3)式及條件(i)可得 z??BCz?.于是由C的增性可知 x?=Cz??CBCz?=ACz?=Ax?.因此x?∈?,故再由(6)式知,是M 在?/～中的上界.根據(jù)Zorn引理,?/～必有極大元.

推論 2.1在定理2.1的條件下,若設(shè)A滿足:

(v)當(dāng)x,y∈D且x～y時(shí),Ax=Ay,則A在D中必有不動(dòng)點(diǎn).

證明由定理 2.1的證明,任取有 y?～ Ay?,再由條件 (v)和條件 (iv)可知Ay?=A(Ay?),故Ay?是A在D中的不動(dòng)點(diǎn).

推論 2.2設(shè)X是序列相容的擬序拓?fù)淇臻g,D=[u0,v0]是X中的序區(qū)間,設(shè)

(i)A(D)是按擬序偽可分的;

(ii)A(D)中的單調(diào)增序列是相對(duì)序列緊的;

(iii)u0?Au0,Av0?v0.

則A在D中必有廣義不動(dòng)點(diǎn).

證明在定理2.1中,令X=Y,A=B,C=I即可.

定理 2.2若定理2.1的條件滿足,則A在D中必有最小廣義不動(dòng)點(diǎn)u?和最大廣義不動(dòng)點(diǎn)v?,即對(duì)任意A的廣義不動(dòng)點(diǎn)x?,必有u??x??v?.

證明令

則 FixA/=?.令 S={[u,v]是X中的序區(qū)間 |u,v∈D,u?Au,Av?v,FixA?[u,v]},顯然 D=[u0,v0]∈S,故 S非空.在 S中定義序關(guān)系“≤”如下:若 I1,I2∈S且 I1?I2,則I1≤I2,則S在序關(guān)系“≤”下是半序空間.又I1=I2等價(jià)于[u1,v1]?[u2,v2]且[u2,v2]?[u1,v1],也即 u1? u2,v2? v1且u2? u1,v1? v2,即 u1～ u2,v1～ v2,故 I1=I2等價(jià)于u1～u2,v1～v2.下證S在半序“≤”下有極小元.

任取S中的全序子集{Iα|α∈Γ}(Γ為指標(biāo)集),其中Iα=[uα,vα].令R={uα|α∈Γ},顯然 R?D是 D中的全擬序子集,再由 B的增性可知,B(R)是 B(D)中的全擬序子集.由條件(ii)可知存在{yn}?B(R)(n=1,2,···),使對(duì)任意y∈B(R),都有yn1∈{yn},使y?yn1.按照定理2.1同樣的方法,可得到{zn}、z?以及u?=Cz?分別滿足(1)-(7)式,其中u?是R在D中的上界,且u??Au?.下證u?是FixA的下界.

任取u∈FixA,則u～Au.于是

又由 FixA?Iα可知,對(duì)任意 Buα∈B(R),有 uα?u,再由 B的增性可得,Buα?Bu.

由Buα的任意性可知

再由條件 (i)中 Y的序列相容性和 (3)式可得 z??Bu,再由 C的增性以及 (8)式可得, u?=Cz??CBu=Au?u,故

考察P={vα|α∈Γ},同理可證,存在v?∈D,使得v?是P在D中的下界,且滿足Av??v?,以及

由(10)式、(11)式,令I(lǐng)=[u?,v?],顯然I∈S是{Iα|α∈Γ}在S中的一個(gè)下界,故由Zorn引理可知,S必有極小元.

設(shè)I?=[u?,v?]是S的極小元,下證u?～Au?,Av?～v?.由S的定義知,假設(shè)u??Au?,Av??v?,則由(12)式知u??Au?,Av??v?,再由A的增性可得,

對(duì)任意x∈FixA,有u??x,x?v?,且x～Ax,再由A的增性可得,

即FixA?[Au?,Av?],再由S的定義和(13)(14)式知,[Au?,Av?]∈S.由(14)式可知這與[u?,v?]是 S的極小元矛盾.故 u?～Au?,Av?～v?,即u?和 v?是 A在D 中的廣義不動(dòng)點(diǎn).再由(12)式可知u?和v?分別是 A在D中的最小廣義不動(dòng)點(diǎn)和最大廣義不動(dòng)點(diǎn).故A在D中存在最小廣義不動(dòng)點(diǎn)和最大廣義不動(dòng)點(diǎn).

