張瑰

(1.解放軍理工大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京211101; 2.熱帶海洋環(huán)境國家重點實驗室(中國科學(xué)院南海海洋研究所),廣東廣州510301)

局部資料下變分同化方法的穩(wěn)定性研究

張瑰1,2

(1.解放軍理工大學(xué)理學(xué)院,江蘇南京211101; 2.熱帶海洋環(huán)境國家重點實驗室(中國科學(xué)院南海海洋研究所),廣東廣州510301)

對于簡化的一維擴散方程,在局部觀測資料下,研究變分同化方法的穩(wěn)定性.在變分同化中結(jié)合正則化方法,選擇合適的正則化參數(shù)和穩(wěn)定泛函,對預(yù)報模式進行修正,通過對預(yù)報精度進行先驗估計,證明了該方法對于一維擴散方程的解的穩(wěn)定性.修正補充相關(guān)計算結(jié)果,最后舉出一個反例說明穩(wěn)定性泛函的選取對于改進的變分同化方法實施的重要性.

局部資料;變分同化;正則化;穩(wěn)定性;收斂精度

1 引言

現(xiàn)代氣象科技的發(fā)展使天氣預(yù)報能力和水平有了很大的提高,但是在常規(guī)氣象探測技術(shù)和手段不能達(dá)到的海區(qū)和陸地,氣象資料非常稀少或缺乏,這樣會直接影響到天氣、天候的分析研究和氣象預(yù)報的準(zhǔn)確性.因此研究如何利用有限的局部觀測資料來提高預(yù)報精度,不僅具有的理論意義,而且具有重要的應(yīng)用價值.

文獻(xiàn)[1-2]討論了局部觀測資料下的變分同化問題,利用變分同化結(jié)合數(shù)學(xué)物理反問題中的正則化方法[3-4]對預(yù)報模式進行修正,分析了觀測誤差和模式誤差對于變分同化方法的影響,結(jié)果表明:觀測誤差為ε時,在適當(dāng)條件下,收斂精度達(dá)到同時,文獻(xiàn)[5]以一維拋物型偏微分方程為例,考慮特定波解形式的初始條件,在局部觀測資料下,利用變分方法通過確定最優(yōu)的反演常數(shù),證明收斂精度達(dá)到O(ε).文獻(xiàn)[6]從部分?jǐn)?shù)據(jù)信息出發(fā)給出了反演聲波阻尼系數(shù)的一種新方法,利用Tikhonov正則化方法將問題轉(zhuǎn)化為一個最優(yōu)化問題,克服了第一類算子方程的不適定性所造成的困難,數(shù)值結(jié)果表明該方法是準(zhǔn)確且簡單易行的.文獻(xiàn)[7]利用正則化反演法,對電離層層析成像技術(shù)進行了數(shù)值模擬,結(jié)果表明,正則化反演法能夠得到很高精度的重建結(jié)果.

本文考慮一般形式的初始條件,在局部觀測資料下,分析利用變分同化結(jié)合正則化方法的穩(wěn)定性,得到解的收斂精度,進一步對文獻(xiàn)[2]中相關(guān)計算結(jié)果進行修正、補充,證明在適當(dāng)條件下,收斂精度為論文最后通過舉出一個反例說明穩(wěn)定性泛函對于改進變分同化方法的重要性,如果選取的穩(wěn)定性泛函不合適,仍然不能保證解的穩(wěn)定性.

2 模型的簡化與問題的提出

對于一維擴散方程

因此,為了理論研究上的方便,本文僅以簡化的擴散方程[1-2]進行分析.

定義2.1精確解u(x,t)滿足如下初邊值問題:

其中,系數(shù)a2>0為常數(shù),u0(x)為真實初值.

假設(shè)t=t0處有局部觀測資料gobs(x),觀測資料帶有誤差:

其中

為t=t0處的精確值,g′(x)為觀測誤差函數(shù).進一步假設(shè)g′(x)=εH(x),ε>0為觀測誤差的界,H(x)∈L2[0,1],且

下面考慮一維擴散方程的反問題,即:假設(shè)(1)中的初值u0(x)未知,利用局部資料gobs(x)對初值進行最優(yōu)確定.

3 通常變分同化方法的不適定性

定義3.1預(yù)報解(x,t)滿足如下初邊值問題:

對初值進行反演,即在預(yù)報值與觀測值之間建立極小模泛函:

求解極值問題(6),得到初值為:

其中

4 結(jié)合正則化的變分同化方法

利用Tikhonov正則化思想[3],引入穩(wěn)定泛函及正則化參數(shù)[4,9],對通常的變分同化方法進行改進.

定義4.1改進后的目標(biāo)泛函:

下面求解泛函極值問題(9).利用關(guān)系式

將問題轉(zhuǎn)化為:

利用δJ?=0和{sin(nπx)}的正交性計算得到:

由(10)式和(12)式得到改進后的最優(yōu)初值:

在(13)式基礎(chǔ)上可得到最優(yōu)預(yù)報值:

為方便,令

由(12)可得

即

初值誤差和預(yù)報誤差分別為:

由公式(18)和(19)可以看出:誤差由兩部分組成,第一部分是由于觀測誤差ε引起,第二部分是由變分方法引起.

