陳海曉

摘 要：根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，教師通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。因此，在低段教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用點(diǎn)子圖能夠幫助學(xué)生理解數(shù)概念、建構(gòu)四則運(yùn)算的意義、建構(gòu)問(wèn)題解決的模型、溝通不同類(lèi)型問(wèn)題的解決。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)子圖；數(shù)學(xué)；低段；價(jià)值

在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中，根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，我們通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。

所謂點(diǎn)子圖，是一種介于實(shí)物和數(shù)之間的圓點(diǎn)圖（如右圖）。在人教版教材中，點(diǎn)子圖第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)的第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中。下面筆者想結(jié)合具體的教學(xué)行為談?wù)劇包c(diǎn)子圖”在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中“橋”的價(jià)值。生活中的“橋”指的是方便從此岸到彼岸的工具，如果把小學(xué)數(shù)學(xué)中的具象和抽象比作是河的兩岸，那么點(diǎn)子圖相當(dāng)于架在河岸上的“橋”。

一、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生理解數(shù)概念的“橋”

在人教版教材中，“點(diǎn)子圖”第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中，然后在1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法中得到應(yīng)用。1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)教材是按照“主題圖—點(diǎn)子圖—抽象出數(shù)”的順序進(jìn)行編排的，當(dāng)然這種編排符合小學(xué)生“直觀感知—建立表象—抽象概括”的認(rèn)知規(guī)律，也就是說(shuō)點(diǎn)子圖在孩子思維由直觀上升到抽象的過(guò)程中起“承上啟下”的作用，“承上”即對(duì)具體物體個(gè)數(shù)與數(shù)之間一一對(duì)應(yīng)的理解，“啟下”即對(duì)抽象的數(shù)的理解，點(diǎn)子圖在幫助孩子理解數(shù)概念的過(guò)程中起到了重要的“橋”的作用，為孩子們順利地從此岸到彼岸提供了載體。

二、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)四則運(yùn)算意義的“橋”

在四則運(yùn)算中，對(duì)加減法意義的理解幾乎是每個(gè)成年人的常識(shí)（所謂的常識(shí)就是不需要問(wèn)“為什么”），但是也正是由于這種“常識(shí)性”，使得作為老師的我們往往按照我們成人的理解以及思維習(xí)慣看待孩子們的學(xué)習(xí)，容易將“現(xiàn)成的結(jié)論”告訴給孩子們，缺少讓孩子去感受和體驗(yàn)的過(guò)程。

三、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”

一、二年級(jí)解決問(wèn)題的課很多，用加、減法解決問(wèn)題，用乘、除法解決問(wèn)題，還有用加減或乘法兩步問(wèn)題的解決。

下面以二年級(jí)下冊(cè)《用除法解決問(wèn)題》為例，談?wù)匋c(diǎn)子圖幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”的作用。

在學(xué)習(xí)用除法解決問(wèn)題之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了除法，并且理解了除法算式的兩種具體含義。大家都知道在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，解決實(shí)際問(wèn)題一般是四則運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)鞏固、加深對(duì)四則運(yùn)算概念的理解，因此這里解決除法問(wèn)題的過(guò)程就是除法意義應(yīng)用的過(guò)程。在低段的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)孩子們用除法解決問(wèn)題做得很好，到高段同樣的情境，數(shù)據(jù)一變大，有部分孩子們就會(huì)遇到困難，而且經(jīng)常有老師這樣反映：當(dāng)數(shù)據(jù)變得很小，學(xué)生對(duì)到底用什么計(jì)算就稀里糊涂了：該用加法的用減法，該用乘法的用除法。問(wèn)題到底出在哪兒了？根據(jù)訪談和調(diào)查發(fā)現(xiàn)究根結(jié)底就是孩子們對(duì)信息和信息、信息和問(wèn)題之間的關(guān)系沒(méi)有真正的理解。如果以圖出示，孩子們會(huì)比較容易解決，因?yàn)橹庇^表象和豐富的生活經(jīng)驗(yàn)足夠支撐起孩子們對(duì)生活問(wèn)題的解決。如果以文字情境出示，孩子們解決起來(lái)就比較困難。從文字情境到用算式解決問(wèn)題這一過(guò)程中，孩子們到底缺失了什么？回顧原先的學(xué)習(xí)，我們是如何幫助孩子們建構(gòu)除法的含義的？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們是通過(guò)大量的動(dòng)態(tài)演示使孩子們很直觀地建構(gòu)對(duì)除法兩種實(shí)際含義的理解，在孩子們腦中留下了清晰的表象。從文字情境到算式的出現(xiàn)孩子們?nèi)笔У目赡苁牵簭某橄蟮奈淖中畔⒌礁叨瘸橄笏闶饺ソ鉀Q問(wèn)題這一關(guān)鍵時(shí)刻，孩子們?nèi)笔Я酥庇^表象支持的清晰的數(shù)量關(guān)系。

