姚俊萍，李新社，封富君

（西安高新技術(shù)研究所， 陜西 西安710025）

論函數(shù)的構(gòu)造與分析

姚俊萍，李新社，封富君

（西安高新技術(shù)研究所， 陜西 西安710025）

本文系統(tǒng)地論述了幾種特殊條件下的函數(shù)構(gòu)造問題，對(duì)有限集合間滿射、單射、雙射函數(shù)的構(gòu)造問題進(jìn)行了重點(diǎn)討論分析，并特別針對(duì)有限集合間滿射函數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算問題給出了自己的思考方法和證明過程，最后舉例說明了進(jìn)行函數(shù)良定性證明的必要性.

有限集合；無限集合；滿射函數(shù);單射函數(shù);雙射函數(shù)

從集合A向集合B構(gòu)造函數(shù)，一些基本結(jié)論已經(jīng)形成[1]，如可數(shù)無限集合與自然數(shù)集合之間可構(gòu)造一雙射函數(shù)，實(shí)數(shù)與[0,1]區(qū)間可構(gòu)造一雙射函數(shù)等.當(dāng)集合A與集合B都是有限集合時(shí)，若|A|=m，|B|=n，則當(dāng)m>n時(shí)，A與B之間可構(gòu)造滿射函數(shù)；當(dāng)m

1 有限集合之間函數(shù)的構(gòu)造及其個(gè)數(shù)

由上文可知，當(dāng)集合A與B都是有限集合時(shí)，若|A|=m，|B|=n，則可構(gòu)造的函數(shù)總個(gè)數(shù)為nm個(gè).當(dāng)mn時(shí)，A與B之間可構(gòu)造滿射函數(shù)，許多學(xué)者都給出了自己不同的見解[2-3]，列出了不同的公式，而且提供了論述過程.比如有的學(xué)者給出的公式為，有的學(xué)者給出的公式為，有的學(xué)者給出的公式為，還有的給出的是.這些乍一看，似乎都有一定道理，但都經(jīng)不起驗(yàn)證，取m=3,4,5,n=2進(jìn)行計(jì)算便可知都不對(duì).那么，該如何求解滿射函數(shù)個(gè)數(shù)呢？下面給出筆者的兩種思考方法.

1.1 方法一

首先找出將A中元素分為n組的分法數(shù)（每組非空），再將B中元素進(jìn)行全排列，最后，將上面兩個(gè)結(jié)果相乘即可.

但問題是如何獲得A的分組數(shù)？當(dāng)n>2時(shí)，比較難以處理，需要用到組合數(shù)學(xué)的很多知識(shí).當(dāng)n=2時(shí)，若m是奇數(shù)，則滿射函數(shù)個(gè)數(shù)為)；若m是偶數(shù)，則滿射函數(shù)個(gè)數(shù)為

但上面沒有解決一般性的問題，我們將集合A中的n個(gè)元素看成n個(gè)不同的球，將集合B中的m個(gè)元素看成m個(gè)不同盒子，問題就變成將n個(gè)不同球分到m個(gè)不同的盒子，使每個(gè)盒子非空.

為了方便起見，先將集合B中的m個(gè)元素看成m個(gè)沒有區(qū)別的盒子，求將A中元素分為n組的分法數(shù)（每組非空），記為S(m,n).

顯然有

基于①和②易計(jì)算S(m,1),S(m,2),S(m,3)，然后猜想S(m, n)的計(jì)算公式為

將③代入②，并結(jié)合④、⑤、⑥可以驗(yàn)證猜想是成立的.另外也可以通過數(shù)學(xué)歸納法（對(duì)n進(jìn)行歸納）來證明猜想的正確性.

有了上面這個(gè)公式，再將集合B中的m個(gè)元素看成m個(gè)有區(qū)別的盒子，即可求得不同的分法數(shù)為n!S(m,n).也就是說，滿射函數(shù)個(gè)數(shù)為

通過分析該公式，不難給出下列簡(jiǎn)單結(jié)論：

當(dāng)n=1時(shí)，滿射函數(shù)只有1個(gè)；當(dāng)n=2時(shí)，滿射函數(shù)有2m-2個(gè)；當(dāng)n=3時(shí)，滿射函數(shù)有3m-3×2n+3個(gè)；當(dāng)n=m時(shí)，滿射函數(shù)只有n!個(gè)；

1.2 方法二

根據(jù)函數(shù)定義容易得出下列結(jié)論：

（1）A與B之間可構(gòu)造的函數(shù)有nm個(gè).

