魏彤，沈繁呈

(1. 北京航空航天大學(xué) 慣性技術(shù)重點實驗室，北京 100191；2. 新型慣性儀表與導(dǎo)航系統(tǒng)技術(shù)國防重點學(xué)科實驗室，北京 100191)

控制力矩陀螺(Control Moment Gyro，CMG)是航天器進行姿態(tài)控制的關(guān)鍵執(zhí)行機構(gòu)[1]。與機械軸承相比，磁軸承具有無機械磨損、無需潤滑、電磁力可控等優(yōu)點，基于磁軸承支承高速轉(zhuǎn)子的磁懸浮控制力矩陀螺(Magnetically Suspended Control Moment Gyro, MSCMG)具有高精度、高穩(wěn)定性和長壽命的突出優(yōu)點。然而該轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一個多變量、非線性且強耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，在電流和位移大幅變化的條件下，徑向電磁力的非線性和陀螺效應(yīng)耦合特性很強，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性[2]，因此實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的解耦控制非常重要。

目前常用的解耦控制方法主要分為智能解耦算法與線性化解耦算法，前者主要包括神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)解耦算法[3]、模糊解耦算法[4]、滑模解耦算法[5]等，但其需要較大的計算機資源配置，控制器設(shè)計復(fù)雜。線性化解耦方法主要包括微分幾何方法[6]和逆系統(tǒng)方法[7]。微分幾何方法雖然可以實現(xiàn)系統(tǒng)的動態(tài)解耦，但需將問題變換到幾何域中討論，且使用的數(shù)學(xué)工具復(fù)雜、抽象，系統(tǒng)模型受放射非線性形式的限制[8]。逆系統(tǒng)方法是近年來針對復(fù)雜非線性系統(tǒng)提出的一種常用的大范圍線性化方法, 具有物理概念清晰、直觀,數(shù)學(xué)分析簡單明了、易于理解等優(yōu)點，在線性化的過程中包含了原模型的所有項，因此克服了小范圍線性化方法的缺點[9]。

文中針對MSCMG徑向磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的強非線性、強陀螺效應(yīng)耦合對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出了考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂破鞯慕怦羁刂品椒ǎζ溥M行仿真分析，從而驗證該方法的解耦效果和魯棒性。

1 非線性動力學(xué)建模

MSCMG徑向磁懸浮轉(zhuǎn)子提供2個平動和2個轉(zhuǎn)動自由度。磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由位移傳感器、控制器、功放、電磁鐵和轉(zhuǎn)子構(gòu)成，模型如圖1所示。圖中只標(biāo)出y方向的磁軸承，x方向與之類似，lm和ls分別為電磁鐵中心和位移傳感器到轉(zhuǎn)子中心的水平距離；I0為Ay與Ax通道的偏置電流；usay和ucay分別為Ay通道傳感器和控制器的輸出電壓；iay為Ay通道的控制電流；usax和ucax分別為Ax通道傳感器和控制器的輸出電壓；iax為Ax通道的控制電流。

圖1 MSCMG磁懸浮轉(zhuǎn)子徑向控制通道模型

磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)模型可描述為[1]

(1)

式中：fx和fy為作用于轉(zhuǎn)子質(zhì)心上的外力在x和y方向上的分力；α和β為轉(zhuǎn)子徑向轉(zhuǎn)動角位移；fax，fay，fbx和fby為轉(zhuǎn)子Ax通道、Ay通道、Bx通道和By通道的電磁力；Ω為轉(zhuǎn)子角速度；m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量；Jx，Jy和Jz為轉(zhuǎn)子在x，y和z軸方向的轉(zhuǎn)動慣量，且Jx=Jy；x和y為轉(zhuǎn)子質(zhì)心平動位移;px為x方向的力矩；py為y方向的力矩。

電磁軸承各徑向通道的電磁力為[1]

(2)

K=μ0A0N2/4，

對于磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的功放環(huán)節(jié)，有

(3)

式中：u為線圈兩端電壓；R為線圈電阻；L為線圈電感,設(shè)a=-R/L，b=1/L，則(3)式可以表示為

(4)

根據(jù)(1)式與(3)式可以定義狀態(tài)變量X，輸入變量U和輸出變量Y分別為

X=[x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12]T=

(5)

(6)

(7)

式中：u1，u2，u3，u4分別為磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)4個通道的輸入量。

