王海宇

(中原工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 河南 鄭州 450007)

基于Bootstrap方法的分布未知情況下的小波動(dòng)過(guò)程質(zhì)量控制

王海宇

(中原工學(xué)院 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院 河南 鄭州 450007)

討論了在質(zhì)量特性分布未知的情況下對(duì)小批量生產(chǎn)過(guò)程中產(chǎn)生的較小異常波動(dòng)進(jìn)行監(jiān)控的一種Bootstrap WV-EWMA控制圖設(shè)計(jì)方法.首先引入賦權(quán)方差法將任意未知分布轉(zhuǎn)換為兩個(gè)正態(tài)分布，由此構(gòu)造WV-EWMA控制圖.然后通過(guò)對(duì)有限樣本進(jìn)行多次隨機(jī)有放回抽樣的Bootstrap方法對(duì)未知分布的集中和離散程度進(jìn)行較為有效的統(tǒng)計(jì)估計(jì)，由此建立能夠?qū)Ψ植嘉粗男∨窟^(guò)程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控的Bootstrap WV-EWMA方法.以平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL(average run length)為監(jiān)控效率的衡量指標(biāo)，提出了這種小波動(dòng)控制圖方法的優(yōu)化參數(shù)設(shè)計(jì)方案，并通過(guò)與已有的方法進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明這種方法的有效性.

過(guò)程質(zhì)量控制； Bootstrap方法； EWMA控制圖

0 引言

在當(dāng)今快速多變的市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)中，生產(chǎn)制造過(guò)程逐步呈現(xiàn)出由傳統(tǒng)的大批量生產(chǎn)向多品種小批量生產(chǎn)轉(zhuǎn)變的趨勢(shì).在多品種小批量生產(chǎn)環(huán)境中，無(wú)法像大批量生產(chǎn)過(guò)程那樣抽取大量的樣本來(lái)確定數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分布，更不能精確估計(jì)均值和標(biāo)準(zhǔn)差.若直接利用傳統(tǒng)方法對(duì)小樣本質(zhì)量過(guò)程建立控制限，會(huì)造成虛發(fā)警報(bào)的概率顯著增大，從而導(dǎo)致無(wú)謂的調(diào)整次數(shù)增多，干擾正常的產(chǎn)品生產(chǎn)過(guò)程[1].文[2]最早提出了小樣本均值極差控制圖，文[3]利用概率積分變換方法將小樣本觀測(cè)值轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，提出了Q控制圖.文[4]提出了工序相似性評(píng)判的方法將多個(gè)小批量過(guò)程轉(zhuǎn)換為近似的大批量過(guò)程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控.文[5]將編碼相同的工序劃分為同一個(gè)虛擬工序，再用傳統(tǒng)控制圖方法進(jìn)行監(jiān)控.文[6]應(yīng)用貝葉斯統(tǒng)計(jì)推斷的方法對(duì)分布參數(shù)未知的正態(tài)小批量過(guò)程構(gòu)造先驗(yàn)質(zhì)量控制模型.但是這些方法都需要先進(jìn)行較為繁雜的轉(zhuǎn)換運(yùn)算，不利于生產(chǎn)實(shí)踐的實(shí)時(shí)應(yīng)用.近年來(lái)，Bootstrap方法受到了國(guó)內(nèi)外專家的廣泛關(guān)注，該方法只依賴能獲得的少量樣本來(lái)模擬大樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)方法中的不足.文[7]首先提出了Bootstrap控制圖的概念，王晶等探討了正態(tài)分布假定條件下小批量生產(chǎn)過(guò)程的Bootstrap控制圖的應(yīng)用[8].但上述研究仍然假定過(guò)程服從分布參數(shù)未知的正態(tài)分布，而對(duì)于非正態(tài)過(guò)程，尤其是那些沒(méi)有先驗(yàn)數(shù)據(jù)判斷過(guò)程分布的類型的情況，上述研究方法則難以有效應(yīng)用.本文將針對(duì)這一問(wèn)題，探討采用賦權(quán)方差法分析構(gòu)建分布類型不確定情形下的非對(duì)稱小波動(dòng)EWMA控制圖，進(jìn)而通過(guò)Bootstrap方法用少量樣本對(duì)總體進(jìn)行較精確的統(tǒng)計(jì)推斷，構(gòu)造Bootstrap WV-EWMA控制圖方法，以有效對(duì)分布未知情況下的小批量生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行質(zhì)量監(jiān)控.

