陳建華 文 清

(1.揚(yáng)州大學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225002； 2.成都大學(xué) 四川成都 610106)

數(shù)學(xué)教師糾錯(cuò)教學(xué)策略研究*
——從處理學(xué)生解題錯(cuò)誤談起

陳建華1文 清2

(1.揚(yáng)州大學(xué) 江蘇揚(yáng)州 225002； 2.成都大學(xué) 四川成都 610106)

教師的學(xué)科知識(shí)不能自動(dòng)地產(chǎn)生成功的教學(xué)方式和教學(xué)理念；缺乏堅(jiān)固的學(xué)科支撐，成功的教學(xué)方式和新穎的教學(xué)理念不可能實(shí)現(xiàn)。為了支持學(xué)生更深入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，教師應(yīng)該不斷積累、完善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，聚焦課堂教學(xué)實(shí)踐與反思，走向開(kāi)拓性教學(xué)。通過(guò)教師對(duì)學(xué)生產(chǎn)生解題錯(cuò)誤的不同教學(xué)處理，考察教師糾錯(cuò)教學(xué)策略。借助習(xí)題涉及教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)包，探討數(shù)學(xué)教師掌握教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的深度、廣度對(duì)教學(xué)的影響，以及數(shù)學(xué)教師糾錯(cuò)教學(xué)策略。

數(shù)學(xué)教師；糾錯(cuò)教學(xué)策略；矩陣；零因子；秩；線性方程組；知識(shí)包

線性代數(shù)內(nèi)容抽象，知識(shí)點(diǎn)間聯(lián)系緊密。它在給學(xué)生提供數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練素材的同時(shí)，也給學(xué)生理解課程的概念和法則甚至計(jì)算都帶來(lái)困難，亦給教師的教學(xué)帶來(lái)難度。基于課堂教學(xué)實(shí)踐的訪談，也是評(píng)價(jià)教師知識(shí)常見(jiàn)的方法之一[1]。本文通過(guò)教師對(duì)學(xué)生解題錯(cuò)誤的不同教學(xué)處理，了解任課教師對(duì)線性代數(shù)糾錯(cuò)教學(xué)能力的現(xiàn)狀。借助相關(guān)教學(xué)內(nèi)容的知識(shí)包，討論數(shù)學(xué)教師掌握教學(xué)內(nèi)容知識(shí)的深廣度對(duì)教學(xué)的影響，以及數(shù)學(xué)教師學(xué)科水平與教學(xué)能力契合的發(fā)展方向。

一、一道線性代數(shù)試題引出的話題

(一)從學(xué)期考試中獲得的問(wèn)題情境

這是一道貌似簡(jiǎn)單實(shí)質(zhì)蘊(yùn)含深刻的智慧的檢測(cè)學(xué)生矩陣的概念、計(jì)算等及相關(guān)知識(shí)聯(lián)系教學(xué)的有價(jià)值的題目，既考查學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)又考查其分析、解決問(wèn)題的能力，還考查其嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)的意識(shí)。

2013年1月，將上題作為一道解答題植入線性代數(shù)課程期末試卷，為了保證測(cè)試調(diào)查的真實(shí)性、有效性，將其編排在試卷的前半部分。閱卷后，隨機(jī)選取兩個(gè)班級(jí)，進(jìn)行了答題情況統(tǒng)計(jì)。結(jié)果如下：學(xué)生人數(shù)72人(不考慮重修學(xué)生)，未做解答的5人，獲得結(jié)論“k=-3”的65人中，理由正確的有36人，理由不正確的有29人。不正確的推理過(guò)程主要有兩類：

錯(cuò)解(1)：因?yàn)锳B=O，且B≠O，所以A=O，故行列式|A|=0。

錯(cuò)解(2)：因?yàn)锳B=O，所以|A|·|B|=0，由于B≠O,故|B|≠0，從而行列式|A|=0。

(二)從問(wèn)題情境中引出的話題

請(qǐng)您花點(diǎn)時(shí)間考慮一下：如果您的學(xué)生發(fā)生上述錯(cuò)誤，您認(rèn)為：學(xué)生產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么？教學(xué)中怎樣幫助學(xué)生改正錯(cuò)誤？

