劉峰，王德明，歐陽慧珉，張廣明，袁宇浩

(南京工業(yè)大學(xué) 自動(dòng)化與電氣工程學(xué)院，南京 211816)

相比于傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承, 磁軸承具有無磨損、無需潤(rùn)滑、剛度和阻尼可調(diào)等特性，因此廣泛應(yīng)用于高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，如飛輪儲(chǔ)能裝置、控制力矩陀螺等。

主動(dòng)磁軸承依靠繞組鐵芯產(chǎn)生的磁力使鐵磁體與磁極產(chǎn)生氣隙以達(dá)到懸浮的目的，但由于磁體產(chǎn)生的吸力為非保守力，因此磁軸承系統(tǒng)本身為一個(gè)不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要通過控制器使主軸能穩(wěn)定懸浮。在磁軸承的發(fā)展中對(duì)控制器及控制策略的研究相當(dāng)多，滑模變結(jié)構(gòu)控制因?qū)ο到y(tǒng)參數(shù)攝動(dòng)和外界擾動(dòng)具有魯棒性和自適應(yīng)性，因而被廣泛應(yīng)用于主動(dòng)磁軸承。文獻(xiàn)[1]研究了滑?？刂拼泡S承系統(tǒng)的非線性和不確定性的解決方案，并且將滑模控制應(yīng)用于單自由度的磁懸浮系統(tǒng)中；文獻(xiàn)[2]討論了在不同硬件特性下滑?？刂品椒▽?duì)磁軸承系統(tǒng)控制的特性，把系統(tǒng)中存在的擾動(dòng)歸因于建模不精確和外部干擾，但沒有考慮系統(tǒng)交叉耦合的影響；文獻(xiàn)[3]應(yīng)用滑模觀測(cè)器對(duì)磁軸承的擾動(dòng)量進(jìn)行觀測(cè)并且實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償，使用了基于PID控制的交叉解耦方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行解耦，并使用經(jīng)過校正環(huán)節(jié)后的觀測(cè)值對(duì)轉(zhuǎn)子的不平衡擾動(dòng)進(jìn)行補(bǔ)償，但控制與補(bǔ)償系統(tǒng)的設(shè)計(jì)較為復(fù)雜。

針對(duì)磁軸承轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的陀螺效應(yīng)和由于轉(zhuǎn)子的不平衡導(dǎo)致的擾動(dòng)，設(shè)計(jì)了基于交叉反饋控制的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，實(shí)現(xiàn)了交叉解耦，提高了系統(tǒng)對(duì)干擾與陀螺耦合的魯棒性，通過仿真證明該控制系統(tǒng)能準(zhǔn)確地跟蹤給定信號(hào)并且較好地抑制干擾。

1 磁軸承系統(tǒng)建模

假設(shè)系統(tǒng)使用的是剛性轉(zhuǎn)子，執(zhí)行器與放大器均為非飽和狀態(tài)，以徑向4自由度主動(dòng)磁軸承為對(duì)象，建立轉(zhuǎn)子關(guān)于兩端軸承坐標(biāo)系的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程。以轉(zhuǎn)子質(zhì)心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，以z軸作為轉(zhuǎn)子在電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下的旋轉(zhuǎn)軸;y軸方向?qū)?yīng)于上下定子磁極；x軸對(duì)應(yīng)于前后定子磁極。磁懸浮轉(zhuǎn)軸的運(yùn)動(dòng)示意圖如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)示意圖

廣義坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為

drFdry，

(1)

式中：J,Jz為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ω為角速度；xc，yc，θx，θy分別為廣義坐標(biāo)系下轉(zhuǎn)子的位移量和角位移量；a，b為兩端的磁力到質(zhì)心的距離；dl，dr為左、右不平衡力到質(zhì)心的距離；Flx，F(xiàn)rx分別為左、右磁軸承在x方向產(chǎn)生的磁力；Fly，F(xiàn)ry分別為左、右磁軸承在y方向產(chǎn)生的磁力；由于加工裝配工藝及精度的限制，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)時(shí)存在不平衡擾動(dòng)，F(xiàn)dlx，F(xiàn)drx分別為左、右端在x方向上的干擾力；Fdly，F(xiàn)dry分別為左、右端在y方向上的干擾力。

由圖1可知，由廣義坐標(biāo)系到兩端坐標(biāo)的坐標(biāo)變換為

(2)

由(1)，(2)式和電磁力的線性化方程可得轉(zhuǎn)子的運(yùn)動(dòng)方程為

H=A-TMA-1,C=A-TGA-1，

(3)

Fdlx=c1drcos(ωt+ζ)+c2sin(ωt+φ)，

Fdrx=c1dlcos(ωt+ζ)-c2sin(ωt+φ)，

Fdly=c1drsin(ωt+ζ)+c2cos(ωt+φ)，

Fdry=c1dlsin(ωt+ζ)-c2cos(ωt+φ)，

2 基于交叉反饋的滑?？刂破髟O(shè)計(jì)

交叉反饋控制[4-6]相比于魯棒控制等集中控制方法，具有設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單、工程上易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于磁軸承系統(tǒng)的解耦控制中。由于具有耦合項(xiàng)的磁軸承MIMO系統(tǒng)的滑模控制較為復(fù)雜，不易于工程設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)，因此，可以將滑?？刂婆c交叉反饋相結(jié)合，在解耦的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)滑?？刂破?，降低設(shè)計(jì)難度，使系統(tǒng)在滿足跟蹤特性的同時(shí)減小耦合的影響。由(3)式可得

