董建，唐金芳

(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓644007)

CAT(0)空間中漸進(jìn)非擴(kuò)張映象的強(qiáng)收斂定理

董建，唐金芳

(宜賓學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院，四川宜賓644007)

在CAT(0)空間中對三個(gè)漸進(jìn)非擴(kuò)張映像構(gòu)造了迭代算法，在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了該算法強(qiáng)收斂于它們的公共不動(dòng)點(diǎn)，所得結(jié)果推廣了最近一些學(xué)者的研究結(jié)論.

CAT(0)空間；漸進(jìn)非擴(kuò)張映像；強(qiáng)收斂定理；公共不動(dòng)點(diǎn)

設(shè)X是CAT(0)空間,用(1-t)x⊕ty表示連接x和y的測地線段中的唯一的點(diǎn)z,使得

其中t∈[0,1].

Kirk[1]首先在CAT(0)空間中研究了不動(dòng)點(diǎn)理論,證明了定義在完備的CAT(0)空間中的有界閉凸子集上的非擴(kuò)張映像總是存在不動(dòng)點(diǎn)的.從此以后, CAT(0)空間中各種映像的不動(dòng)點(diǎn)理論的研究得到了迅速發(fā)展[2-7].

設(shè)E是Banach空間,K是E的非空閉凸子集, T:K→K是映像.Mann迭代序列定義如下:

其中n∈N,{} an是(0,1)中的序列.

進(jìn)一步,Ishikawa迭代序列定義如下:

其中n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.

2007年,Agarwal等[8]在Banach空間E中證明如下的迭代序列的收斂性:

其中K是E的非空閉凸子集，n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.

2012年,Sahin A等[9]在CAT(0)空間中得到了如下的結(jié)論：設(shè)K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,T:K→K是{} un漸進(jìn)擬非擴(kuò)張映像,滿足T的不動(dòng)點(diǎn)集F(T)≠φ且.定義序列{} xn如下:

其中n∈N,{an}和{bn}都是(0,1)中的序列.如果或者,其中,那么序列{xn}強(qiáng)收斂到T的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).

受上述文獻(xiàn)的啟發(fā),本文在CAT(0)空間中對三個(gè)漸進(jìn)非擴(kuò)張映像構(gòu)造迭代算法,在適當(dāng)?shù)臈l件下證明了該算法強(qiáng)收斂于這三個(gè)漸進(jìn)非擴(kuò)張映像的公共不動(dòng)點(diǎn).

1 預(yù)備知識

設(shè)(X,d)是度量空間,K是X的非空閉凸子集.稱映像T:K→K是非擴(kuò)張的,如果對任意的x,y∈K有

稱映像T:K→K是具系數(shù){} un的漸進(jìn)非擴(kuò)張映像,如果存在[0,+∞)中的序列{un}滿足使得對任意的x,y∈K,任意的n∈N有

稱映像T:K→K是L-Lipschitzian的,如果存在常數(shù)L＞0使得對任意的x,y∈K都有

稱映像T:K→K是一致L-Lipschitzian的,如果存在常數(shù)L＞0使得對任意的n∈N,任意的x,y∈K都有

顯然,漸進(jìn)非擴(kuò)張映像一定是一致L-Lipschitzian映像.

稱映像T:K→K滿足條件(I),如果T的不動(dòng)點(diǎn)集F(T)≠φ并且存在一個(gè)單調(diào)不減的函數(shù)f:[0,∞)→[0,∞)滿足f(0)=0,f(r)＞0,?r∈(0,∞),使得對任意的x∈K有

引理1.1[10]設(shè)X是CAT(0)空間,對任意的t∈[0,1],任意的x,y,z∈X,下列不等式成立:

引理1.2[11]設(shè)X是CAT(0)空間,任取x∈X,序列{tn}?[b,c]滿足b,c∈(0,1)及0＜b(1-c)≤.如果X中的序列{xn}和{yn}滿足

引理1.3[12]設(shè){an},{bn}和{} cn都是非負(fù)實(shí)數(shù)序列,滿足如果,那么極限存在.