(三)討論話題的對(duì)象

本年度講授過(guò)線性代數(shù)課程的大學(xué)數(shù)學(xué)教師，共18人。為了敘述方便用教師姓名拼音首字母代替某教師，其中新教師(教齡4年以下，用N表示)6人，經(jīng)驗(yàn)型教師(教齡4年以上)12人。本科學(xué)歷1人，碩士學(xué)歷4人，博士學(xué)歷(用D表示)13人；具有代數(shù)知識(shí)背景(攻讀碩士、博士階段是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)代數(shù)方向，用A表示)的6人；具有教學(xué)知識(shí)背景(即本科階段是師范專業(yè)，用T表示)的12人。

二、學(xué)生解題錯(cuò)誤成因與教學(xué)策略的討論

本研究中的所有教師都認(rèn)為，學(xué)生在進(jìn)行矩陣乘法的運(yùn)算中用錯(cuò)了運(yùn)算律， 行列式和矩陣概念理解出現(xiàn)了問(wèn)題。然而，他們?cè)诮忉寣W(xué)生解題出錯(cuò)原因和如何幫助學(xué)生改正該錯(cuò)誤時(shí)表達(dá)了不同的見(jiàn)解。

(一)學(xué)生解題錯(cuò)誤成因討論

新教師在討論學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)，6位教師都認(rèn)為錯(cuò)解(1)是由于學(xué)生對(duì)矩陣的乘法理解不深刻。錯(cuò)解(2)是將零矩陣和矩陣的行列式為零兩個(gè)概念混淆了。在解釋學(xué)生的錯(cuò)誤的過(guò)程時(shí)，雖然，ZJW(DN)是新教師，但她的分析還是簡(jiǎn)潔明了的：

矩陣的乘法運(yùn)算中存在零因子，即兩非零矩陣的乘積可能為零矩陣，部分學(xué)生形成錯(cuò)解(1)，是由于對(duì)此疏忽造成的。我們可以通過(guò)一些例子來(lái)提醒學(xué)生注意，比如可以給學(xué)生下列例子：

另外5位新教師，也像ZJW這樣，雖然提及“零因子”或“方陣的行列式”，但他們沒(méi)有給學(xué)生提供反例，或告訴學(xué)生閱讀教材的相應(yīng)部分，讓學(xué)生關(guān)注基本概念或運(yùn)算律。關(guān)于解題的思維過(guò)程，一位新教師認(rèn)為從解題的角度看，要求k值，當(dāng)然只有|A|=0，才能推出具體數(shù)值。他認(rèn)為學(xué)生不必過(guò)多糾纏“為什么”，傾向于讓學(xué)生記憶其思維模塊。由此可以看出，這些教師未想到要促進(jìn)學(xué)生對(duì)矩陣乘法運(yùn)算的深入理解，明晰混淆的概念；僅僅是從解題需要出發(fā)，建議學(xué)生如何做題。雖然他們的教學(xué)法理解有概念性理解的傾向，但還是處于過(guò)程性理解階段[2]。

雖然經(jīng)驗(yàn)型教師解釋學(xué)生的錯(cuò)誤總體而言與新教師有相同之處，但他們更期望學(xué)生能夠?qū)W會(huì)更多而不僅僅是例子，希望學(xué)生學(xué)會(huì)在這個(gè)運(yùn)算法則下所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)原理。概念組的教師關(guān)注矩陣運(yùn)算系統(tǒng)和實(shí)數(shù)運(yùn)算系統(tǒng)，指出矩陣與行列式的本質(zhì)區(qū)別，能提醒學(xué)生從函數(shù)的角度，理解方陣行列式的聯(lián)系。如JRZ(DAT)給出解釋是：

矩陣代數(shù)系統(tǒng)Mn(R)與我們熟悉的實(shí)數(shù)系統(tǒng)R的本質(zhì)區(qū)別是在Mn(R)中存在零因子，消去律不成立，而實(shí)數(shù)系統(tǒng)中不存在零因子。我會(huì)給學(xué)生一個(gè)對(duì)照表，將矩陣系統(tǒng)和實(shí)數(shù)系統(tǒng)作一個(gè)比較，讓學(xué)生區(qū)分兩個(gè)系統(tǒng)，以加深對(duì)問(wèn)題的理解。

