劉峰，王德明，歐陽慧珉，張廣明，袁宇浩

(南京工業(yè)大學 自動化與電氣工程學院，南京 211816)

相比于傳統(tǒng)的滾動軸承, 磁軸承具有無磨損、無需潤滑、剛度和阻尼可調(diào)等特性，因此廣泛應用于高速旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)，如飛輪儲能裝置、控制力矩陀螺等。

主動磁軸承依靠繞組鐵芯產(chǎn)生的磁力使鐵磁體與磁極產(chǎn)生氣隙以達到懸浮的目的，但由于磁體產(chǎn)生的吸力為非保守力，因此磁軸承系統(tǒng)本身為一個不穩(wěn)定系統(tǒng)，需要通過控制器使主軸能穩(wěn)定懸浮。在磁軸承的發(fā)展中對控制器及控制策略的研究相當多，滑模變結(jié)構(gòu)控制因?qū)ο到y(tǒng)參數(shù)攝動和外界擾動具有魯棒性和自適應性，因而被廣泛應用于主動磁軸承。文獻[1]研究了滑?？刂拼泡S承系統(tǒng)的非線性和不確定性的解決方案，并且將滑?？刂茟糜趩巫杂啥鹊拇艖腋∠到y(tǒng)中；文獻[2]討論了在不同硬件特性下滑?？刂品椒▽Υ泡S承系統(tǒng)控制的特性，把系統(tǒng)中存在的擾動歸因于建模不精確和外部干擾，但沒有考慮系統(tǒng)交叉耦合的影響；文獻[3]應用滑模觀測器對磁軸承的擾動量進行觀測并且實現(xiàn)補償，使用了基于PID控制的交叉解耦方法對系統(tǒng)進行解耦，并使用經(jīng)過校正環(huán)節(jié)后的觀測值對轉(zhuǎn)子的不平衡擾動進行補償，但控制與補償系統(tǒng)的設計較為復雜。

針對磁軸承轉(zhuǎn)子在高速旋轉(zhuǎn)時產(chǎn)生的陀螺效應和由于轉(zhuǎn)子的不平衡導致的擾動，設計了基于交叉反饋控制的滑模變結(jié)構(gòu)控制器，實現(xiàn)了交叉解耦，提高了系統(tǒng)對干擾與陀螺耦合的魯棒性，通過仿真證明該控制系統(tǒng)能準確地跟蹤給定信號并且較好地抑制干擾。

1 磁軸承系統(tǒng)建模

假設系統(tǒng)使用的是剛性轉(zhuǎn)子，執(zhí)行器與放大器均為非飽和狀態(tài)，以徑向4自由度主動磁軸承為對象，建立轉(zhuǎn)子關(guān)于兩端軸承坐標系的系統(tǒng)運動方程。以轉(zhuǎn)子質(zhì)心O為原點建立空間直角坐標系O-xyz，以z軸作為轉(zhuǎn)子在電動機驅(qū)動下的旋轉(zhuǎn)軸;y軸方向?qū)谏舷露ㄗ哟艠O；x軸對應于前后定子磁極。磁懸浮轉(zhuǎn)軸的運動示意圖如圖1所示。

圖1 轉(zhuǎn)子運動示意圖

廣義坐標系下轉(zhuǎn)子的運動方程為

drFdry，

(1)

式中：J,Jz為轉(zhuǎn)動慣量；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；ω為角速度；xc，yc，θx，θy分別為廣義坐標系下轉(zhuǎn)子的位移量和角位移量；a，b為兩端的磁力到質(zhì)心的距離；dl，dr為左、右不平衡力到質(zhì)心的距離；Flx，F(xiàn)rx分別為左、右磁軸承在x方向產(chǎn)生的磁力；Fly，F(xiàn)ry分別為左、右磁軸承在y方向產(chǎn)生的磁力；由于加工裝配工藝及精度的限制，轉(zhuǎn)子在旋轉(zhuǎn)時存在不平衡擾動，F(xiàn)dlx，F(xiàn)drx分別為左、右端在x方向上的干擾力；Fdly，F(xiàn)dry分別為左、右端在y方向上的干擾力。

由圖1可知，由廣義坐標系到兩端坐標的坐標變換為

(2)

由(1)，(2)式和電磁力的線性化方程可得轉(zhuǎn)子的運動方程為

H=A-TMA-1,C=A-TGA-1，

(3)

Fdlx=c1drcos(ωt+ζ)+c2sin(ωt+φ)，

Fdrx=c1dlcos(ωt+ζ)-c2sin(ωt+φ)，

Fdly=c1drsin(ωt+ζ)+c2cos(ωt+φ)，

Fdry=c1dlsin(ωt+ζ)-c2cos(ωt+φ)，

2 基于交叉反饋的滑?？刂破髟O計

交叉反饋控制[4-6]相比于魯棒控制等集中控制方法，具有設計簡單、工程上易于實現(xiàn)等優(yōu)點，廣泛應用于磁軸承系統(tǒng)的解耦控制中。由于具有耦合項的磁軸承MIMO系統(tǒng)的滑?？刂戚^為復雜，不易于工程設計與實現(xiàn)，因此，可以將滑?？刂婆c交叉反饋相結(jié)合，在解耦的基礎(chǔ)上設計滑模控制器，降低設計難度，使系統(tǒng)在滿足跟蹤特性的同時減小耦合的影響。由(3)式可得

