劉占科

所謂形到數(shù)的轉(zhuǎn)化是指在取定的坐標(biāo)系下，使點(diǎn)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，曲線和方程對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上通過對(duì)方程的研究分析曲線的性質(zhì).而形到數(shù)的轉(zhuǎn)化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數(shù)問題的能力.在平常的教學(xué)中要讓學(xué)生深刻理解每一個(gè)代數(shù)式，每一種代數(shù)變形，每一種代數(shù)式演算方法的幾何意義. 下面通過一個(gè)例題說明一下如何用幾何方法解決代數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，以此培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力.

例已知：實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數(shù)角度出發(fā)是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結(jié)合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當(dāng)然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點(diǎn)與點(diǎn)

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用了經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構(gòu)建斜率，使復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數(shù)角度分析，再從幾何角度研究.可以發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法側(cè)重嚴(yán)密的推理和數(shù)式的演算，借助函數(shù)思想、方程思想解決問題.但使用時(shí)比較單調(diào)、乏味，有時(shí)會(huì)陷入煩瑣運(yùn)算，極易使學(xué)生感到厭煩.而幾何方法則獨(dú)辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動(dòng)態(tài)演示，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形轉(zhuǎn)化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規(guī)范圖形來表達(dá)，化枯燥為生動(dòng)，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學(xué)生的抽象思維和形象思維和諧復(fù)合，使問題得到簡捷解決.

數(shù)向形轉(zhuǎn)化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個(gè)代數(shù)問題我們應(yīng)首先分析這個(gè)代數(shù)問題是否具備由“數(shù)向形”轉(zhuǎn)化的可行性，如果具備了轉(zhuǎn)化的條件再分析有沒有轉(zhuǎn)化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數(shù)向形”的轉(zhuǎn)化為我們解決代數(shù)問題提供了一種方法，有時(shí)會(huì)在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現(xiàn)“柳暗花明又一村”的效果.一個(gè)代數(shù)問題用代數(shù)方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數(shù)向形的轉(zhuǎn)化是研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的思想方法，通過數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，把問題中數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圖形的大小與位置關(guān)系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數(shù)向形轉(zhuǎn)化的思想方法是反映學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一.練習(xí)使用數(shù)向形的轉(zhuǎn)化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí)，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實(shí)驗(yàn)演示：在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng)，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí)，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

所謂形到數(shù)的轉(zhuǎn)化是指在取定的坐標(biāo)系下，使點(diǎn)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，曲線和方程對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上通過對(duì)方程的研究分析曲線的性質(zhì).而形到數(shù)的轉(zhuǎn)化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數(shù)問題的能力.在平常的教學(xué)中要讓學(xué)生深刻理解每一個(gè)代數(shù)式，每一種代數(shù)變形，每一種代數(shù)式演算方法的幾何意義. 下面通過一個(gè)例題說明一下如何用幾何方法解決代數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，以此培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力.

例已知：實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數(shù)角度出發(fā)是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結(jié)合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當(dāng)然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點(diǎn)與點(diǎn)

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用了經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構(gòu)建斜率，使復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數(shù)角度分析，再從幾何角度研究.可以發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法側(cè)重嚴(yán)密的推理和數(shù)式的演算，借助函數(shù)思想、方程思想解決問題.但使用時(shí)比較單調(diào)、乏味，有時(shí)會(huì)陷入煩瑣運(yùn)算，極易使學(xué)生感到厭煩.而幾何方法則獨(dú)辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動(dòng)態(tài)演示，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形轉(zhuǎn)化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規(guī)范圖形來表達(dá)，化枯燥為生動(dòng)，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學(xué)生的抽象思維和形象思維和諧復(fù)合，使問題得到簡捷解決.