實(shí)數(shù)集合R矩陣集合Mn(R)結(jié)合律、分配律結(jié)合律、分配律交換律、消去律零因子元素a可逆?存在b使得ab=ba=1?a≠0?存在b使得ab=1元素A可逆?存在B使得AB=BA=EA?|A|≠0?存在B使得AB=E

關(guān)于a≠0與|A|≠0從代數(shù)角度抽象地看，二者無(wú)任何差別。雖然矩陣的記號(hào)(數(shù)表外加括號(hào))與行列式記號(hào)(數(shù)表外加兩豎線)很相像，但它們是兩個(gè)截然不同的概念，行列式是一個(gè)數(shù)，而矩陣為一個(gè)矩形的數(shù)列表。一方面，只有方陣才可能取行列式；另一方面，方陣與它的行列式又是密切相關(guān)的，行列式是方陣特性的重要標(biāo)志，提高一個(gè)層面看，可以把矩陣(對(duì)應(yīng)于一個(gè)數(shù))看成方陣的函數(shù)。

事實(shí)上，對(duì)任意的A∈Mn(R)，如何定義其函數(shù)值f(A)，在不同的領(lǐng)域有多種不同的回答，矩陣A對(duì)應(yīng)于|A|只是其中一種意義深刻的對(duì)應(yīng)方法，比如行列式是否為零，把矩陣劃分為奇異和非奇異兩類。當(dāng)我們將方陣的行列式概念推廣為矩陣的行列式的概念后，可以揭示出矩陣更深刻的特性，人們通常認(rèn)為方陣的行列式概念是講授矩陣秩的先導(dǎo)。所有這些充分傳達(dá)了教師們對(duì)課題的概念性理解，對(duì)方陣行列式的核心思想的把握。

一部分有教學(xué)法知識(shí)背景的教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤的解釋表現(xiàn)出特定的視角。他們認(rèn)為：從學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程看，學(xué)生發(fā)生這兩類錯(cuò)誤的根本原因是“存在矩陣B≠O”抽象造成的。如果題目中矩陣是具體給出的，學(xué)生的求解不就是剩下矩陣的乘法運(yùn)算了嗎?應(yīng)該從“存在矩陣B≠O”的作用是什么開(kāi)始考慮問(wèn)題：一個(gè)元素不為零、一列向量不為零或整個(gè)矩陣不為零，它們又能聯(lián)系哪些相關(guān)知識(shí)點(diǎn)或結(jié)論呢？面對(duì)有44.62%的學(xué)生就此題出現(xiàn)錯(cuò)誤的現(xiàn)象，說(shuō)明這是幫助學(xué)生正確運(yùn)用矩陣運(yùn)算律、辨別矩陣與行列式概念的極好素材。教學(xué)中要好好利用這一寶貴教學(xué)資源，達(dá)到“留得殘荷聽(tīng)雨聲的”教學(xué)效果。

(二)糾錯(cuò)教學(xué)策略討論

兩組教師對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤的解釋不同，同樣處理學(xué)生錯(cuò)誤的策略也有不同的方法。兩位新教師認(rèn)為，之所以出錯(cuò)是學(xué)生沒(méi)有很好地利用矩陣分塊的技巧，如果學(xué)生能夠想到將矩陣分塊B=(β1，β2，β3)，則有AB=(Aβ1,Aβ2,Aβ3)=O，自然會(huì)聯(lián)系齊次線性方程組AX=0。這兩位教師用語(yǔ)言說(shuō)明了推理過(guò)程和步驟。

與新教師的“大框架”給學(xué)生提供問(wèn)題思路的指導(dǎo)不同的是，經(jīng)驗(yàn)型教師的指導(dǎo)顯得更細(xì)致，他們希望學(xué)生清楚每一步推導(dǎo)的理由。如SHC(T)是一位從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)二十多年的老教師，他認(rèn)為必須給學(xué)生詳細(xì)的解題過(guò)程指導(dǎo)：