推論 2.3在定理2.2和推論2.1的條件下,A在D中必有最小不動(dòng)點(diǎn)和最大不動(dòng)點(diǎn).

證明在定理 2.2證明中,u?～ Au?,Av?～ v?,則由條件 (v)可知,Au?=A(Au?), A(Av?)=Av?,再由FixA?[u?,v?]=[Au?,Av?]可得,Au?,Av?即為A在D中的最小不動(dòng)點(diǎn)和最大不動(dòng)點(diǎn).

注 2.1在定理2.1、定理2.2和推論2.1、推論2.3中,A表示為A=CB的形式,其中B映D入另一個(gè)擬序拓?fù)淇臻gY,而在Y中增序列關(guān)于某種拓?fù)涞南鄬?duì)緊性很容易檢驗(yàn).這樣,我們把在X中不容易檢驗(yàn)的條件轉(zhuǎn)移到容易檢驗(yàn)該條件的Y中,從而擴(kuò)大定理的適用范圍.因此定理2.1、定理2.2和推論2.1、推論2.3是文獻(xiàn)[6]中定理1、定理2和推論1、推論2的改進(jìn).

推論 2.4在推論2.2的條件下,A在D中必有最小廣義不動(dòng)點(diǎn)和最大廣義不動(dòng)點(diǎn).

證明在定理2中,令X=Y,A=B,C=I即可.

注 2.2定理 2.1、推論 2.2和定理 2.2、推論 2.4是對(duì)文獻(xiàn) [3]中定理 1、推論 1和定理2、推論2的改進(jìn),主要體現(xiàn)在以下三個(gè)方面:

(i)放寬了文獻(xiàn)[3]中對(duì)序關(guān)系的限制,只要求X是擬序集;

(ii)削弱了文獻(xiàn)[3]中的緊性條件,例如,由文獻(xiàn)[3]中的擬緊性條件可推出本文中的緊性條件,反之則不然;

(iii)進(jìn)一步放寬了對(duì)可分性條件的要求,例如,由文獻(xiàn)[3]中的擬可分性可推出偽可分性,反之則不然.

[1] 孫經(jīng)先.非線性泛函分析[M].北京:科學(xué)出版社,2007.

[2] 張金清.序方法與均衡分析[M].上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,2003.

[3] 孫經(jīng)先.非連續(xù)的增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理及其對(duì)含間斷項(xiàng)的非線性方程的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1988,31(1):101-107.

[4] 孫經(jīng)先.增算子的不動(dòng)點(diǎn)定理及其對(duì)Banach空間含間斷項(xiàng)的非線性方程的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1991,34(5):666-674.

[5] Zhang Jinqing.Zorn lemma on quasi-ordering sets and applications[J].Advances In Mathematics,1999,28(1): 89-91.

[6] 張金清.不完全偏好下非連續(xù)增算子的不動(dòng)點(diǎn)與廣義不動(dòng)點(diǎn)定理 [J].信陽師范學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版, 2005,18(1):22-25.

[7] Gierz G,Hofmann K H,Klaus Keimel,et al.Continuous Lattices and Domains[M].Cambridge:Cambridge University Press,2003.

Some new generalized fi xed point theorems for discontinuous increasing operator under quasi-order

Jiang Xin,Xue Xifeng
(Department of Mathematics,Northwest University,Xi′an 710127,China)

The existence of generalized fi xed points for discontinuous increasing operators which is expressed as the form A=CB with respect to quasi-order X is studied by using the order method.The existence of minimal and maximal generalized fi xed points for discontinuous increasing operators which is expressed as the form A=CB with respect to quasi-order X is proved,and the obtained results improve the related known works.

quasi-order,quasi-ordered topological space,increasing operator,generalized fi xed point

O177.91

A

1008-5513(2014)04-0406-06

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.04.010

2014-03-27.

陜西省自然科學(xué)專項(xiàng)基金(2012JM1017).

姜鑫(1988-),碩士生,研究方向：非線性泛函分析.

2010 MSC:47H10