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        數(shù)學教學中類比思想的培養(yǎng)

        2014-07-09 21:08:45丁惠清周逸波
        成才之路 2014年16期
        關鍵詞:等式雙曲線頂點

        丁惠清 周逸波

        牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律,提出兩個物體之間的引力大小與它們質(zhì)量的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比。庫侖在研究電荷后想,兩靜電荷之間的作用力(庫侖力),它的大小符合什么樣的規(guī)律呢?他根據(jù)萬有引力定律,大膽猜想,得出了著名的庫侖定律:庫侖力的大小類似于萬有引力,即與電量強度的乘積成正比,與它們之間距離的平方成反比,并通過實驗,證實了自己的猜想。庫侖在萬有引力的基礎上,通過類比,得出庫侖定律。難怪英國物理學家開普勒感嘆道:類比是我最好的老師??梢姡惐人枷朐谥R的創(chuàng)新過程中,起著多么重要的作用。

        類比就是從一類事物所具有的屬性,通過聯(lián)想,得到另一類事物也具有類似屬性的思想方法。通過類比,可以創(chuàng)造新的命題,它是創(chuàng)造性思維的源泉之一。在日常教學中,如何滲透類比思想呢?

        一、培養(yǎng)學生類比思想的切入點

        (1)從已知的數(shù)學“概念”出發(fā)。數(shù)學的概念教學,是數(shù)學課中很重要的組成部分,但往往被忽視,認為記住概念就可以了。其實,數(shù)學概念蘊含著豐富的內(nèi)涵,有些概念往往可作為培養(yǎng)學生類比思想的好素材。比如:(凸)多邊形和(凸)多面體概念。多邊形:由三條或三條以上的線段(邊)圍成的封閉的平面圖形。多面體:由四個或四個以上的多邊形(面)圍成的封閉的幾何體。多邊形有關的概念:角、邊長、頂點、高、面積等。多面體有關的概念:二面角、表面積、頂點、體高、體積等??梢园l(fā)現(xiàn):兩概念極為相似。因此,平面幾何與立體幾何之間可能存在某些類似性質(zhì)。要研究這些性質(zhì),得先找出兩者之間一些概念的對應關系。可以引導學生,從兩者的定義出發(fā),導出兩者之間可能存在的類比規(guī)律:平面圖形由“邊”圍成,立體圖形由“面”圍成,顯然“邊”對應“面”;某一“邊長”對應某一面的“面積”;兩邊構成“角”,兩面構成“二面角”,那么“角”對應“二面角”;多邊形的“頂點”對應多面體的“頂點”;多邊形的“面積”對應多面體的“體積”等等。(篇幅所限,圖略)從熟悉的數(shù)學概念著手,培養(yǎng)學生類比的思想,既強化概念學習的重要性,又親身體驗了類比規(guī)律得出的過程,學生比較容易接受。下面,是類比規(guī)律的運用、驗證示例。

        例1:真命題:平面幾何中有如下命題:正三角形內(nèi)(或邊上)任意一點到三邊的距離之和等于正三角形的高。請運用類比和聯(lián)想把此命題推廣到空間,寫出類似的命題并證明是否成立。

        根據(jù)類比規(guī)律,可得以下命題:正四面體內(nèi)(或面上)任意一點到四個面的距離之和等于正四面體的高。

        例2:任意△ABC中有余弦定理:AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos∠ACB. 類比余弦定理,寫出斜三棱柱的三個側(cè)面積之間的關系式并證明。

        根據(jù)類比規(guī)律,可得以下命題:S2■AA■C■C=S2■■+S2■■-2S■·S■·COSa (a是二面角A-BB1-C的大小)

        (2)從數(shù)學中一些公式的“形”出發(fā)。數(shù)學中有很多公式,教師一般比較強調(diào)公式的應用,但對于利用有些公式“形”來對學生進行類比思想的培養(yǎng)則比較忽視。而利用公式的“形”培養(yǎng)學生的類比意識,是一種非常直觀,學生比較容易接受的方式。比如等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式。等差數(shù)列的通項公式:an=a1+(n-1)d,an = am+(n-m)d;等比數(shù)列的通項公式:an=a1qn-1 ,an=amqn-m(m,n∈N*)??梢园压阶冃危篴n=a1+d+d+…+d?圮(類比)an=a1×q×q×…×q,an-am=(n-m)d?圮(類比)■=qn-m。學生通過觀察、分析上述公式,容易得出兩種數(shù)列之間可能存在的類比規(guī)律:

        等比數(shù)列 d + - 0 系數(shù)

        類比規(guī)律 ?鄴 ?鄴 ?鄴 ?鄴 ?鄴

        等差數(shù)列 q × ÷ 1 指數(shù)