記B=(β1,β2，β3)，則AB=O?A(β1,β2，β3)=O(將矩陣B作列分塊)?(Aβ1,Aβ2,Aβ3)=O(分塊矩陣的乘法運(yùn)算)?Aβ1=O(i=1,2,3)(分塊矩陣的相等)?β1(i=1,2,3)是齊次齊次線性方程組AX=O的解。?AX=O有非零解(因?yàn)锽≠O，所以存在βi≠0)?|A|=0。

對(duì)于如何恰當(dāng)?shù)乩梅謮K矩陣進(jìn)行矩陣的乘法，使之便于運(yùn)算或論證，這是一個(gè)復(fù)雜且技巧性很高的問(wèn)題。雖然矩陣的列分塊方法是常見(jiàn)的分塊方法，但結(jié)合本文討論的問(wèn)題，到底是如何聯(lián)系上的呢？筆者進(jìn)行如下追問(wèn)：“您為什么會(huì)想到對(duì)矩陣B做列分塊？”SHC(T)：“為什么？可能是長(zhǎng)期教授該課程，好像見(jiàn)到AB=O，總能想到將矩陣B分塊，然后聯(lián)系上齊次線性方程組AX=0?！惫P者：“如果對(duì)矩陣A做列分塊，能獲得解題思路嗎？”SHC(T)：“應(yīng)該可以的吧，還沒(méi)考慮過(guò)。”

矩陣分塊法是矩陣計(jì)算中的一種技巧，其好處在于矩陣分塊后，能夠突出該矩陣的結(jié)構(gòu)，從而可以利用它的特殊結(jié)構(gòu)，使得運(yùn)算簡(jiǎn)化；除了將運(yùn)算調(diào)理化外，還可以為某些命題的證明提供方法和思路。如將m×n矩陣進(jìn)行分塊A=(α1,α2,…，αm)，那么，在運(yùn)算中，它可以視為一個(gè)“向量”，這時(shí)矩陣等同于它的列向量組。由此，理解矩陣與向量組的關(guān)系，這是對(duì)矩陣概念的深化，也是后續(xù)內(nèi)容中利用矩陣來(lái)討論向量組的基礎(chǔ)。

帶著某些特定的期望，筆者訪談了一位有代數(shù)背景的老教師SJH(DAT)。在介紹基本情況后，直接詢問(wèn)他：“您是如何聯(lián)系齊次線性方程組的？您會(huì)怎樣給學(xué)生提供思考問(wèn)題的策略？”他說(shuō)：

題目條件“AB=O,B≠O”的本質(zhì)是思考問(wèn)題的關(guān)鍵，于是我們可以從B≠O仔細(xì)考慮。若B≠O理解為有一個(gè)元素不為零，則在AB=O中矩陣A與一個(gè)元素相乘不好解釋，所以接著從該非零元素所在的列不為零考慮，則有Aβ=O，且β≠O，這樣克萊姆法則的結(jié)論自然聯(lián)系上。

SJH(DAT)稍稍思考后接著說(shuō)：

若B≠O，從矩陣的秩不為零(即R(B)≥1)考慮，由AB=O，知道R(A)+R(B)≤3，從而R(A)≤2，則有|A|=0。問(wèn)題也得到解決。

教師期望學(xué)生所知道的與教師自己的知識(shí)是相關(guān)的，僅僅期望學(xué)生學(xué)會(huì)這個(gè)過(guò)程的教師，往往只有過(guò)程性的理解。同時(shí)，有限的學(xué)科知識(shí)限制了教師促進(jìn)學(xué)生概念學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。一位長(zhǎng)期從事碩士研究生入學(xué)輔導(dǎo)的教師WJC(DAT)，他給出的糾錯(cuò)教學(xué)策略是：

此題思考的焦點(diǎn)是方陣的行列式，我認(rèn)為中間結(jié)論|A|=0，應(yīng)該可以猜測(cè)得到。而(非)奇異矩陣是線性代數(shù)中最重要和最基本的概念之一，沿著此思路，可以讓學(xué)生回憶刻劃|A|=0的等價(jià)條件，尋找解題思路。