四、“點(diǎn)子圖”是溝通不同類(lèi)型問(wèn)題解決的“橋”

一道題是一個(gè)點(diǎn)，同一類(lèi)題就是點(diǎn)聚成的線，那么相似（不同類(lèi)，如乘、除）類(lèi)型的問(wèn)題形成一張網(wǎng)。怎么樣用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生形成用“乘、除法”解決問(wèn)題的“網(wǎng)”呢？也可以借用點(diǎn)子圖幫助理解題，把同一類(lèi)問(wèn)題的解決拓展到不同類(lèi)問(wèn)題的解決（乘、除應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的溝通），如何織成一張網(wǎng)呢？利用直觀的點(diǎn)子圖進(jìn)行比較就是織網(wǎng)最好的教學(xué)手段了。

當(dāng)“點(diǎn)子圖”在學(xué)生心中悄然開(kāi)花之后，必然要走向結(jié)果。也就是說(shuō)，學(xué)生總有一天慢慢要學(xué)會(huì)丟掉“點(diǎn)子圖”這根“半抽象”的拐杖，繼而壓縮成為他自己的一種技能。但是，在今天乃至今后的教學(xué)中像“點(diǎn)子圖”這種半抽象的教學(xué)工具在幫助低段孩子經(jīng)歷從具象到抽象的過(guò)程中的價(jià)值是不可否認(rèn)的。

（作者單位 浙江省永嘉縣甌北第三小學(xué)）

？誗編輯 馬燕萍

摘 要：根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，教師通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。因此，在低段教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用點(diǎn)子圖能夠幫助學(xué)生理解數(shù)概念、建構(gòu)四則運(yùn)算的意義、建構(gòu)問(wèn)題解決的模型、溝通不同類(lèi)型問(wèn)題的解決。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)子圖；數(shù)學(xué)；低段；價(jià)值

在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中，根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，我們通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。

所謂點(diǎn)子圖，是一種介于實(shí)物和數(shù)之間的圓點(diǎn)圖（如右圖）。在人教版教材中，點(diǎn)子圖第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)的第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中。下面筆者想結(jié)合具體的教學(xué)行為談?wù)劇包c(diǎn)子圖”在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中“橋”的價(jià)值。生活中的“橋”指的是方便從此岸到彼岸的工具，如果把小學(xué)數(shù)學(xué)中的具象和抽象比作是河的兩岸，那么點(diǎn)子圖相當(dāng)于架在河岸上的“橋”。

一、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生理解數(shù)概念的“橋”

在人教版教材中，“點(diǎn)子圖”第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中，然后在1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法中得到應(yīng)用。1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)教材是按照“主題圖—點(diǎn)子圖—抽象出數(shù)”的順序進(jìn)行編排的，當(dāng)然這種編排符合小學(xué)生“直觀感知—建立表象—抽象概括”的認(rèn)知規(guī)律，也就是說(shuō)點(diǎn)子圖在孩子思維由直觀上升到抽象的過(guò)程中起“承上啟下”的作用，“承上”即對(duì)具體物體個(gè)數(shù)與數(shù)之間一一對(duì)應(yīng)的理解，“啟下”即對(duì)抽象的數(shù)的理解，點(diǎn)子圖在幫助孩子理解數(shù)概念的過(guò)程中起到了重要的“橋”的作用，為孩子們順利地從此岸到彼岸提供了載體。

