張莉

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000）

廣義指數(shù)分布在TFR模型中的參數(shù)估計

張莉

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000）

廣義指數(shù)分布是應(yīng)用非常廣泛的一種分布，近年對該分布的討論主要是常規(guī)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法，研究重點(diǎn)是參數(shù)的點(diǎn)估計.但基于不完全樣本、應(yīng)用TFR模型、探討廣義指數(shù)分布在步加試驗(yàn)中的參數(shù)估計的文獻(xiàn)卻很少見.對此，利用EM算法給出了參數(shù)估計的顯性表達(dá)式，并通過數(shù)據(jù)模擬說明了估計方法的可行性.

廣義指數(shù)分布；TFR模型；簡單步加試驗(yàn)；EM算法

廣義指數(shù)分布是應(yīng)用非常廣泛的一種分布，近年對該分布的討論主要是常規(guī)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析方法，研究重點(diǎn)是參數(shù)的點(diǎn)估計，如文獻(xiàn)[1]利用EM算法給出了廣義指數(shù)分布在分組和右截尾數(shù)據(jù)下的參數(shù)估計；文獻(xiàn)[2]討論了廣義指數(shù)分布的極大似然估計，并得到其漸進(jìn)分布；文獻(xiàn)[3]利用逆矩法估計廣義指數(shù)分布的未知參數(shù)，并給出了構(gòu)造尺度參數(shù)區(qū)間估計的方法；文獻(xiàn)[4]討論了廣義指數(shù)分布在恒加試驗(yàn)中的參數(shù)估計.但目前基于分組數(shù)據(jù)，應(yīng)用TFR模型，探討廣義指數(shù)分布在步加試驗(yàn)中的參數(shù)估計的文獻(xiàn)卻很少見.

鑒于此，本文試圖討論在簡單步加試驗(yàn)中，應(yīng)用TFR模型后，不完全樣本情況下的參數(shù)估計.

1 試驗(yàn)安排

將n個相互獨(dú)立的元件在t1,0時刻投入到加速應(yīng)力水平S1下做壽命試驗(yàn)，到t1,m1時刻為止共有R1個失效，同時將應(yīng)力水平上升到S2，余下的未失效元件在S2下繼續(xù)做試驗(yàn)，到t2,m2時觀測到有R2個失效，并停止整個試驗(yàn)，記t0=t1,0=0,ti=ti,mi=ti+1,0, i=1,2.

假設(shè)在Si(i=1,2)下觀察時刻為ti,0,ti,1,...,ti,mi并滿足ti,0＜ti,1＜...＜ti,mi,在(ti,j-1,ti,j]內(nèi)元件失效個數(shù)為ri,j，j=1,...,mi，最后未失效的個數(shù)為n-R，其中，

2 基本假定

假定1各個應(yīng)力下的壽命數(shù)據(jù)服從廣義指數(shù)分布，其密度函數(shù)、分布函數(shù)分別為

其中，β＞0稱為模型的形狀參數(shù)，λ＞0稱為模型的尺度參數(shù).當(dāng)形狀參數(shù)β=1時，模型即為一般的指數(shù)分布模型.

假定2[5]不同應(yīng)力水平Si,Sj下產(chǎn)品的失效機(jī)理與正常應(yīng)力水平S0下的失效機(jī)理相同，反映在分布參數(shù)上即形狀參數(shù)β不隨應(yīng)力水平變化而變化.

假定3[6]（TFR模型）在步加試驗(yàn)中，當(dāng)應(yīng)力從Si-1提高到Si，可靠度函數(shù)之間存在如下關(guān)系：

其中，可靠度函數(shù)的下標(biāo)對應(yīng)各個應(yīng)力水平的下標(biāo)，t0=0,α-1=α0=1，因子αi＞1,i=1,...,k,值將由應(yīng)力Si和Si+1確定，而且有可能與時間變點(diǎn)ti有關(guān).

為記作簡潔，令μ=(β1,λ1,α1)=(β,λ,α)，不難得到應(yīng)力S2下的密度函數(shù)為

3 參數(shù)估計

為了得到各參數(shù)的估計值，現(xiàn)考慮EM算法.