1 賦權(quán)方差(WV)法

Choobine和Ballard最早提出用賦權(quán)方差(WV)法將非正態(tài)分布轉(zhuǎn)換為正態(tài)分布[9]，本文則將該方法應(yīng)用在對(duì)未知分布進(jìn)行正態(tài)性轉(zhuǎn)換.假設(shè)一未知分布f(x)具有未知參數(shù)均值μ和標(biāo)準(zhǔn)差σ，如圖1(a).將該未知分布從均值的位置分成兩個(gè)部分，每一部分都分別作為兩個(gè)不同的正態(tài)分布的一半，將這兩個(gè)正態(tài)分布補(bǔ)齊，形成圖1(b)和(c)的兩個(gè)分布fL(x)和fU(x)，它們具有相同的均值μ和不同的標(biāo)準(zhǔn)差σL和σU.圖1(d)和(e)為fL(x)和fU(x)分別轉(zhuǎn)換后的正態(tài)分布φ(x,μ,σL)和φ(x,μ,σU)，其概率密度函數(shù)分別為φ(x,μ,σL)=φ((x-μ)/σL)/σL，φ(x,μ,σU)=φ((x-μ)/σU)/σU[10]，這兩個(gè)分布分別用來(lái)計(jì)算控制圖的上下控制界限.

圖1 賦權(quán)方差法Fig.1 Weighted variance method

2 分布未知情況下的WV-EWMA控制圖

設(shè)X1,X2,…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，則EWMA統(tǒng)計(jì)量Zi為

Zi=λ(Xi-μ)+(1-λ)Zi-1， 0<λ≤1，i=1,2,…,

(1)

其中，Z0=μ,λ為EWMA平滑系數(shù).

由EWMA控制統(tǒng)計(jì)量中的權(quán)重特點(diǎn)，可以得到EWMA控制統(tǒng)計(jì)量Z的數(shù)學(xué)期望E(Z)和方差D(Z)分別為：

E(Z)=E(X)=μ;D(Z)=(λ/(2-λ))[1-(1-λ)2i]D(X),

(2)

當(dāng)i比較大以后，方差就趨向于一個(gè)常數(shù),D(Z)=(λ/(2-λ)n)σ，其中n為樣本容量.

(3)

其中，k為控制線參數(shù)，在常規(guī)控制圖中，通常取k=3.

3 基于Bootstrap方法的WV-EWMA控制圖

在式(3)中，均值μ、標(biāo)準(zhǔn)差σ和比例系數(shù)PX的估計(jì)準(zhǔn)確與否將直接決定控制圖的使用效果，因此對(duì)于多品種小批量的生產(chǎn)環(huán)境，有必要采用Bootstrap方法進(jìn)行參數(shù)估計(jì).Bootstrap是一種只能獲得少量樣本情況下的統(tǒng)計(jì)估計(jì)，它是一種以原始數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)的模擬抽樣統(tǒng)計(jì)推斷方法，通過(guò)重采樣來(lái)擴(kuò)充樣本容量并進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷.設(shè)對(duì)于某未知的小批量過(guò)程采集了數(shù)量為m的隨機(jī)樣本集,T0={x1,x2,…,xm}，其中xi為該分布的獨(dú)立隨機(jī)樣本.對(duì)樣本T0進(jìn)行反復(fù)重采樣，即有放回的抽取B個(gè)樣本容量為n的隨機(jī)樣本，通過(guò)對(duì)這些樣本數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析來(lái)對(duì)各類統(tǒng)計(jì)量如均值、方差等進(jìn)行近似.如果B取足夠大，那么通過(guò)從T0中重復(fù)抽樣，就可以為各類統(tǒng)計(jì)量獲得比較精確的估計(jì)和推斷結(jié)果.在實(shí)際應(yīng)用中，只需抽取B=1 000個(gè)左右Bootstrap樣本即可[11].

