陳 麗， 薛玲霞

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 鄭州 450044；2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部 鄭州 450009)

雙邊生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)與Motoo理論

陳 麗1， 薛玲霞2

(1.鄭州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 鄭州 450044；2.鄭州旅游職業(yè)學(xué)院 基礎(chǔ)部 鄭州 450009)

主要研究雙邊生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論中的生滅過程與Motoo理論之間的對應(yīng)關(guān)系，并且說明了構(gòu)造理論中各個參數(shù)的概率含義.

雙邊生滅過程； Ray-Knight緊化； 右過程； Motoo理論

0 引言

文獻(xiàn)[1-2]利用Markov過程中的一般理論刻畫了生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)：從(-)是流入的，(-)是流出的，(-)是自然的，(-)是正則的等幾個方面指出雙邊生滅軌道結(jié)構(gòu)與構(gòu)造理論之間的對應(yīng)關(guān)系，本文在文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上，繼續(xù)給出和-都是流出的情況下雙邊生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論，并研究生滅過程與Motoo理論之間的對應(yīng)關(guān)系，說明雙邊生滅過程構(gòu)造理論中各個參數(shù)的概率含義.

1 預(yù)備知識

設(shè)E={…,-2,-1,0,1,2,…}，ai,bi,i=0,±1,±2,…是一組正數(shù)，Q=(qi,j)是E上的雙邊生滅矩陣，其中

如文獻(xiàn)[1-2]，定義Q的自然尺度zi,i=0,±1,±2,…如下：

z0=0,

定義標(biāo)注測度μi,i=0,±1,±2,…，如下：

(1)

令

(2)

在R-,R,S-,S分別取有限和無限的情況下，把-和分為正則、流入、流出和自然4種情況.并且對于任意的i∈E，令xi=Ei{e-λσ0},yi=Ei{e-λσ},ωi=Ei{e-λσ-}.這些量都是由Q的最小過程唯一確定的.

在文獻(xiàn)[1-2]中，討論了和-在一些特殊情況下的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論，本文利用Motoo理論及文獻(xiàn)[3-5]繼續(xù)討論在其他情況下的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論.

2 Mootoo理論簡介

設(shè)S是一個Lusin空間，X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)是一個狀態(tài)空間為S的Hunt過程，即X滿足假設(shè)：

1)X的軌道是右連左極的；

2)濾子{Rt}是右連續(xù)的；

4)X滿足正規(guī)性，即Px{X0=x}=1,?x∈E；

5)對于任意的X的α-過分函數(shù)f(·)，過程{f(Xt)}t≥0是右連續(xù)的；

6)X是擬左連續(xù)的.

令φ(x)=Ex{e-σ},x∈S.存在唯一的可加泛函{Lt}，使得

φ(x)=Ex{∫(0,)e-sdLs},?x∈S，

(3)

并且Lebesgue-Stieltjes測度dL(ω)的支撐幾乎必然等于Z(ω)，{Lt}稱為X在V上的局部時.

由文獻(xiàn)[6]，存在V上的函數(shù)l(·)，使得

∫(0,t)IV(Xs)ds=∫(0,t)l(Xs)dLs

(4)

存在(Ω,R)上的σ有限測度族P(x,·),x∈V，使得對于任意的x∈E,F∈R及可料過程{Zt}，有

(5)

并且對于任意的{Rt}停時T，B∈R,Λ∈RT，

P(x,IΛ·IB°θT)=P(x,IΛ·EXT{IB}),

(6)

P(x,·),x∈V稱為X在V上的游程測度，式(6)說明游程測度具有強(qiáng)Markov性.(P,L)稱為X在V上的流出系統(tǒng).此外，P(x,·)還滿足方程

P(x,1-e-σ)=1.