兩種方法結(jié)論一致，體現(xiàn)出組合數(shù)學(xué)中殊途同歸的邏輯思想.

2 無限集合之間函數(shù)的構(gòu)造

2.1 可數(shù)無限集合與可數(shù)無限集合之間函數(shù)的構(gòu)造

根據(jù)可數(shù)無限集合的定義，任意可數(shù)無限集合與自然數(shù)集合之間可以構(gòu)造一個(gè)雙射函數(shù).假設(shè)A與B是兩個(gè)可數(shù)無限集合，用N表示自然數(shù)集合，再假設(shè)A與N之間可建立的一個(gè)雙射函數(shù)為 α，B與N之間可建立的一個(gè)雙射函數(shù)為 β，于是A與B之間可建立一個(gè)雙射函數(shù)為 β-1α.

2.2 不可數(shù)無限集合與不可數(shù)無限集合之間函數(shù)的構(gòu)造

若A和B是兩個(gè)不可數(shù)無限集合，則在它們之間構(gòu)造函數(shù)比較困難，通常采取的方法是選擇一個(gè)熟知的不可數(shù)無限集合作為標(biāo)準(zhǔn)，比如閉區(qū)間[0,1]，進(jìn)行討論分析：

①若A與[0,1]之間可建立一雙射函數(shù) α，而B與[0,1]之間可建立一雙射函數(shù)β，則A和B之間可建立一雙射函數(shù)δ=β-1α；

②若A與[0,1]之間可建立一單射函數(shù) α，而[0,1]與B之間可建立一單射函數(shù)β，則A和B之間可建立一雙射函數(shù)δ=βα；

③若A與[0,1]之間可建立一滿射函數(shù) α，而[0,1]與B之間可建立一滿射函數(shù)β，則A和B之間可建立一滿函數(shù)δ=βα.

根據(jù)A和B之間函數(shù)類型可以比較二者勢(shì)的關(guān)系，即若A和B之間存在雙射函數(shù)，則|A|=|B|；若A和B之間存在單射函數(shù)，則|A|<|B|；若B和A之間存在單射函數(shù)，則|B|<|A|.值得注意的是，無限不可數(shù)集合研究涉及問題很多，也很復(fù)雜.比如可以構(gòu)造A到B的單射函數(shù)，也可以構(gòu)造B到A的單射函數(shù)，則A與B之間存在一雙射函數(shù)，并由三歧義定理有|A|=|B|，但問題是雙射函數(shù)難以構(gòu)造.

3 滿足抽象條件的函數(shù)構(gòu)造

（1）設(shè)某函數(shù)f滿足f(x+y)=f(x)+f(y)，試構(gòu)造滿足此條件的函數(shù).

（2）設(shè)某函數(shù)f滿足f(xy)=f(x)+f(y)，試構(gòu)造滿足此條件的函數(shù).

容易推得f(1)=0，其形式類似于對(duì)數(shù)函數(shù).若定義在正實(shí)數(shù)集上，對(duì)數(shù)函數(shù)能夠滿足此條件，但反之不一定成立.換句話說，在正實(shí)數(shù)集上，對(duì)數(shù)函數(shù)是f(xy)=f(x)+f(y)成立的充分條件.若定義在實(shí)數(shù)上，因?yàn)閒(1)=0,f(1)=f(-1)+f(-1)，可推出f (-1)=0，常函數(shù)f(x)=0顯然滿足此條件，但這時(shí)也無法證明只有常函數(shù)f(x)=0才滿足條件，也就是說，在實(shí)數(shù)集上，常函數(shù)f(x)=0是f(xy)=f(x)+f(y)成立的充分條件. )得

（3）設(shè)某函數(shù)f滿足f(x+y)=f(x)f(y)，試構(gòu)造滿足此條件的函數(shù).

形式仍類似于指數(shù)函數(shù)，與（2）的邏輯推理一樣，其實(shí)常函數(shù)f(x)=0顯然滿足.所以指數(shù)函數(shù)和常函數(shù)f(x)=0都滿足條件.

4 函數(shù)良定性判定

函數(shù)構(gòu)造完成后，如果常見而且非常顯然，則無須討論其良定性問題，但如果比較抽象、直觀性較差就必須給出相應(yīng)的證明過程.