Bootstrap WV-EWMA圖可以由6個(gè)步驟設(shè)計(jì)完成：

1)對(duì)待監(jiān)控的生產(chǎn)過(guò)程，抽取少量的d個(gè)樣本容量為n的觀測(cè)值作為原始樣本,

T0={x11,…,x1n,x21,…,x2n,…,xd1,…,xdn}.

2)對(duì)樣本T0進(jìn)行有放回反復(fù)重采樣，抽取B≥1 000個(gè)樣本容量為n的Bootstrap樣本Ti，i=1,2,…,B.

6)計(jì)算控制限.將比例系數(shù)PX的值代入式(3)，就可以得到控制圖的控制界限.

4 Bootstrap WV-EWMA圖的優(yōu)化設(shè)計(jì)

平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL(average run length)常常被用于控制圖監(jiān)控效率的評(píng)價(jià)指標(biāo)，是指從過(guò)程出現(xiàn)異常波動(dòng)到該異常被控制圖發(fā)現(xiàn)之間的樣本個(gè)數(shù).對(duì)于EWMA圖，文[12]提出采用積分計(jì)算的方法估計(jì)運(yùn)行長(zhǎng)度的分布情況，文[13]則提出用馬爾可夫鏈的方法來(lái)研究平均運(yùn)行長(zhǎng)度.而對(duì)于未知分布下的EWMA圖，由于其控制線的不確定性，難以使用積分計(jì)算的方法，因此本文采用馬爾可夫鏈的方法來(lái)研究平均運(yùn)行長(zhǎng)度，具體計(jì)算方法參考文獻(xiàn)[14].根據(jù)平均運(yùn)行長(zhǎng)度的計(jì)算方法可以設(shè)計(jì)出效果最優(yōu)的監(jiān)控方案，其原則是：當(dāng)過(guò)程處于受控狀態(tài)時(shí)，平均運(yùn)行長(zhǎng)度應(yīng)該盡可能的大，通常為和常規(guī)控制圖保持同樣的錯(cuò)誤報(bào)警概率，取受控狀態(tài)的平均運(yùn)行長(zhǎng)度ARL0=370；當(dāng)過(guò)程中發(fā)生了不可以接受的偏移時(shí)，平均運(yùn)行長(zhǎng)度應(yīng)該盡可能的小，以盡快地發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)的偏移，減少其帶來(lái)的損失.表1給出了在PX分別為0.3，0.4，0.5，0.6，0.7幾種情況下對(duì)于不同的偏移量l(偏移程度以標(biāo)準(zhǔn)差的倍數(shù)來(lái)統(tǒng)一度量)的最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)(Bootstrap仿真抽樣和平均運(yùn)行長(zhǎng)度的計(jì)算可以通過(guò)Matlab語(yǔ)言編程獲得).

表1 Bootstrap WV-EWMA圖優(yōu)化方案(ARL0=370)Tab.1 The optimal design schemes of Bootstrap WV-EWMA

5 監(jiān)控效率比較

本文把上面提出的設(shè)計(jì)方案與其他一些過(guò)程監(jiān)控方案進(jìn)行簡(jiǎn)單的比較，包括常規(guī)的均值極差控制圖、EWMA控制圖、Q圖等.表2是通過(guò)仿真PX分別是0.5和0.6情況下,小批量樣本數(shù)據(jù)計(jì)算各種監(jiān)控方法平均運(yùn)行長(zhǎng)度進(jìn)行比較的結(jié)果.