根據(jù)WJC(DAT)的訪談?wù)淼萌缦聦?duì)照表：

|A|=0的等價(jià)條件解題思路AX=O有非零解將矩陣B作列分塊,由AB=O,B≠O判斷AX=O有非零解,故|A|=0A的秩小于3利用關(guān)系R(A)+R(B)≤3,且B≠O,從而R(A)≤2,故|A|=0A的列向量組線性相關(guān)將A做列分塊,A=(α1,α2,α3),由AB=O,B≠O,不妨令β=(k1,k2,k3)T≠0,則有k1α1+k2α2+k3α3=0,故A的列向量組線性相關(guān),從而|A|=0A有特征值為零(|A|=λ1λ2λ3)由于B≠O,不妨令β為B的非零列向量,則由AB=O有Aβ=O=O·β,從而,矩陣有一個(gè)特征值為零,β是A的屬于0的特征向量,故|A|=0

教學(xué)實(shí)踐中，注重教學(xué)方法、關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的有3位教師，其中1人是教育學(xué)碩士，1人是課程與教學(xué)論方向博士。他們?cè)趯W(xué)生出現(xiàn)錯(cuò)誤的成因分析和糾錯(cuò)教學(xué)策略指導(dǎo)中都能充分考慮學(xué)生學(xué)習(xí)習(xí)慣，有2位教師是采用反證法推導(dǎo)矩陣行列式|A|=0。QLL(T)教師認(rèn)為：

從方法論的角度看，當(dāng)我們正面思考問(wèn)題受阻時(shí)，可以嘗試從反面考慮，假設(shè)矩陣A的行列式不為零，即|A|≠0，則它是可逆矩陣，在等式AB=O兩邊左乘A-1，則有A-1AB=A-1O，由此推出B=O與題設(shè)矛盾。

該思路簡(jiǎn)潔明了，充分體現(xiàn)了“正難則反”的思維模式的威力。利用A-1這一具體對(duì)象交給將剛踏入全新矩陣運(yùn)算系統(tǒng)的學(xué)生，避免了“無(wú)從著手，空中樓閣”的困惑。這里方法論知識(shí)對(duì)問(wèn)題的解決發(fā)揮了決定性的作用。

課程與教學(xué)論方向博士ZBD(DT)的指導(dǎo)策略是為犯錯(cuò)誤學(xué)生提供診斷性練習(xí)。她設(shè)計(jì)了幫助學(xué)生“診斷錯(cuò)誤、解決問(wèn)題”的一串練習(xí)題，試圖通過(guò)這些練習(xí)提出過(guò)程背后的概念性問(wèn)題。

習(xí)題1 設(shè)非零矩陣

計(jì)算AB。由計(jì)算結(jié)果與題設(shè)條件比較，你發(fā)現(xiàn)了矩陣運(yùn)算的什么特性？

計(jì)算矩陣的行列式|A|，思考零矩陣與矩陣行列式為零的區(qū)別與聯(lián)系。

分別求非零矩陣

使得AB=O，其中R(B1)=R(B2)=R(B3)=1。

盡管這串習(xí)題從計(jì)算的角度看是從過(guò)程性方面開(kāi)始的，但計(jì)算后的思考又讓學(xué)生回到概念，通過(guò)該習(xí)題串成功地幫助學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上記住矩陣運(yùn)算的若干規(guī)則。從教學(xué)角度看，既為學(xué)生指明思考問(wèn)題的方向，又讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤。此外，教師們還提到一些基于學(xué)習(xí)的策略，如組織學(xué)生學(xué)習(xí)、幫助學(xué)生觀察、指導(dǎo)學(xué)生參與討論等。

三、學(xué)科知識(shí)與教學(xué)策略關(guān)系的討論

(一)知識(shí)包的建立和分析

綜合分析討論的過(guò)程，我們可以獲得關(guān)于本文所研究習(xí)題的一個(gè)知識(shí)包(圖1)。知識(shí)包中橢圓表示研究課題，圓角長(zhǎng)方形表示相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)有向線段聯(lián)系相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；所有部分都明顯地與研究習(xí)題有關(guān)，知識(shí)包的下層支持對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的解釋，上層則對(duì)教師給學(xué)生提供解題策略提供有力支持。