（1）設(shè)A是由{a,b,c}生成的字符串組成的集合，N是自然數(shù)集合，定義[1]，f(a)=1，f(b)=2，f(c)=3，且如果x∈A，y∈A，則規(guī)定f(xy)=f(x)f(y).可以證明該函數(shù)不是良定的，如：f(bac)=f(b)f(ac)=2，同時(shí)f(bac)=f(ba)f(c)=8.

（2）設(shè)G包含模n的n個(gè)剩余類.我們用[a]表示a這個(gè)整數(shù)所在的剩余類[4]，規(guī)定[a]+[b]=[a+b].現(xiàn)在的問題是這樣的規(guī)定是否合理?事實(shí)上是合理的.因?yàn)榧偃鬧a']=[a]，[b']=[b]，則有n|(a-a')，n|(b-b')，于是n|(a+b)-(a'+b')，因此[a']+[b']=[a'+b']= [a+b]=[a]+[b].

（3）設(shè)f是G到G'的一個(gè)同態(tài)[5,6,7]，N是G的同態(tài)核，構(gòu)造一個(gè)函數(shù)f1：G/N→G'，對(duì)于任意a∈G，f1(aN)=f(a).該函數(shù)構(gòu)造的是否合理？這實(shí)際上是要判斷在aN=bN條件下，f(a)=f(b)是否成立.因?yàn)閍N=bN，所以ab-1∈N，于是f(ab-1)=e',f(a)f(b-1) =f(a)f(b)-1=e'，因此f(a)=f(b).下面給出一個(gè)例子：

例 如果gcd(m,n)=1,那么和的積，即>與同構(gòu).

證明 構(gòu)造函數(shù)f:Nm×Nn→Nmn，f()=nx+mnmy

首先證明f是一個(gè)雙射函數(shù).

設(shè),∈Nm×Nn，如果f()=f()，由f定義知：na+mnmb=na1+mnmb1，即n((a-a1)+km)=m(b1-b)，k是整數(shù).由于gcd(m,n)=1，且0≤|a-a1|≤m-1，0≤|b-b1|≤n-1，所以

a=a1，b=b1，=.

因此，f是一對(duì)一的函數(shù).由于Nm×Nn中的元數(shù)和Nmn中的相同，故f是一對(duì)一且到上的函數(shù)，即雙射函數(shù).

再證明Nm×Nn和Nmn的常數(shù)相對(duì)應(yīng).

最后證明f關(guān)于運(yùn)算具有保持性.

設(shè),∈Nm×Nn，如果a+c≥m，na+nc≥nm，那么a+mc=a+c-m，n(a+mc)=na+nc-mn，

即na+mnnc=na+nc-mn，n(a+mc)=na+mnnc

如果a+c≤m，可以同理得出n(a+mc)=na+mnnc.無論a+c≥m還是a+c≤m，等式na+mnnc總成立.

同理還可以得出m(b+nd)=mb+mnmd，因此

根據(jù)f的定義得出

而根據(jù)代數(shù)乘法定義有

所以f(+)=f()+mnf().

綜上所述和的積，即>與同構(gòu).

5 結(jié)論

在很多情況下，構(gòu)造函數(shù)顯得隨意性較強(qiáng)，但對(duì)于構(gòu)造的模型需要進(jìn)行研究.首先應(yīng)考慮構(gòu)造的模型是否為函數(shù)，其次，構(gòu)造的模型是一個(gè)具有什么樣特征的函數(shù)，最后，還應(yīng)關(guān)注具有如此特征的函數(shù)有多少個(gè).本文從不同方面研究了這些問題，給出并證明了求解滿射函數(shù)個(gè)數(shù)的公式.

〔1〕方世昌.離散數(shù)學(xué)[M].西安：西安電子科技大 學(xué) 出版社，2005.

〔2〕張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔3〕韓士安.近世代數(shù)[M].北京：科學(xué)出版社，2003.

〔4〕盧開澄.組合數(shù)學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，1999.

〔5〕祝家規(guī).抽象代數(shù)[M].北京：中國科學(xué)技術(shù)大 學(xué) 出版社，2011.

〔6〕楊綸標(biāo).模糊數(shù)學(xué)原理及應(yīng)用[M].廣州：華南理工大學(xué)出版社，2011.

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A

1673-260X（2014）06-0001-03

國家自然科學(xué)基金“臨近空間SAR成像與信息獲取基礎(chǔ)理論與關(guān)鍵技術(shù)研究”（基金號(hào)：61132008）