表2 未知分布情況下4種監(jiān)控方法的平均運(yùn)行長(zhǎng)度Tab.2 ARL of four control charts for unknown distribution

6 應(yīng)用實(shí)例

某零件生產(chǎn)過(guò)程中，要求鉆孔直徑為24.3±0.5 μm，現(xiàn)從生產(chǎn)過(guò)程中每隔20 s抽取4個(gè)產(chǎn)品，共抽取6個(gè)樣本進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果見(jiàn)表3.

表3 原始觀測(cè)數(shù)據(jù)Tab.3 The original observation data

按照未知分布下的Bootstrap WV-EWMA控制圖實(shí)施步驟：

1)首先，對(duì)表3中的原始數(shù)據(jù)進(jìn)行有放回重復(fù)抽樣，共抽取1 000個(gè)樣本容量為4的Bootstrap樣本；

2)分別計(jì)算樣本均值和樣本方差，由于數(shù)據(jù)過(guò)多，文中不再一一列出.

5)計(jì)算EWMA控制圖的控制界限.由表1可知，PX的值近似取0.7，于是有平滑系數(shù)λ=0.2，控制限參數(shù)k=2.5，就可計(jì)算控制界限為：

6)用于過(guò)程質(zhì)量監(jiān)控.按照控制界限進(jìn)行繪圖，以樣本容量為4采集現(xiàn)場(chǎng)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)，計(jì)算樣本均值進(jìn)行描點(diǎn)，如圖2所示.

圖2 鉆孔直徑的未知分布Bootstrap WV-EWMA控制圖Fig.2 Bootstrap WV-EWMA chart of drill diameter

7)過(guò)程異常判斷.Bootstrap WV-EWMA控制圖的判異準(zhǔn)則與一般的EWMA圖的判異準(zhǔn)則一致，如果圖中每次描點(diǎn)都處于上下控制限之間，類似于本例中的情形，則可以認(rèn)為過(guò)程處于穩(wěn)定狀態(tài)，不需要對(duì)過(guò)程進(jìn)行干擾，繼續(xù)正常生產(chǎn)及采樣監(jiān)控；而一旦出現(xiàn)有點(diǎn)超出上下控制限，則表示過(guò)程已經(jīng)出現(xiàn)異常，應(yīng)立即采取措施，查明并消除異常發(fā)生的原因.

7 結(jié)論

多品種小批量生產(chǎn)條件下，由于無(wú)法獲取足夠多的樣本以有效估計(jì)過(guò)程總體的分布狀況，傳統(tǒng)控制圖方法也就不能有效地建立和實(shí)施.本文將Bootstrap方法和賦權(quán)方差方法應(yīng)用到小波動(dòng)EWMA控制圖的建立過(guò)程中，以此構(gòu)造更符合小批量生產(chǎn)環(huán)境的控制圖技術(shù)，并通過(guò)實(shí)證分析驗(yàn)證了這種方法的有效性.

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Process Quality Control for Small Shifts with Unknown DistributionBased on Bootstrap Method

WANG Hai-yu

(Economics&ManagementSchool,ZhongyuanUniversityofTechnology,Zhengzhou450007,China)

A Bootstrap EWMA control chart used for monitoring smaller abnormal fluctuation of unknown distribution for short run production was discussed. At first, weighted variance method was introduced to split an unknown distribution into two normal distributions and to construct a kind of WV-EWMA control chart. And then Bootstrap method was proposed to evaluate parameters of the unknown distribution and to construct Bootstrap WV-EWMA control chart. Using ARL as a performance assessment method, optimal parameters design scheme of this chart was proposed and the effectiveness of this chart was illustrated by comparing with other control charts.

statistical process control; Bootstrap method; EWMA chart

2013-05-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)71002073.

王海宇(1979- )，男，副教授，博士，主要從事統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制研究，E-mail:wanghy1979@126.com.

TB 114.2

A

1671-6841(2014)01-0063-05

10.3969/j.issn/1671-6841.2014.01.015