數(shù)向形轉(zhuǎn)化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個(gè)代數(shù)問題我們應(yīng)首先分析這個(gè)代數(shù)問題是否具備由“數(shù)向形”轉(zhuǎn)化的可行性，如果具備了轉(zhuǎn)化的條件再分析有沒有轉(zhuǎn)化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數(shù)向形”的轉(zhuǎn)化為我們解決代數(shù)問題提供了一種方法，有時(shí)會(huì)在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現(xiàn)“柳暗花明又一村”的效果.一個(gè)代數(shù)問題用代數(shù)方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數(shù)向形的轉(zhuǎn)化是研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的思想方法，通過數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，把問題中數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圖形的大小與位置關(guān)系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數(shù)向形轉(zhuǎn)化的思想方法是反映學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一.練習(xí)使用數(shù)向形的轉(zhuǎn)化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí)，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實(shí)驗(yàn)演示：在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng)，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí)，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.

所謂形到數(shù)的轉(zhuǎn)化是指在取定的坐標(biāo)系下，使點(diǎn)與坐標(biāo)對(duì)應(yīng)，曲線和方程對(duì)應(yīng)，在此基礎(chǔ)上通過對(duì)方程的研究分析曲線的性質(zhì).而形到數(shù)的轉(zhuǎn)化的作用在于可以提高我們使用幾何方法解決代數(shù)問題的能力.在平常的教學(xué)中要讓學(xué)生深刻理解每一個(gè)代數(shù)式，每一種代數(shù)變形，每一種代數(shù)式演算方法的幾何意義. 下面通過一個(gè)例題說明一下如何用幾何方法解決代數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)數(shù)到形的轉(zhuǎn)化，以此培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維能力.

例已知：實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，求y+1x+2取值范圍.

分析本題從代數(shù)角度出發(fā)是可行的，

由x-y+2=0得y=x+2，

則y+1x+2=（x+2）+1x+2=1+1x+2，

結(jié)合x的范圍可求出y的范圍為[65，43].

當(dāng)然還可以令t=y+1x+2，反求出x=3-2tt-1，

解不等式1≤3-2tt-1≤3，即可求出t的范圍.

下面我們從幾何角度考慮一下，實(shí)數(shù)x，y滿足x-y+2=0，x∈[1，3]，

而y+1x+2=y-（-1）x-（-2），x∈[1，3]的幾何意義是線段x-y+2=0，x∈[1，3]上的點(diǎn)與點(diǎn)

P（-2，-1）連線的斜率.

如圖1所示，

kPA=3+11+2=43，

kPB=5+13+2=65，

所以y+1x+2的取值范圍為[65，43].

本題的實(shí)質(zhì)是應(yīng)用了經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1）與P2（x2，y2）的直線的斜率k=y2-y1x2-x1的幾何意義.通過巧妙構(gòu)建斜率，使復(fù)雜的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為形象的幾何問題，使問題得到別開生面的巧解.

以上例題是先從代數(shù)角度分析，再從幾何角度研究.可以發(fā)現(xiàn)，代數(shù)方法側(cè)重嚴(yán)密的推理和數(shù)式的演算，借助函數(shù)思想、方程思想解決問題.但使用時(shí)比較單調(diào)、乏味，有時(shí)會(huì)陷入煩瑣運(yùn)算，極易使學(xué)生感到厭煩.而幾何方法則獨(dú)辟蹊徑，教師可以通過幾何畫板軟件，借助軟件的動(dòng)態(tài)演示，實(shí)現(xiàn)數(shù)向形轉(zhuǎn)化，把抽象的概念，枯燥的公式，用直觀形象的規(guī)范圖形來表達(dá)，化枯燥為生動(dòng)，化抽象為直觀，化直觀為精確.促使學(xué)生的抽象思維和形象思維和諧復(fù)合，使問題得到簡捷解決.

數(shù)向形轉(zhuǎn)化的題目很多，但我們要明確，并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都能用幾何方法來解決，也并不是遇到一個(gè)代數(shù)問題都有必要用幾何方法來解決.給定一個(gè)代數(shù)問題我們應(yīng)首先分析這個(gè)代數(shù)問題是否具備由“數(shù)向形”轉(zhuǎn)化的可行性，如果具備了轉(zhuǎn)化的條件再分析有沒有轉(zhuǎn)化的必要性.總之，要具體問題具體分析，不能照搬和照抄解題模式.“數(shù)向形”的轉(zhuǎn)化為我們解決代數(shù)問題提供了一種方法，有時(shí)會(huì)在“山窮水盡疑無路”的情況下，突現(xiàn)“柳暗花明又一村”的效果.一個(gè)代數(shù)問題用代數(shù)方法解決，還是用幾何方法解決，要看哪一種簡單易行，能起到化繁為簡，化難為易，化抽象為直觀，化間接為直接的作用.