(4)

e=qL-qd，

(5)

設計切換函數(shù)為

(6)

Λ為切換函數(shù)系數(shù)矩陣，則

(7)

構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

(8)

則

(9)

結(jié)合交叉反饋控制原理設計控制輸入為[4]

(10)

P=diag(kP,kP,kP,kP),

式中：P，D分別為交叉反饋控制的比例系數(shù)項和微分系數(shù)項；kcφ為交叉系數(shù)；kP為比例系數(shù)；kD為微分常數(shù)；ε為等速趨近常數(shù)；k為指數(shù)趨近常數(shù)。系統(tǒng)參數(shù)見表1。

表1 磁軸承系統(tǒng)仿真參數(shù)

H-1[(KiP+Ks)qL-ks-εsgns+

DisFd-d]} ，

(11)

若滿足條件

(12)

則(11)式可化為

(13)

dU=[dxlU,dxrU,dylU,dyrU]，

dL=[dxlL,dxrL,dylL,dyrL]，

設d應滿足條件

(14)

則干擾上下界為

(15)

閉環(huán)系統(tǒng)控制框圖如圖2所示。

圖2 交叉滑?？刂葡到y(tǒng)框圖

同時，為了驗證交叉滑模控制性能，對比了傳統(tǒng)帶交叉反饋的PID控制器對磁軸承系統(tǒng)的分散交叉控制。單自由度上PID控制算法為

3 仿真與討論

根據(jù)(13)式，若系統(tǒng)的干擾項在上下限[dL,dU]范圍內(nèi)，則設置相應的上下限值可使系統(tǒng)滿足穩(wěn)定性條件。由(12)式可得切換系數(shù)矩陣為

Λ=-(H-1KiD-H-1C)。

(16)

圖3 不同轉(zhuǎn)速下轉(zhuǎn)子的位移階躍響應

由圖3可知，滑?？刂频捻憫獣r間遠小于PID控制的響應時間，且穩(wěn)態(tài)誤差小于1%，滿足使用要求。PID控制的初始響應速度較慢且抑制擾動的效果較差。由于使用了切換函數(shù)和指數(shù)趨近的趨近率，滑模控制可以降低系統(tǒng)位移誤差，使到達段與滑模段的運動軌跡較平滑，其穩(wěn)態(tài)特性也較好，同時，通過調(diào)節(jié)系數(shù)k和ε可加快系統(tǒng)的趨近過程。由圖3a,圖3c,圖3e,圖3g和Fd的計算式可知，隨著轉(zhuǎn)速的升高，系統(tǒng)不平衡擾動力增大，但由于滑模上下界的控制，在設定的范圍內(nèi)滑?？刂频奈灰栖壽E收斂，是一個穩(wěn)定的過程。由于存在陀螺效應，左端轉(zhuǎn)子的位移與右端轉(zhuǎn)子的位移形成耦合。由圖3b,圖3d,圖3f和圖3h可知，使用帶交叉反饋的PID控制時右端轉(zhuǎn)子位移響應為衰減振型，且振蕩周期遠大于使用交叉滑?？刂茣r的振蕩周期， 因此，所設計的基于交叉解耦的滑?？刂破骺稍跍p小系統(tǒng)誤差的同時降低耦合的影響。

在不同轉(zhuǎn)速下xl方向的位移誤差相軌跡如圖4所示。由圖可知，當轉(zhuǎn)速升高時使用交叉滑?？刂频南到y(tǒng)主軸的振動加快且振蕩周期增大，但系統(tǒng)響應曲線仍為衰減振型且誤差趨向于零。

圖4 xl方向轉(zhuǎn)子位移誤差相軌跡

4 結(jié)束語

針對轉(zhuǎn)子陀螺耦合效應、不平衡擾動，應用Lyapunov穩(wěn)定性定理構(gòu)造了基于交叉反饋控制的滑?？刂破鳌Ｍㄟ^對使用該控制方法的磁軸承系統(tǒng)進行仿真可知，系統(tǒng)的跟蹤特性和抗干擾特性較好，與傳統(tǒng)的帶交叉反饋的PID控制相比具有較好的穩(wěn)態(tài)精度；應用了基于擾動上下界的滑模控制方法，提高了系統(tǒng)在干擾輸入時的穩(wěn)定性；當轉(zhuǎn)子的干擾在設置的不平衡擾動的上下界范圍內(nèi)時，系統(tǒng)可獲得對不平衡的干擾及陀螺耦合的魯棒性，具有實際的應用價值。由于磁軸承系統(tǒng)普遍存在非線性現(xiàn)象，且該特性的確定較為復雜，而滑?？刂剖墙鉀Q該問題的一種較常用的且效果較好的控制方案，因此，應用基于交叉解耦的滑?？刂平鉀Q系統(tǒng)的非線性問題將是接下來研究工作的重點。