圖1 習(xí)題的知識(shí)包

知識(shí)包中的概念是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，也是教學(xué)中師生思維的“細(xì)胞”。教學(xué)中可以從關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)，揭示其被掩蓋的特殊情況，如“矩陣B≠O”背后的“?bij≠O”或“?βj≠O”或“R(B)≥1”等，通過(guò)給出各種具體模式，幫助學(xué)生理解。也可以區(qū)分概念的異同，尋找它們的關(guān)鍵之處。

從學(xué)科知識(shí)的角度來(lái)看，參加討論的教師的知識(shí)理解幾乎都包含在這個(gè)包內(nèi)。關(guān)于問(wèn)題解決的教學(xué)策略，“奇異矩陣”幾乎是所有教師都能意識(shí)到的關(guān)鍵概念。大多數(shù)新教師考慮問(wèn)題限制在解釋錯(cuò)誤和解答問(wèn)題范圍內(nèi)。而經(jīng)驗(yàn)型教師，特別是有代數(shù)專業(yè)方向背景，或具有教學(xué)需求的教師(如SJH(DAT)和WJC(DAT))，能夠很“輕松”地從較多角度討論相關(guān)內(nèi)容。這說(shuō)明：專業(yè)知識(shí)背景的不同、教學(xué)知識(shí)的差異影響對(duì)知識(shí)包的相關(guān)各成分的了解范圍，導(dǎo)致教師教學(xué)策略的優(yōu)劣。

(二)“概念性理解”并非簡(jiǎn)單

新教師理解的深刻程度較淺，只能將知識(shí)包中少數(shù)元素引入問(wèn)題的解決過(guò)程，且較為孤立。6位新教師中，關(guān)于錯(cuò)誤解釋有2人在過(guò)程性理解層面，4人在概念性理解層面；從教學(xué)策略角度看，只有1位教師達(dá)到概念性取向。經(jīng)驗(yàn)型教師中，也只有具有代數(shù)背景的，或有教學(xué)需要的教師才有發(fā)展完全的、組織良好的概念性理解的知識(shí)包。統(tǒng)計(jì)表明：在12名經(jīng)驗(yàn)教師中，有10名(占83%)關(guān)于錯(cuò)誤解釋在概念性理解層面；從教學(xué)策略角度看，只有8位教師達(dá)到概念性取向。圖2顯示了教師關(guān)于該內(nèi)容的學(xué)科知識(shí)，圖3顯示了教師在認(rèn)識(shí)和處理該問(wèn)題時(shí)的教學(xué)法傾向。

圖2

圖3

無(wú)論是新教師還是經(jīng)驗(yàn)型教師，從教學(xué)策略上看概念性取向的人數(shù)要比解釋錯(cuò)誤時(shí)概念性理解的人數(shù)要少。這提示我們，數(shù)學(xué)知識(shí)的“概念性理解”并非簡(jiǎn)單。訪談?wù){(diào)查中，ZBD老師設(shè)計(jì)的習(xí)題串，從問(wèn)題形式挖掘?qū)W生的思維過(guò)程，從學(xué)生的立場(chǎng)解釋知識(shí)、表征知識(shí)，能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解從過(guò)程性轉(zhuǎn)向概念性，給我們很好的啟示。

(三)若干思考

大學(xué)數(shù)學(xué)教師怎樣準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)學(xué)生的錯(cuò)誤，游刃有余地矯治錯(cuò)誤，達(dá)到對(duì)講授學(xué)科知識(shí)的深刻理解?本課題的研究給我們一些啟示：

第一，教師的學(xué)科知識(shí)具有促進(jìn)學(xué)生在課題學(xué)習(xí)中獲得特殊智慧的特征。數(shù)學(xué)教師往往會(huì)在相關(guān)課題之間和課題內(nèi)部的知識(shí)之間建立一些聯(lián)系，形成中心概念、概念序列或概念節(jié)點(diǎn)，而如何創(chuàng)設(shè)知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)結(jié)并形成一定的“知識(shí)包”，則需要教師自覺(jué)總結(jié)或在教研活動(dòng)中共同討論。

