穆璇，張珂，趙德宏，吳玉厚

(沈陽(yáng)建筑大學(xué)交通與機(jī)械學(xué)院，遼寧沈陽(yáng)110168)

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)是在初始結(jié)構(gòu)關(guān)系未知的情況下，以尋求結(jié)構(gòu)的材料在設(shè)計(jì)空間最佳傳力路徑而展開(kāi)的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)的研究，在結(jié)構(gòu)的概念設(shè)計(jì)階段具有很重要的指導(dǎo)性意義。目前出現(xiàn)了一系列具有連續(xù)拓?fù)湓O(shè)計(jì)變量的優(yōu)化模型，主要包括［1］:均勻化法、變密度法、進(jìn)化結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，獨(dú)立映射法，水平集法等。其中變密度法由于設(shè)計(jì)變量少、迭代效率高、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)而得到了廣泛關(guān)注。

目前變密度法中最為流行的插值方法有各項(xiàng)同性懲罰微結(jié)構(gòu)模型法 (SIMP)和材料屬性有理近似模型 (RAMP)［2］。1988年 BENDSOE等提出的基于均勻化理論的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)，開(kāi)創(chuàng)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)研究的新局面［3］。

SIMP法是由 MLEJNEK等［4］于1993年提出的，1999年BENDSOE等［5］將其進(jìn)一步發(fā)展，并且證明了該方法物理意義的存在性。在前人提出的重要理論基礎(chǔ)上，后人也將其跟其他現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法相結(jié)合，衍生出了其他一些拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，如左孔天等［6］用拓?fù)鋬?yōu)化方法進(jìn)行了微型柔性機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)研究，羅震［7］用變密度法詳細(xì)研究了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。文中利用SIMP法對(duì)龍門(mén)機(jī)床橫梁進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)。

龍門(mén)機(jī)床的橫梁是一個(gè)極其重要的部件，它起著支撐滑鞍工作頭、連接立柱床身等關(guān)鍵部件的作用，并在加工過(guò)程中帶動(dòng)工作頭實(shí)現(xiàn)加工中心的縱向進(jìn)給，故橫梁的動(dòng)力學(xué)特性直接影響整機(jī)的精度與動(dòng)力學(xué)特性。HTM50200龍門(mén)式車(chē)銑加工中心為專(zhuān)門(mén)針對(duì)復(fù)雜異型石材制品加工開(kāi)發(fā)的一種八軸五聯(lián)動(dòng)數(shù)控加工加工中心，如圖1所示［8］。

圖1 HTM50200虛擬樣機(jī)

1 基于變密度理論的優(yōu)化模型

1.1 優(yōu)化模型的建立

以結(jié)構(gòu)整體剛度最大也等價(jià)于結(jié)構(gòu)的總變形能最小為目標(biāo)，以材料體積為約束條件，建立拓?fù)鋬?yōu)化的設(shè)計(jì)模型:

式中:C為結(jié)構(gòu)的柔順度;X為設(shè)計(jì)變量，材料的相對(duì)密度，表示在區(qū)間 ［0，1］上有多少存在的單元;F為載荷向量;u為節(jié)點(diǎn)位移向量;N為單元總數(shù);V0表示整個(gè)設(shè)計(jì)域初始體積;V*為體積上限;f為優(yōu)化體積比;V(x)為優(yōu)化后結(jié)構(gòu)體積;K為總體剛度矩陣。

有限元結(jié)構(gòu)中存在關(guān)系式:

式中:Ve為優(yōu)化后的單元體積;xe為單元設(shè)計(jì)變量柔度，可以寫(xiě)為:

在SIMP前提下，數(shù)學(xué)模型可寫(xiě)為下面關(guān)系式:

1.2 優(yōu)化求解方法

優(yōu)化準(zhǔn)則法是在20世紀(jì)60年代后期發(fā)展起來(lái)的一種可以替代數(shù)學(xué)規(guī)劃法的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，準(zhǔn)則法最初的基本思想見(jiàn)于Michell在1994年發(fā)表的文獻(xiàn)［9］中。準(zhǔn)則法 (又稱(chēng)OC方法)一般適用于單目標(biāo)、單約束條件下的優(yōu)化問(wèn)題求解，很少使用敏度分析信息，計(jì)算速度快，并且計(jì)算規(guī)模與求解變量的數(shù)目無(wú)關(guān)，故拓?fù)鋬?yōu)化中的優(yōu)化算法一般情況下采用優(yōu)化準(zhǔn)則法。人們把數(shù)學(xué)中最優(yōu)解應(yīng)滿(mǎn)足的Kuhn-Tucker(庫(kù)恩-塔克)條件作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則，形成所謂的理性準(zhǔn)則法。Kuhn-Tucker條件的引入，增強(qiáng)了準(zhǔn)則法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和通用性，并使準(zhǔn)則法最終得到優(yōu)化問(wèn)題的局部最優(yōu)解甚至全局最優(yōu)解成為可能。針對(duì)該優(yōu)化問(wèn)題構(gòu)造相應(yīng)的拉格朗日函數(shù)為:

式中:λ1，λ2，λ3，λ4為拉格朗日乘子，當(dāng)x=x*時(shí)取極值，拉格朗日函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的Kuhn-Tucker必要條件為:

對(duì)于上式等于0的情況，并且由C=UTKU可得:

把Ke=(xe)pK0，g(x)=fV0= ∑Ne=1xeVe代入上式，并且利用結(jié)構(gòu)剛度矩陣的對(duì)稱(chēng)性可得:

不妨取λ2=－2U代入上式得

式中:η為阻尼系數(shù)，引入η的目的是為了確保數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性和收斂性。

1.3 懲罰因子對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)果的影響

圖2 SIMP模型密度同彈性模量間關(guān)系

將懲罰因子引入SIMP密度函數(shù)插值模型，在材料的彈性模量和單元相對(duì)密度之間建立起一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。它的作用是推動(dòng)設(shè)計(jì)變量的值 (文中指密度)逐漸向0、1兩端聚集，從而可以得到更加清晰的拓?fù)湫问健IMP法的懲罰曲線(xiàn)如圖2所示，當(dāng)P=1.0時(shí)成線(xiàn)性關(guān)系，即沒(méi)有懲罰效應(yīng)，很顯然P值越大，懲罰效果越好。

然而在實(shí)際運(yùn)用中如圖3所示，SIMP法有明顯的缺點(diǎn)［1］:(1)理論上SIMP模型并不能保證懲罰函數(shù)是一個(gè)凹函數(shù)，不能取得全局最優(yōu)解;(2)當(dāng)P取值大于某值后，其優(yōu)化結(jié)果沒(méi)有如理論上所述的加以改進(jìn)，反而可能得到完全誤導(dǎo)性的結(jié)果。通過(guò)運(yùn)行MATLAB發(fā)現(xiàn)，P值越大迭代次數(shù)越多，收斂的時(shí)間越長(zhǎng)，不利于計(jì)算，因此懲罰因子不宜選過(guò)大。文中選懲罰因子P=3時(shí)的結(jié)果，從而得到最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

圖3 不同懲罰因子下的優(yōu)化拓?fù)鋱D

2 龍門(mén)橫梁的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

以HTM50200車(chē)銑加工中心橫梁截面為研究目標(biāo)，結(jié)構(gòu)如圖1所示。橫梁采用雙直線(xiàn)導(dǎo)軌形式，上面導(dǎo)軌水平布置，下面導(dǎo)軌豎直布置，能有效地承擔(dān)來(lái)自滑鞍和工作頭的在豎直與水平方向的載荷。龍門(mén)機(jī)床的橫梁工作時(shí)承受復(fù)雜的空間載荷。橫梁部件在工作時(shí)所承受的力有加工時(shí)產(chǎn)生的切削力、自身重力、移動(dòng)部件和固定部件相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)導(dǎo)軌面間的摩擦力、聯(lián)結(jié)大件和移動(dòng)部件間的聯(lián)結(jié)力、慣性力、沖擊或震動(dòng)干擾力以及溫度升高時(shí)產(chǎn)生的熱應(yīng)力［10］。而優(yōu)化過(guò)程中應(yīng)設(shè)置為機(jī)床常態(tài)下的負(fù)載條件，因此橫梁受到自身重力——均布載荷，滑鞍及上面組件的重力——集中載荷的作用。

圖4 部分縱截面橫梁模型

由于橫梁縱截面太長(zhǎng)，計(jì)算效率低下，浪費(fèi)時(shí)間，故節(jié)選一部分為研究對(duì)象，對(duì)其進(jìn)行受力分析，優(yōu)化效果如圖4所示。

橫截面模型為簡(jiǎn)便起見(jiàn)，采用結(jié)構(gòu)左右下角固定約束，上、下面模擬導(dǎo)軌結(jié)點(diǎn)受向下重力F1、F2作用，材料懲罰因子取值為3，敏度過(guò)濾半徑為2，體積比為0.4，結(jié)構(gòu)離散為80×60個(gè)四結(jié)點(diǎn)四邊形有限單元。截面算例如圖5所示。在MATLAB幫助下，用SIMP法計(jì)算出的最優(yōu)拓?fù)涞哪Ｐ腿鐖D6所示。