二、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)四則運(yùn)算意義的“橋”

在四則運(yùn)算中，對(duì)加減法意義的理解幾乎是每個(gè)成年人的常識(shí)（所謂的常識(shí)就是不需要問(wèn)“為什么”），但是也正是由于這種“常識(shí)性”，使得作為老師的我們往往按照我們成人的理解以及思維習(xí)慣看待孩子們的學(xué)習(xí)，容易將“現(xiàn)成的結(jié)論”告訴給孩子們，缺少讓孩子去感受和體驗(yàn)的過(guò)程。

三、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”

一、二年級(jí)解決問(wèn)題的課很多，用加、減法解決問(wèn)題，用乘、除法解決問(wèn)題，還有用加減或乘法兩步問(wèn)題的解決。

下面以二年級(jí)下冊(cè)《用除法解決問(wèn)題》為例，談?wù)匋c(diǎn)子圖幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”的作用。

在學(xué)習(xí)用除法解決問(wèn)題之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了除法，并且理解了除法算式的兩種具體含義。大家都知道在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，解決實(shí)際問(wèn)題一般是四則運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)鞏固、加深對(duì)四則運(yùn)算概念的理解，因此這里解決除法問(wèn)題的過(guò)程就是除法意義應(yīng)用的過(guò)程。在低段的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)孩子們用除法解決問(wèn)題做得很好，到高段同樣的情境，數(shù)據(jù)一變大，有部分孩子們就會(huì)遇到困難，而且經(jīng)常有老師這樣反映：當(dāng)數(shù)據(jù)變得很小，學(xué)生對(duì)到底用什么計(jì)算就稀里糊涂了：該用加法的用減法，該用乘法的用除法。問(wèn)題到底出在哪兒了？根據(jù)訪談和調(diào)查發(fā)現(xiàn)究根結(jié)底就是孩子們對(duì)信息和信息、信息和問(wèn)題之間的關(guān)系沒(méi)有真正的理解。如果以圖出示，孩子們會(huì)比較容易解決，因?yàn)橹庇^表象和豐富的生活經(jīng)驗(yàn)足夠支撐起孩子們對(duì)生活問(wèn)題的解決。如果以文字情境出示，孩子們解決起來(lái)就比較困難。從文字情境到用算式解決問(wèn)題這一過(guò)程中，孩子們到底缺失了什么？回顧原先的學(xué)習(xí)，我們是如何幫助孩子們建構(gòu)除法的含義的？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們是通過(guò)大量的動(dòng)態(tài)演示使孩子們很直觀地建構(gòu)對(duì)除法兩種實(shí)際含義的理解，在孩子們腦中留下了清晰的表象。從文字情境到算式的出現(xiàn)孩子們?nèi)笔У目赡苁牵簭某橄蟮奈淖中畔⒌礁叨瘸橄笏闶饺ソ鉀Q問(wèn)題這一關(guān)鍵時(shí)刻，孩子們?nèi)笔Я酥庇^表象支持的清晰的數(shù)量關(guān)系。

四、“點(diǎn)子圖”是溝通不同類(lèi)型問(wèn)題解決的“橋”

一道題是一個(gè)點(diǎn)，同一類(lèi)題就是點(diǎn)聚成的線，那么相似（不同類(lèi)，如乘、除）類(lèi)型的問(wèn)題形成一張網(wǎng)。怎么樣用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生形成用“乘、除法”解決問(wèn)題的“網(wǎng)”呢？也可以借用點(diǎn)子圖幫助理解題，把同一類(lèi)問(wèn)題的解決拓展到不同類(lèi)問(wèn)題的解決（乘、除應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的溝通），如何織成一張網(wǎng)呢？利用直觀的點(diǎn)子圖進(jìn)行比較就是織網(wǎng)最好的教學(xué)手段了。