設(shè)n個產(chǎn)品的壽命X1,X2,...,Xn獨(dú)立同分布于廣義指數(shù)分布，記X=(X1,X2,...,Xn)，X是不可觀測的，能觀測到的是Y=(r1,1,r1,2,...,r1,m1;r2,1,r2,2,...,r2,m2; n-R),它們一起構(gòu)成了完全數(shù)據(jù)Z=(X,Y).為了應(yīng)用EM算法，再引入隨機(jī)變量Xih、Xw，它們分別表示落入?yún)^(qū)間(ti,j-1,ti,j]和(t2,+∞)的產(chǎn)品壽命.下面根據(jù)EM算法中的E步和M步來獲得參數(shù)的極大似然估計.

由于X的信息包含了觀測結(jié)果Y所有的信息，于是有p(μ|X,Y)=p(μ|X).由廣義指數(shù)分布的密度函數(shù)可以得到

E步：給定參數(shù)的第n步估計μ(n)，則第n+1步的Q函數(shù)為

當(dāng)t1,j-1＜X≤t1,j時，X的條件密度函數(shù)為

當(dāng)t2,j-1＜X≤t2,j時，X的條件密度函數(shù)為

當(dāng)X＞t2時，X的條件密度函數(shù)為

則

M步：極大化Q函數(shù)的參數(shù)β,α,λ的第n+1步估計β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1)，即將Q(μ|μ(n),Y)分別對參數(shù)β,α,λ求導(dǎo)，并令其等于零，得到Q(μ|μ(n),Y)的極大值點(diǎn)β(n+1)，α(n+1)，λ(n+1).

經(jīng)過整理，得到

這樣就完成了一次迭代(α(n),λ(n))→(α(n+1),λ(n+1))，重復(fù)上述步驟直到(α,λ)收斂為止.

4 數(shù)據(jù)模擬

現(xiàn)運(yùn)用Monte Carlo方法產(chǎn)生在簡單步加試驗(yàn)下服從廣義指數(shù)分布的隨機(jī)數(shù)，其參數(shù)真值記作β=2,α=2,λ=0.5.選擇樣本量為n=1 000的模擬，產(chǎn)生1 000次隨機(jī)數(shù)，觀測時刻設(shè)為t1,1=5,t1,2=10, t2,1=15,t2,2=20.通過有限次迭代和數(shù)據(jù)整理后，得到表1的結(jié)果.

表1 隨機(jī)數(shù)的迭代結(jié)果

從表中結(jié)果看到，參數(shù)估計值與真值非常接近，且相對誤差很小，說明估計的精度較好，方法有效.

[1]田玉柱,田茂再,陳平.數(shù)據(jù)分組和右截尾數(shù)據(jù)情形下廣義指數(shù)分布的參數(shù)估計及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)進(jìn)展,2012,6(12):755-762.

[2]沈作斌.廣義指數(shù)分布下區(qū)間刪失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計[J].教育教學(xué),2010(2):20.

[3]唐玉娜,施瑞,王炳興.廣義指數(shù)分布的統(tǒng)計推斷[J].統(tǒng)計與決策, 2008(17):18-19.

[4]張莉.廣義指數(shù)分布在恒加試驗(yàn)中的參數(shù)估計[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報,2013(12):4-7.

[5]唐玉娜.廣義指數(shù)分布基于加速壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析[D].杭州:浙江工商大學(xué),2008.

[6]張莉,鄭宇棠.指數(shù)分布TFR模型多步步加試驗(yàn)下的參數(shù)估計[J].西華師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2012,33(4):371-373.

【編校：許潔】

Parameter Estim ation of Generalized Exponential Distribution in the TFRModel

ZHANG Li
(DepartmentofMath and Information,ChinaWestNormalUniversity,Nanchong,Sichuan 637000,China)

Generalized exponential distribution is applied widely.In recentyears,discussionswith regard to this distribution weremostly statistic analysis about the data in normal life test,and attention wasespecially paid to the pointestimation.But few researches had been done to discuss parameter estimation of the distribution during the step-stress accelerated life testsbased on incomplete specimen and TFRModel.The parameter concrete expressionswasgiven by using EM algorithm.And theestimationmethodwasproved rightby takingadvantageofMonte Carlo stimulation.

generalized exponentialdistribution;TFRModel;the simple step-stressaccelerated life tests;EM algorithm

O213

A

1671-5365(2014)12-0011-03

2014-06-29修回：2014-07-28

西華師范大學(xué)科研啟動基金（08b025）

張莉(1982-)，女，講師，碩士，研究方向?yàn)楦怕收撆c數(shù)理統(tǒng)計及其應(yīng)用、產(chǎn)品的可靠性試驗(yàn)

時間：2014-08-22 15:23

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140822.1523.005.htm l