圖5 橫截面模型

圖6 結(jié)構(gòu)拓?fù)鋱D

從圖6可以看出:所獲得的拓?fù)鋱D形具有一定的參考意義，可從中得出橫梁截面筋肋的布局:整體采用“之”字形排布。根據(jù)結(jié)果設(shè)計(jì)橫梁如圖7所示，橫梁總質(zhì)量9 377 038g，比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)減輕2.75%。

圖7 橫梁內(nèi)部筋板布局

3 試驗(yàn)分析

3.1 試驗(yàn)設(shè)備

在這次試驗(yàn)中，主要采用的儀器和分析系統(tǒng)有東方所生產(chǎn)的 INV3018C、DASP-V10模態(tài)分析模塊、ICP型輸入方式的加速度傳感器和朗斯公司生產(chǎn)的LC1031力錘及其配套的力傳感器，如圖8及表1所示。

圖8 實(shí)驗(yàn)設(shè)備

表1 試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試所用設(shè)備

3.2 試驗(yàn)方法

在將試驗(yàn)數(shù)據(jù)導(dǎo)入DASP-V10模態(tài)分析模塊之前，首先在信號(hào)相干性大于0.8以上的前提下，將激振信號(hào)和響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行FRF分析，即傳遞函數(shù)分析，然后通過(guò)模態(tài)分析［11］系統(tǒng)對(duì)傳函曲線(xiàn)進(jìn)行定階擬合，最后識(shí)別出結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)，即測(cè)試對(duì)象的固有頻率值及各階振型。具體試驗(yàn)流程如圖9所示。

圖9 試驗(yàn)?zāi)B(tài)測(cè)試流程示意圖

3.3 模態(tài)試驗(yàn)

該試驗(yàn)的驗(yàn)證過(guò)程:首先用力錘在橫梁上某一點(diǎn)處激振，同時(shí)用加速度傳感器在主軸端部拾取響應(yīng)信號(hào)，將這兩路信號(hào)分別導(dǎo)入數(shù)據(jù)采集系統(tǒng);然后交換激勵(lì)點(diǎn)和響應(yīng)點(diǎn)，讀取這兩路信號(hào)，比較前后兩組數(shù)據(jù)。

3.4 試驗(yàn)與數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)之前，先將滑鞍移到橫梁中間部位，復(fù)合式工作頭調(diào)整到實(shí)際加工時(shí)的位置，然后用力錘敲擊靠近刀具的主軸端部，并用5個(gè)加速度傳感器分別拾取機(jī)床各個(gè)測(cè)量點(diǎn)的響應(yīng)信號(hào)。通過(guò)采集分析系統(tǒng)記錄下X和Y方向上的頻響函數(shù) (圖10—11)、相干函數(shù)等，為下一步的定階、曲線(xiàn)擬合提供必要的數(shù)據(jù)。

圖10 橫梁上X方向上隨機(jī)兩點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線(xiàn)

圖11 橫梁上Y方向上隨機(jī)兩點(diǎn)的頻響函數(shù)曲線(xiàn)

3.5 試驗(yàn)結(jié)果分析

從表2可以看出:實(shí)驗(yàn)結(jié)果與仿真分析值的誤差在10%以?xún)?nèi)，說(shuō)明仿真分析數(shù)據(jù)真實(shí)可靠，之所以產(chǎn)生誤差可能的原因有:

(1)建立有限元模型時(shí)，省略了零部件倒角、螺栓孔等。

(2)仿真軟件分析時(shí)使用的材料屬性及參數(shù)設(shè)置的準(zhǔn)確性對(duì)分析結(jié)果造成了影響。

(3)試驗(yàn)時(shí)激勵(lì)位置和測(cè)試點(diǎn)的選擇及錘擊的脈沖信號(hào)存在少許誤差。

(4)測(cè)量時(shí)傳感器本身的誤差或是安裝誤差會(huì)給試驗(yàn)結(jié)果帶來(lái)影響。

表2 橫梁模態(tài)測(cè)試與仿真結(jié)果對(duì)比值

4 結(jié)論

(1)通過(guò)推導(dǎo)拓?fù)鋬?yōu)化中變密度法數(shù)學(xué)模型，用MATLAB實(shí)現(xiàn)了HTM50200車(chē)銑復(fù)合加工中心橫梁筋肋的設(shè)計(jì)，比傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)減輕2.75%。

(2)試驗(yàn)與仿真分析表明，該結(jié)構(gòu)有良好的動(dòng)力學(xué)特性。

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