第二，多角度地考慮問(wèn)題，討論各種解法，是數(shù)學(xué)發(fā)展的一種持續(xù)的動(dòng)力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)追求的目標(biāo)。計(jì)算過(guò)程、推理路徑的多樣化，源于概念性理解。一個(gè)問(wèn)題能用多種方法計(jì)算或論證需要超越知識(shí)表面的形式，把握數(shù)學(xué)的精髓——蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)概念和原理。

第三，教育教學(xué)活動(dòng)是復(fù)雜的、多變的，僅僅具備學(xué)科基礎(chǔ)性知識(shí)，并不足以保證數(shù)學(xué)教師能夠勝任數(shù)學(xué)教育實(shí)踐工作[3]。雖然大部分教師能夠顧及學(xué)生的認(rèn)知水平，但具體操作中，有良好的教學(xué)法知識(shí)的教師，能更有效地幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)錯(cuò)誤、矯治錯(cuò)誤，表現(xiàn)出了更有章法的指導(dǎo)策略。

總而言之，教師的學(xué)科知識(shí)不能自動(dòng)地產(chǎn)生成功的教學(xué)方式和教學(xué)理念；缺乏堅(jiān)固的學(xué)科支撐，成功的教學(xué)方式和新穎的教學(xué)理念不可能實(shí)現(xiàn)[4]。我們期望做一個(gè)“WJC+QLL+ZBD”型即學(xué)科專業(yè)扎實(shí)、教育教學(xué)智慧、實(shí)踐反思深刻、睿智耐心的數(shù)學(xué)教師，為了支持學(xué)生更深入學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，我們應(yīng)該不斷積累、完善自己的數(shù)學(xué)教學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)，聚焦課堂教學(xué)實(shí)踐與反思，走向開(kāi)拓性教學(xué)。

[1]黃興豐，馬云鵬.美國(guó)數(shù)學(xué)教師學(xué)科知識(shí)評(píng)價(jià)方法的述評(píng)[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2013，(1).

[2]馬 復(fù).試論數(shù)學(xué)理解的兩種類型——從斯根普的工作談起[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2001，(3).

[4]馬立平.小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握與教學(xué)[M].李士钅奇等譯.上海：華東師范大學(xué)出版社，2011.

[5]陳建華，劉金林，魏俊潮.線性代數(shù)(第3版)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2011.

[6]陳建華，李立斌，凌 智，劉金林，陳惠香.基于問(wèn)題解決的線性代數(shù)課程教學(xué)設(shè)計(jì)研究[J].高等理科教育，2011，(4).

(責(zé)任編輯：李文富)

Study on Mathematics Teachers' Teaching Strategies of Error Correction——Based on Error Handling in Students' Problem Solving

Chen Jian-hua1Wen Qing2

(1.Yangzhou University, Yangzhou, Jiangsu, 225002, China; 2.Chengdu University, Chengdu, Sichuan, 610106, China)

Teacher's discipline knowledge can't automatically produce successful teaching modes and teaching ideas.Without strong subject support,the success of teaching methods and new teaching ideas is impossible.In order to help students study more deeply,university mathematics teachers should accumulate and improve their mathematics teaching knowledge structure,focus on classroom teaching practice,and achieve the pioneering teaching.Through teachers' different teaching to students' incorrect answers, we can observe teachers' teaching ability of error correction.By means of the knowledge package involved with teaching content, this article discusses the depth and width of teachers' teaching content knowledge,their influence on teaching, and mathematics teachers' error correction strategies.

mathematics teachers;teaching strategies of error correction;matrices;zero factor;rank;systems of linear equations;knowledge

2014-03-09

揚(yáng)州大學(xué)教改課題“基于數(shù)學(xué)理解的線性代數(shù)課程教學(xué)實(shí)踐研究”(YZUJX2012-46B)。

陳建華(1963—)，男，揚(yáng)州大學(xué)副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：線性代數(shù)。

G645

A

1674-6120(2014)06-0049-05