(7)

ωα(x)=P(x,(1-e-ασ)I{x}(Xσ)),?x∈V，

(8)

(9)

(10)

對于任意的x∈S,f∈B+(S)，有

(11)

3 生滅過程與Motoo理論

文獻(xiàn)[3]給出了-和都是流出的， 而生滅過程的豫解式Rij(λ)誘導(dǎo)的Ray-Knight緊化的附加點(diǎn)有兩個或一個，其中只有一個是正則點(diǎn)的情況.在本文中假定：

1)-和都是流出的，Rij(λ)是密度矩陣為生滅矩陣Q的誠實(shí)的豫解式;

2)E在Rij(λ)下的Ray-Knight緊化為E∪{-,};

3)對Rij(λ)誘導(dǎo)的右過程X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)來說，-和都是非分支點(diǎn).

與Rij(λ)是誠實(shí)的豫解式矛盾.所以

所以

由文獻(xiàn)[3]中引理3，(ψj(λ),j∈E)滿足方程組

(12)

但由于-和都是流出的，由文獻(xiàn)[3]中引理4，方程組(12)只有零解，矛盾.所以P{τ=0}=1，即是右過程X=(Ω,R,Rt,Xt,θt,Px)的正則點(diǎn).同理-也是正則點(diǎn).

由于-和都是正則點(diǎn)，所以V的首中時和首達(dá)時幾乎必然相同，也和馬氏鏈的爆炸時間相等，即σV=σ，此外，由于生滅矩陣Q有兩個Martin積極流出邊界-和，在t→σ-時，最小過程的極限也有兩種情況，所以Martin積極流出邊界-和Ray-Knight緊化中的極限相同，也是-和，所以-和既是Martin積極流出邊界，又是Ray-Knight緊化中的附加點(diǎn).

令V={-,}.由式(3)，存在X的可加泛函Lt使得

由于

由游程測度P(x,·),x∈V的強(qiáng)Markov性(6)，則

令

由式(7)可得

(13)

由式(8)，有

即

令

(14)

(15)

由式(10)容易得出

將這些量帶入式(11)，有定理1.

(16)

[1] 陳麗，薛玲霞，蘭社云，等．雙邊生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論[J]．河南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2012，42(4)：337-342．

[2] 陳麗，薛玲霞．雙邊生滅過程的軌道結(jié)構(gòu)和構(gòu)造理論(II)[J]．河南大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版，2013，43(1)：5-10．

[3] 楊向群．可列馬爾科夫過程構(gòu)造論[M]．長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社， 1986： 34-205.

[4] 侯振挺，郭青峰．齊次可列馬爾科夫過程[M]．北京：科學(xué)出版社，1980：55-69.

[5] 呂芳，王燕．Ito游程理論下的生滅過程的構(gòu)造[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2012，44(3)：65-71．

[6] 呂芳．生滅過程自有限態(tài)“流入”的軌道性質(zhì)[J]．信陽師范學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版，2011，24(3)：49-55．

[7] 候賢敏，李巧利．生滅過程的Ito 復(fù)合定理[J]．鄭州大學(xué)學(xué)報：理學(xué)版，2011，43(4)：23-30．

Paths of Bi-lateral Birth-death Process and Theory of Motoo

CHEN Li1, XUE Ling-xia2

(1.SchoolofMathematicsandStatistics,ZhengzhouNormalUniversity,Zhengzhou450044,China;2.DepartmentofBasic,ZhengzhouTourismCollege,Zhengzhou450009,China)

The orbits of bi-lateral birth-death process and the structures of the general theory of Markov processes were discussed, the corresponding relation between birth-death process and Motoo theory was studied, and the probability meaning of each parameter in the structure was given.

bi-lateral birth-death process; Ray-Knight compactification; right process; Motoo theory

2013-07-15

鄭州師范學(xué)院校級項(xiàng)目,編號 2012083.

陳麗(1968-)，女，副教授，碩士，主要從事概率論研究,E-mail:clxuu6697@sina.com.

O 211.62

A

1671-6841(2014)01-0042-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.010