則(1)式可表示為

(8)

2 耦合性分析

從磁軸承坐標(biāo)系到轉(zhuǎn)子位置的廣義坐標(biāo)系的坐標(biāo)變換可表示為[1]

(9)

將(9)式代入(1)式可得

(10)

式中：H=JzΩ為轉(zhuǎn)子角動量，也是系統(tǒng)的陀螺效應(yīng)耦合項。由(10)式可得徑向各通道位移的二階表達式為

(11)

由(11)式可知，當(dāng)H≠0時，各通道的位移不僅取決于本通道電磁力，還受其他通道位移的影響，系統(tǒng)4個通道之間存在耦合，其中陀螺耦合項H隨轉(zhuǎn)速升高而增大，高速時成為主要耦合項。由于陀螺效應(yīng)耦合項H的存在，高速磁懸浮轉(zhuǎn)子在大范圍偏離平衡點時，非線性強陀螺效應(yīng)顯著加強，一個通道的擾動會加劇其他通道的擾動，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

3 α逆系統(tǒng)解耦模型

使用考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)進行解耦控制。根據(jù)(8)式可求出考慮系統(tǒng)功放環(huán)節(jié)的4輸入4輸出的狀態(tài)方程，據(jù)此再建立α逆系統(tǒng)的解耦模型。使用α逆系統(tǒng)的先決條件是判斷被控對象的可逆性。

首先要對輸出變量Y=[xam,xbm,yam,ybm]T關(guān)于時間求導(dǎo)，直至輸出變量顯含輸入變量U=[u1,u2,u3,u4]T為止。

(12)

(13)

將(2)式和(12)式代入(13)式可得矩陣V的行列式為

(14)

顯然(14)式的第1項不為零，而且在實際的系統(tǒng)中有x0>|x1+lmx2|和I0≠0，并且徑向磁軸承繞組電流最大、最小值均小于I0。由此可以證明det(V)≠0始終成立。從而可以得到系統(tǒng)的相對階之和為

q1+q2+q3+q4=12≤n，

式中：n為(8)式對應(yīng)的系統(tǒng)中定義的狀態(tài)變量的個數(shù)。根據(jù)逆系統(tǒng)理論，可判斷(8)式對應(yīng)的非線性系統(tǒng)是可逆的，即可以使用逆系統(tǒng)方法解耦。將該逆系統(tǒng)串聯(lián)在原系統(tǒng)之前，就構(gòu)成了偽線性系統(tǒng)。

以Ax通道為例，結(jié)合(12)式和(13)式可得系統(tǒng)的解析解為

， (15)

同理可求Bx，Ay和By通道的解析解u2，u3和u4。則1個具有陀螺效應(yīng)耦合的非線性系統(tǒng)就解耦為4個簡單的獨立線性子系統(tǒng)。

4 滑?？刂破髟O(shè)計

由于在系統(tǒng)建模時并沒有考慮延遲和系統(tǒng)噪聲等非線性因素，該因素形成的非線性殘余耦合會影響系統(tǒng)的解耦效果與穩(wěn)定性。滑模變結(jié)構(gòu)控制適用于非線性對象，可以有效消除系統(tǒng)解耦后的殘余耦合對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。

以Ax通道為例，假設(shè)系統(tǒng)輸出為xam，輸入為rax，考慮系統(tǒng)的殘余耦合部分ηax，其偽線性子系統(tǒng)可以表示為

xam=rax+ηax。

(16)

Ax通道的滑?？刂破鹘Y(jié)構(gòu)示意圖如圖2所示，圖中uax為逆系統(tǒng)的輸入；iax為功放模型輸出電流；eax為系統(tǒng)的誤差量，且eax=rax-xam。

圖2 系統(tǒng)控制框圖

為了消除系統(tǒng)解耦后產(chǎn)生的殘余耦合，對滑?？刂破饕敕e分環(huán)節(jié),設(shè)計含二階誤差導(dǎo)數(shù)的滑模流形面為

(17)

式中：c1，c2，c3，c4為切換函數(shù)參數(shù)，均取正數(shù)，c1一般取1[10]。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)在滑模平面上滑動時，應(yīng)有s=0。

對(17)式求導(dǎo)，并代入(16)式可得

(18)