當(dāng)“點(diǎn)子圖”在學(xué)生心中悄然開(kāi)花之后，必然要走向結(jié)果。也就是說(shuō)，學(xué)生總有一天慢慢要學(xué)會(huì)丟掉“點(diǎn)子圖”這根“半抽象”的拐杖，繼而壓縮成為他自己的一種技能。但是，在今天乃至今后的教學(xué)中像“點(diǎn)子圖”這種半抽象的教學(xué)工具在幫助低段孩子經(jīng)歷從具象到抽象的過(guò)程中的價(jià)值是不可否認(rèn)的。

（作者單位 浙江省永嘉縣甌北第三小學(xué)）

？誗編輯 馬燕萍

摘 要：根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，教師通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。因此，在低段教學(xué)中適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用點(diǎn)子圖能夠幫助學(xué)生理解數(shù)概念、建構(gòu)四則運(yùn)算的意義、建構(gòu)問(wèn)題解決的模型、溝通不同類(lèi)型問(wèn)題的解決。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)子圖；數(shù)學(xué)；低段；價(jià)值

在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中，根據(jù)低年級(jí)學(xué)生以具體形象思維為主的認(rèn)知特點(diǎn)，我們通常會(huì)借助各種有效的材料或手段把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)形象化，達(dá)成學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。

所謂點(diǎn)子圖，是一種介于實(shí)物和數(shù)之間的圓點(diǎn)圖（如右圖）。在人教版教材中，點(diǎn)子圖第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)的第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中。下面筆者想結(jié)合具體的教學(xué)行為談?wù)劇包c(diǎn)子圖”在小學(xué)數(shù)學(xué)低段教學(xué)中“橋”的價(jià)值。生活中的“橋”指的是方便從此岸到彼岸的工具，如果把小學(xué)數(shù)學(xué)中的具象和抽象比作是河的兩岸，那么點(diǎn)子圖相當(dāng)于架在河岸上的“橋”。

一、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生理解數(shù)概念的“橋”

在人教版教材中，“點(diǎn)子圖”第一次出現(xiàn)在一年級(jí)上冊(cè)第一單元《1-5的認(rèn)識(shí)和加減法》中，然后在1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)和加減法中得到應(yīng)用。1-10各數(shù)的認(rèn)識(shí)教材是按照“主題圖—點(diǎn)子圖—抽象出數(shù)”的順序進(jìn)行編排的，當(dāng)然這種編排符合小學(xué)生“直觀感知—建立表象—抽象概括”的認(rèn)知規(guī)律，也就是說(shuō)點(diǎn)子圖在孩子思維由直觀上升到抽象的過(guò)程中起“承上啟下”的作用，“承上”即對(duì)具體物體個(gè)數(shù)與數(shù)之間一一對(duì)應(yīng)的理解，“啟下”即對(duì)抽象的數(shù)的理解，點(diǎn)子圖在幫助孩子理解數(shù)概念的過(guò)程中起到了重要的“橋”的作用，為孩子們順利地從此岸到彼岸提供了載體。

二、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)四則運(yùn)算意義的“橋”

在四則運(yùn)算中，對(duì)加減法意義的理解幾乎是每個(gè)成年人的常識(shí)（所謂的常識(shí)就是不需要問(wèn)“為什么”），但是也正是由于這種“常識(shí)性”，使得作為老師的我們往往按照我們成人的理解以及思維習(xí)慣看待孩子們的學(xué)習(xí)，容易將“現(xiàn)成的結(jié)論”告訴給孩子們，缺少讓孩子去感受和體驗(yàn)的過(guò)程。

三、“點(diǎn)子圖”是幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”

一、二年級(jí)解決問(wèn)題的課很多，用加、減法解決問(wèn)題，用乘、除法解決問(wèn)題，還有用加減或乘法兩步問(wèn)題的解決。

下面以二年級(jí)下冊(cè)《用除法解決問(wèn)題》為例，談?wù)匋c(diǎn)子圖幫助學(xué)生建構(gòu)問(wèn)題解決模型的“橋”的作用。