2 主要結(jié)果

定理2.1設(shè)K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,T,S,R是三個(gè)分別具系數(shù){ln},{kn},{un}的漸進(jìn)非擴(kuò)張映像,映像S滿足條件(I).對任意的x1∈X,定義序列{xn}如下:

其中{αn},{βn},{γn}都是[b,c]中的序列，滿足b,c∈(0,1)及0＜b(1-c)≤.如果

并且

那么序列{} xn強(qiáng)收斂到Γ中的一點(diǎn).

事實(shí)上,對任意的p∈Γ,有

和

記bn=ln+kn+un+knun，由(2.1)(2.3)(2.4)得

如果c=0,那么定理2.1的結(jié)論顯然成立.下面考慮c≠0的情況.

事實(shí)上,對任意的p∈Γ,由(2.3)(2.4)得

兩邊取上極限得

和

注意到R是{} un漸進(jìn)非擴(kuò)張映像,由(2.7)得

兩邊取上極限得

由(2.1)和(2.6)得

由引理1.2和(2.8)(2.10)(2.11)得

由(2.5)得

兩邊取下極限得

由(2.9)和(2.13)得

這表明

注意到S是{} kn漸進(jìn)非擴(kuò)張映像,所以

兩邊取上極限得

由引理1.2和(2.6)(2.14)(2.15)得

由(2.5)得

兩邊取下極限,由(2.12)得

由(2.8)和(2.17)得

這表明

注意到T是{} ln漸進(jìn)非擴(kuò)張映像,所以

兩邊取上極限得

由引理1.2和(2.6)(2.18)(2.19)得

由(2.1)有

由(2.12)和(2.20)得

注意到

由(2.16)(2.21)得

第三步,證明序列{} xn是K中的Cauchy序列.

因?yàn)閒:[0,∞)→[0,∞)是單調(diào)不減函數(shù)，且滿足f(0)=0,f(r)＞0,?r∈(0,∞)，所以

于是

從而對任意的ε＞0,存在自然數(shù)n0,當(dāng)n＞n0時(shí),有

此時(shí),必存在p1∈Γ,當(dāng)n＞n0時(shí),有

當(dāng)n＞n0時(shí),對任意的自然數(shù)m,由(2.23) (2.26)有

這表明序列{xn}是K中的Cauchy序列.由于K是完備的CAT(0)空間X的非空閉凸子集,所以序列{xn}一定收斂于K中的一點(diǎn),不妨設(shè)

其中q∈K.

第四步,證明q∈Γ.

事實(shí)上,對任意的ε＞0,由(2.27)知存在自然數(shù)n1,當(dāng)n＞n1時(shí),有

由(2.25)知存在自然數(shù)n2,當(dāng)n＞n2時(shí),有

注意到

由(2.28)(2.29)知對任意的ε＞0,當(dāng)n＞max{n1,n2}時(shí),有d(Sq,q)＜ε.由ε的任意性知d(Sq,q)=0,即 q∈F(S).用相同的方法可證q∈F(T)和q∈F(R).故q∈Γ.

這就完成了定理2.1的證明.

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【編校：許潔】

The Strong Convergence Theorem of Asym ptotically Nonexpansive Mappings In CAT(0)Spaces

DONG Jian,TANG Jinfang
(SchoolofMathematics,Yibin University,Yibin,Sichuan 644007,China)

The algorithm for solving the common fixed point problem of three asymptotically nonexpansivemappingswas studied in CAT(0)spaces.Under suitable conditions the strong convergence theorem to approximating a common fixed pointof three asymptotically nonexpansivemappingswas proved.The results extend and improve the corresponding resultsannounced by some others.

CAT(0)spaces;asymptotically nonexpansivemappings;strong convergent theorem;common fixed point

O177.5

A

1671-5365(2014)12-0007-04

2014-05-26修回：2014-06-24

四川省教育廳項(xiàng)目(14ZA0271)；宜賓學(xué)院科研項(xiàng)目(2013YY06)

董建(1962-)，男，副教授，本科，研究方向?yàn)榉蔷€性分析和微分方程

時(shí)間：2014-06-27 14:20

http://www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20140627.1420.001.htm l