當(dāng)磁懸浮轉(zhuǎn)子大范圍偏離平衡點時，為使系統(tǒng)在短時間內(nèi)可以無抖振地到達滑模態(tài)，設(shè)計指數(shù)趨近律為

(19)

式中：ε指數(shù)為趨近律的第1個參數(shù)，取正數(shù)，決定抑制擾動及未建模動態(tài)的能力；k為趨近律的第2個參數(shù)，決定指數(shù)趨近時的速度。這2個參數(shù)保證轉(zhuǎn)子受到各類非線性殘余擾動而偏離滑模面時可快速返回，使系統(tǒng)保持良好的魯棒穩(wěn)定性。

結(jié)合(18)式和(19)式可得最終控制律為

ηax]。

(20)

由此可知，非線性滑?？刂破骺梢韵到y(tǒng)解耦后的殘余耦合對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，從而大幅度提高系統(tǒng)的解耦精確性。使用同樣的方法可以設(shè)計出通道Bx，Ay和By的滑?？刂破?，控制系統(tǒng)如圖3所示。

5 仿真驗證

采用北京航空航天大學(xué)自主研制的單框架MSCMG的設(shè)計參數(shù)驗證考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑模控制方法的解耦效果。為充分模擬實際磁懸浮轉(zhuǎn)子的工況，在(2)式的各通道非線性動力學(xué)模型中加入模型非對稱性誤差ΔK，ΔI0和Δx0，使4個通道的模型不完全對稱，其不對稱度不超過5%，系統(tǒng)仿真參數(shù)見表1。

表1 磁軸承系統(tǒng)仿真參數(shù)

針對磁懸浮轉(zhuǎn)子的強陀螺效應(yīng)耦合對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，分別對基于小范圍線性化的PID加交叉控制器及基于大范圍線性化的考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂破鬟M行仿真試驗。通過仿真整定，得到2種控制器的參數(shù)見表2。

表2 控制器參數(shù)

為了驗證解耦效果，分別對2種控制器進行徑向磁懸浮轉(zhuǎn)子的解耦仿真試驗，對比結(jié)果如圖4所示。

圖4 PID加交叉控制與α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂品抡娼Y(jié)果對比

首先采用傳統(tǒng)PID加交叉控制方法進行仿真，當(dāng)t=0.5 s時，在Ax通道中加入40 μm的階躍輸入，此時Ax通道的階躍位移對其他3個徑向通道都產(chǎn)生了明顯的擾動，Ay，Bx和By通道的偏移量分別約為20，18和22 μm，而且Ax通道有約17 μm的位移超調(diào)。這表明，陀螺效應(yīng)耦合使得高速磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)耦合非常強烈，當(dāng)一個通道大范圍偏離平衡點時，PID加交叉控制沒有實現(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的解耦控制，而且系統(tǒng)的魯棒性明顯下降。

當(dāng)采用考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂频姆椒〞r，Ay，Bx和By通道的偏移量分別減小到了5，4和8 μm，而且Ax通道的超調(diào)量也減小到約3 μm。由于該控制方法針對完全對稱系統(tǒng)設(shè)計，當(dāng)在仿真系統(tǒng)中加入了模型非對稱誤差時，系統(tǒng)解耦后仍有小幅度的耦合誤差。但是對比PID加交叉控制方法可知，考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)解耦方法具有良好的解耦效果，而且滑?？刂破髅黠@改善了系統(tǒng)殘余耦合對穩(wěn)定性的影響，從而大幅提高了系統(tǒng)解耦的精確性。

6 結(jié)束語

針對非線性強陀螺效應(yīng)的磁懸浮控制力矩陀螺徑向磁懸浮轉(zhuǎn)子耦合性對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，提出了考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂频姆椒?，使多變量、非線性且強耦合的磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)解耦為單輸入單輸出的偽線性子系統(tǒng)；進行了磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的解耦仿真試驗，當(dāng)系統(tǒng)存在5%的模型非對稱性并且在Ax通道加入階躍輸入時，對比PID加交叉控制方法可知，Ax通道的位移超調(diào)量以及其他3個通道的位移跳動量均大幅減小，證明采用考慮功放環(huán)節(jié)的α逆系統(tǒng)結(jié)合滑?？刂频姆椒軌?qū)崿F(xiàn)磁懸浮轉(zhuǎn)子系統(tǒng)良好的解耦控制。