引理4.1

證明考慮到

因此

利用貝塞爾不等式得到引理4.1.

引理4.2

其中

證明由于

成立.因而

而當(dāng)n

由Young不等式可證:

由(22)式和(23)式可得引理4.2.

定理4.1

證明由引理4.1、引理4.2易得(24)式.由(19)可知

因此由(24)和(26)得到(25)式.

注4.1定理4.1分別對文獻(xiàn)[2]中估計式(2.11)、(2.13)進行修正.

定理4.2當(dāng)正則化參數(shù)α滿足必要條件:

(2)如果α=O(εη),收斂精度最優(yōu)達(dá)到

證明由定理4.1可得,正則化參數(shù)α滿足必要條件(27)式時,

(2)如果α=O(εη),則

注4.2定理4.2對文獻(xiàn)[2]中收斂精度進行修正、補充.

5 穩(wěn)定性泛函失效的一個反例

例1選擇函數(shù)

為穩(wěn)定泛函,β>0為正則化參數(shù),目標(biāo)泛函如下:

解求解方法同前面,略去步驟,得到

新的反演初值和預(yù)報值為

以初值誤差為例,

由于級數(shù)

由此例可見,正則化方法中穩(wěn)定性泛函的選取并非隨意的,它必須要保證反問題的適定性.比較公式(9)與公式(28),采用的方法完全相同,即在誤差極小模泛函基礎(chǔ)上加入穩(wěn)定性泛函,前者考慮的是系統(tǒng)整體“能量”,后者考慮的是局部“能量”,正是由于穩(wěn)定性泛函選取不同,導(dǎo)致解的穩(wěn)定性結(jié)果相反.因此,穩(wěn)定性泛函的選取是提高收斂精度的關(guān)鍵.

6 結(jié)語

論文通過一個簡化的模型,在有限的局部觀測資料條件下,通過選擇適當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性泛函和正則化參數(shù),提出了改進的變分同化方法(即結(jié)合正則化的變分同化方法),通過理論分析,證明此方法對于提高預(yù)報精度是有效的.因而結(jié)合正則化的變分同化方法可應(yīng)用于許多實際問題,如資料匱乏時的環(huán)境、氣象、水文模擬與預(yù)報等.

論文修正、補充相關(guān)計算結(jié)果,最后通過一個反例說明穩(wěn)定性泛函的選取對于改進變分同化方法的重要性.作者認(rèn)為:在不同的實際問題中,應(yīng)當(dāng)結(jié)合具體物理背景和具體物理意義,來選取合適的穩(wěn)定性泛函,以達(dá)到最佳穩(wěn)定性效果.

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[4]黃思訓(xùn),伍榮生.大氣科學(xué)中的數(shù)學(xué)物理問題[M].北京:氣象出版社,2001.

[5]張瑰,李振興.利用局部觀測資料對參數(shù)進行變分反演的初步研究[J].海洋預(yù)報,2008,5(2):59-63.

[6]麥宏晏,王連堂.利用遠(yuǎn)場模式的不完全數(shù)據(jù)反演聲波阻尼系數(shù)[J].純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué),2009,27(3),566-572.

[7]?？?方涵先.電離層層析成像及數(shù)值模擬[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報,2012,26(3):342-347.

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The stability of variational data assimilation method with local observation data

Zhang Gui1,2
(1.Department of Mathematics,Institute of Science,University of Science and Technology,P.L.A., Nanjing211101,China; 2.State Key Laboratory of Tropical Oceanography
(South China Sea Institute of Oceanology Chinese Academy of Sciences),Guangzhou510301,China)

The stability of variational data assimilation method with local observation data is researched for the simpli fi ed one-dimensional di ff usion equation.The prediction value of the model is modi fi ed by using the combination of the regularization method with variational data assimilation method,and the prior estimate of the improved variational data assimilation methods are made in theories.By suitable choices of the regularization parameter and stable function,prove that the method is stability for the simpli fi ed one-dimensional di ff usion equation.Some proofs and results are revised and complemented in this paper,and fi nally give an example to illustrate the importance of selecting for the stability functional on the improved variational data assimilation methods.

local observation data,variational data assimilation,regularization,stability,convergence rate

O29;P413.2

A

1008-5513(2014)03-0221-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2014.03.001

2013-12-10.

國家自然科學(xué)基金(41206163,41105012);解放軍理工大學(xué)預(yù)研基金;熱帶海洋環(huán)境國家重點實驗室(中國科學(xué)院南海海洋研究所)開放基金(LTO1205).

張瑰(1973-),博士,副教授,研究方向:反問題與變分同化方法;穩(wěn)定性問題.

2010 MSC:90A16