數(shù)向形的轉(zhuǎn)化是研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種基本的思想方法，通過數(shù)向形的轉(zhuǎn)化，把問題中數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為圖形的大小與位置關(guān)系，從而把問題變得簡單、具體、直觀、容易解決.數(shù)向形轉(zhuǎn)化的思想方法是反映學(xué)生數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志之一.練習(xí)使用數(shù)向形的轉(zhuǎn)化可以提高分析問題、解決問題的能力.

或是和學(xué)生一起完成的實(shí)驗(yàn)等.

例如，和學(xué)生一起學(xué)習(xí)橢圓的定義時(shí)，可以給學(xué)生進(jìn)行簡單的實(shí)驗(yàn)演示：在豎直平面上固定兩個(gè)釘子A、B，取一根無彈力繩（繩子的長度大于兩釘子的間距），將繩子的兩端分別系在A、B上，然后用粉筆拉緊繩在平面上移動(dòng)，得到圖形，不是圓，卻又很規(guī)則，讓學(xué)生直觀地感受“橢圓”的形態(tài).接著要求學(xué)生自己去觀察、發(fā)現(xiàn)并用形象化的語言對(duì)橢圓的特點(diǎn)進(jìn)行描述，最后再用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行準(zhǔn)確地表達(dá).有了橢圓的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步發(fā)散，“雙曲線”的學(xué)習(xí)變得簡單了，最終掌握“圓錐曲線”的思想方法.

（2）模型資源：教學(xué)中用到的模型、掛圖、多媒體課件等.

例如，在和學(xué)生一起學(xué)習(xí)“集合間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算”時(shí)，給學(xué)生提供韋恩圖（如圖2所示），學(xué)生可以十分直觀、清晰地看到集合間的關(guān)系，有利于知識(shí)的理解和運(yùn)用.

（3）語言資源：數(shù)學(xué)形象化語言，如概念、定理的文字、符號(hào)和圖形表征.

我們?cè)诮虒W(xué)過程中要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)科學(xué)地設(shè)置學(xué)習(xí)情境，借助于形象思維資源幫助學(xué)生從直觀的感性認(rèn)識(shí)逐步引導(dǎo)到抽象的數(shù)學(xué)理性認(rèn)識(shí).

在數(shù)學(xué)上，我們必須指出，數(shù)學(xué)中的形象已經(jīng)不是形象思維初級(jí)階段的那種形象，即單憑人的感官在所能感知閾限的限度以內(nèi)的形象，而是在前一步抽象的基礎(chǔ)上通過抽象邏輯思維的滲透和數(shù)學(xué)語言做物質(zhì)外殼，運(yùn)用典型化的手段概括出的理想化形象.因此對(duì)于數(shù)學(xué)形象的理解，絕不能僅僅的理解為幾何圖形，除幾何圖形之外，它還包括各種試驗(yàn)、實(shí)物、模型、表格等，甚至也不排除數(shù)學(xué)知識(shí)在頭腦中形成的記憶形象和較直觀地揭示問題本質(zhì)的語言和符號(hào)等.如結(jié)合數(shù)軸解不等式中的數(shù)軸；利用圖形講解函數(shù)性質(zhì)的圖象；利用韋恩圖講解集合有關(guān)知識(shí)的韋恩圖等均屬于數(shù)學(xué)形象.因此，數(shù)學(xué)的形象大體屬于觀念形象的范疇.從這個(gè)意義上說，數(shù)學(xué)形象思維與抽象思維一樣屬于認(rèn)識(shí)的高級(jí)階段，同樣可以揭示、反映事物的本質(zhì)和規(guī)律.