在學(xué)習(xí)用除法解決問(wèn)題之前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)了除法，并且理解了除法算式的兩種具體含義。大家都知道在第一學(xué)段的學(xué)習(xí)中，解決實(shí)際問(wèn)題一般是四則運(yùn)算在實(shí)際中的應(yīng)用，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題來(lái)鞏固、加深對(duì)四則運(yùn)算概念的理解，因此這里解決除法問(wèn)題的過(guò)程就是除法意義應(yīng)用的過(guò)程。在低段的時(shí)候我們發(fā)現(xiàn)孩子們用除法解決問(wèn)題做得很好，到高段同樣的情境，數(shù)據(jù)一變大，有部分孩子們就會(huì)遇到困難，而且經(jīng)常有老師這樣反映：當(dāng)數(shù)據(jù)變得很小，學(xué)生對(duì)到底用什么計(jì)算就稀里糊涂了：該用加法的用減法，該用乘法的用除法。問(wèn)題到底出在哪兒了？根據(jù)訪談和調(diào)查發(fā)現(xiàn)究根結(jié)底就是孩子們對(duì)信息和信息、信息和問(wèn)題之間的關(guān)系沒(méi)有真正的理解。如果以圖出示，孩子們會(huì)比較容易解決，因?yàn)橹庇^表象和豐富的生活經(jīng)驗(yàn)足夠支撐起孩子們對(duì)生活問(wèn)題的解決。如果以文字情境出示，孩子們解決起來(lái)就比較困難。從文字情境到用算式解決問(wèn)題這一過(guò)程中，孩子們到底缺失了什么？回顧原先的學(xué)習(xí)，我們是如何幫助孩子們建構(gòu)除法的含義的？在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們是通過(guò)大量的動(dòng)態(tài)演示使孩子們很直觀地建構(gòu)對(duì)除法兩種實(shí)際含義的理解，在孩子們腦中留下了清晰的表象。從文字情境到算式的出現(xiàn)孩子們?nèi)笔У目赡苁牵簭某橄蟮奈淖中畔⒌礁叨瘸橄笏闶饺ソ鉀Q問(wèn)題這一關(guān)鍵時(shí)刻，孩子們?nèi)笔Я酥庇^表象支持的清晰的數(shù)量關(guān)系。

四、“點(diǎn)子圖”是溝通不同類(lèi)型問(wèn)題解決的“橋”

一道題是一個(gè)點(diǎn)，同一類(lèi)題就是點(diǎn)聚成的線，那么相似（不同類(lèi)，如乘、除）類(lèi)型的問(wèn)題形成一張網(wǎng)。怎么樣用點(diǎn)子圖幫助學(xué)生形成用“乘、除法”解決問(wèn)題的“網(wǎng)”呢？也可以借用點(diǎn)子圖幫助理解題，把同一類(lèi)問(wèn)題的解決拓展到不同類(lèi)問(wèn)題的解決（乘、除應(yīng)用題數(shù)量關(guān)系的溝通），如何織成一張網(wǎng)呢？利用直觀的點(diǎn)子圖進(jìn)行比較就是織網(wǎng)最好的教學(xué)手段了。

當(dāng)“點(diǎn)子圖”在學(xué)生心中悄然開(kāi)花之后，必然要走向結(jié)果。也就是說(shuō)，學(xué)生總有一天慢慢要學(xué)會(huì)丟掉“點(diǎn)子圖”這根“半抽象”的拐杖，繼而壓縮成為他自己的一種技能。但是，在今天乃至今后的教學(xué)中像“點(diǎn)子圖”這種半抽象的教學(xué)工具在幫助低段孩子經(jīng)歷從具象到抽象的過(guò)程中的價(jià)值是不可否認(rèn)的。

（作者單位 浙江省永嘉縣甌北第三小學(xué)）

？誗編輯 馬燕萍