(4)

e=qL-qd，

(5)

設(shè)計(jì)切換函數(shù)為

(6)

Λ為切換函數(shù)系數(shù)矩陣，則

(7)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(8)

則

(9)

結(jié)合交叉反饋控制原理設(shè)計(jì)控制輸入為[4]

(10)

P=diag(kP,kP,kP,kP),

式中：P，D分別為交叉反饋控制的比例系數(shù)項(xiàng)和微分系數(shù)項(xiàng)；kcφ為交叉系數(shù)；kP為比例系數(shù)；kD為微分常數(shù)；ε為等速趨近常數(shù)；k為指數(shù)趨近常數(shù)。系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 磁軸承系統(tǒng)仿真參數(shù)

H-1[(KiP+Ks)qL-ks-εsgns+

DisFd-d]} ，

(11)

若滿足條件

(12)

則(11)式可化為

(13)

dU=[dxlU,dxrU,dylU,dyrU]，

dL=[dxlL,dxrL,dylL,dyrL]，

設(shè)d應(yīng)滿足條件

(14)

則干擾上下界為

(15)

閉環(huán)系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 交叉滑?？刂葡到y(tǒng)框圖

同時(shí)，為了驗(yàn)證交叉滑?？刂菩阅埽瑢?duì)比了傳統(tǒng)帶交叉反饋的PID控制器對(duì)磁軸承系統(tǒng)的分散交叉控制。單自由度上PID控制算法為

3 仿真與討論

根據(jù)(13)式，若系統(tǒng)的干擾項(xiàng)在上下限[dL,dU]范圍內(nèi)，則設(shè)置相應(yīng)的上下限值可使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。由(12)式可得切換系數(shù)矩陣為

Λ=-(H-1KiD-H-1C)。

(16)

圖3 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的位移階躍響應(yīng)

由圖3可知，滑?？刂频捻憫?yīng)時(shí)間遠(yuǎn)小于PID控制的響應(yīng)時(shí)間，且穩(wěn)態(tài)誤差小于1%，滿足使用要求。PID控制的初始響應(yīng)速度較慢且抑制擾動(dòng)的效果較差。由于使用了切換函數(shù)和指數(shù)趨近的趨近率，滑?？刂瓶梢越档拖到y(tǒng)位移誤差，使到達(dá)段與滑模段的運(yùn)動(dòng)軌跡較平滑，其穩(wěn)態(tài)特性也較好，同時(shí)，通過調(diào)節(jié)系數(shù)k和ε可加快系統(tǒng)的趨近過程。由圖3a,圖3c,圖3e,圖3g和Fd的計(jì)算式可知，隨著轉(zhuǎn)速的升高，系統(tǒng)不平衡擾動(dòng)力增大，但由于滑模上下界的控制，在設(shè)定的范圍內(nèi)滑?？刂频奈灰栖壽E收斂，是一個(gè)穩(wěn)定的過程。由于存在陀螺效應(yīng)，左端轉(zhuǎn)子的位移與右端轉(zhuǎn)子的位移形成耦合。由圖3b,圖3d,圖3f和圖3h可知，使用帶交叉反饋的PID控制時(shí)右端轉(zhuǎn)子位移響應(yīng)為衰減振型，且振蕩周期遠(yuǎn)大于使用交叉滑模控制時(shí)的振蕩周期， 因此，所設(shè)計(jì)的基于交叉解耦的滑?？刂破骺稍跍p小系統(tǒng)誤差的同時(shí)降低耦合的影響。

在不同轉(zhuǎn)速下xl方向的位移誤差相軌跡如圖4所示。由圖可知，當(dāng)轉(zhuǎn)速升高時(shí)使用交叉滑?？刂频南到y(tǒng)主軸的振動(dòng)加快且振蕩周期增大，但系統(tǒng)響應(yīng)曲線仍為衰減振型且誤差趨向于零。

圖4 xl方向轉(zhuǎn)子位移誤差相軌跡

4 結(jié)束語

針對(duì)轉(zhuǎn)子陀螺耦合效應(yīng)、不平衡擾動(dòng)，應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性定理構(gòu)造了基于交叉反饋控制的滑?？刂破鳌Ｍㄟ^對(duì)使用該控制方法的磁軸承系統(tǒng)進(jìn)行仿真可知，系統(tǒng)的跟蹤特性和抗干擾特性較好，與傳統(tǒng)的帶交叉反饋的PID控制相比具有較好的穩(wěn)態(tài)精度；應(yīng)用了基于擾動(dòng)上下界的滑?？刂品椒ǎ岣吡讼到y(tǒng)在干擾輸入時(shí)的穩(wěn)定性；當(dāng)轉(zhuǎn)子的干擾在設(shè)置的不平衡擾動(dòng)的上下界范圍內(nèi)時(shí)，系統(tǒng)可獲得對(duì)不平衡的干擾及陀螺耦合的魯棒性，具有實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值。由于磁軸承系統(tǒng)普遍存在非線性現(xiàn)象，且該特性的確定較為復(fù)雜，而滑?？刂剖墙鉀Q該問題的一種較常用的且效果較好的控制方案，因此，應(yīng)用基于交叉解耦的滑?？刂平鉀Q系統(tǒng)的非線性問題將是接下來研究工作的重點(diǎn)。