        一些常見的滿足上述類比規(guī)律公式:①若m、n、k、l?綴N?鄢,且m+n=k+l,在等差數(shù)列中am+an=ak+al ;在等比數(shù)列中aman=akal 。②a、b、c成等差數(shù)列,則2b=a+c;a、b、c成等比數(shù)列,則b2=ac。③數(shù)列a■為等差數(shù)列,前n項的和Sn=na1+■d;數(shù)列a■為等比數(shù)列,前n項的積Tn=a■■q■,等等。類比規(guī)律的運用、驗證示例如下。

        例3:真命題:等差數(shù)列a■中,■=■成立,請把此性質(zhì)推廣到等比數(shù)列中,并證明是否成立。

        根據(jù)此等式的特點,利用類比規(guī)律容易得出結(jié)論:在等比數(shù)列a■中,如果an>0,則等式(a■×a■)■=(a■×a■×…×a■)■成立。

        例4:a■,a■,…,a■是公差為d的等差數(shù)列a■中的任意m項,若■=p+■,(0?燮r

        根據(jù)此等式的特點,利用類比規(guī)律可以得出結(jié)論:a■,a■,…,a■是公比為q的等比數(shù)列a■中的任意m項(an>0),若■=p+■,(0?燮r

        (3)從某一數(shù)學對象所具有的“性質(zhì)”出發(fā)。在同一類數(shù)學對象所構成的集合中,如果某一個對象具有某種性質(zhì),那么其他數(shù)學對象是否也具有類似的性質(zhì)呢?通過引導學生對一些已知的數(shù)學性質(zhì)的研究,可以培養(yǎng)學生的類比思想。比如:在圓錐曲線中,雙曲線具有某種性質(zhì),那么同屬于圓錐曲線的橢圓是否也具有這樣的性質(zhì)?

        例5:真命題:雙曲線■-■=1具有如下性質(zhì):若直線x=t交雙曲線于P、Q兩點,A1、A2為雙曲線的頂點,則A1P、A2Q的交點的軌跡是橢圓■+■=1,請運用類比的思想,對橢圓■+■=1寫出類似的性質(zhì)并證明是否成立。

        分析:雙曲線和橢圓都有頂點,但雙曲線有兩個,而橢圓有四個,那么雙曲線的頂點到底對應橢圓的哪兩個頂點呢?教師可讓學生大膽想象,同時可以利用幾何畫板來驗證各種情形,總結(jié)出類比規(guī)律:實軸?圮長軸,短軸?圮虛軸。根據(jù)類比規(guī)律,可以得出以下結(jié)論:若直線x=t交橢圓■+■=1于P、Q兩點,A1、A2為橢圓長軸上的兩頂點,則A1P、A2Q的交點的軌跡是雙曲線■-■=1。

        類似此例,通過對雙曲線性質(zhì)的研究,得出同屬于圓錐曲線的橢圓的類似性質(zhì),這種類比方法屬于平行類比。在圓錐曲線中,有很多性質(zhì)都可以通過平行類比,創(chuàng)造出新命題。教師可以充分利用圓錐曲線的性質(zhì),對學生進行類比思想的培養(yǎng)。(篇幅所限,例略)

        二、類比思想運用過程中的幾個注意點

        (1)類比不是命題的簡單改寫。在教學過程中,我發(fā)現(xiàn)有些同學把利用類比思想構造新命題的過程,簡單地理解為命題的改寫,產(chǎn)生不少錯誤。比如例3、例4中,漏了an>0這個等式成立的先決條件,例5中,把“雙曲線的頂點”寫成“橢圓的頂點”。在開展類比教學過程中,要向?qū)W生強調(diào):類比研究的對象是兩類數(shù)學對象或同一類數(shù)學對象不同個體,它們之間雖然可能具有相似性,但也分別具有自身的特性,必須區(qū)分清楚兩者的不同之處,才能進行合理類比。

        (2)通過類比得到的新命題未必成立。類比聯(lián)想僅僅是構造新命題的一種方法,但所得命題未必成立。要讓學生深刻地意識到:對于類比所得新命題,必須經(jīng)過證明,才能判斷其真假。合理類比,大膽聯(lián)想,嚴格求證,才是科學的思想方法。

        (3)論證方法的類比運用。在證明利用類比思想所得的新命題時,有些命題的論證方法可以與原命題的論證方法類比運用。比如:例1中,原命題可以把三角形分割成三個小三角形,利用“等面積”證明,新命題可以把正四面體分割成四個小四面體,利用“等體積”證明;例3中原命題可以利用等差數(shù)列的通項公式證明,新命題可以利用等比數(shù)列的通項公式證明,還有例4、例5的性質(zhì)2都是如此。這種證明方法的遷移,可以讓學生進一步增強類比意識。

        總之,要培養(yǎng)學生創(chuàng)新精神,教師就應該重視對學生的類比思想的培養(yǎng)。在日常教學過程中,根據(jù)教材的內(nèi)容,適時地對學生滲透類比的意識。將一些最為基礎的數(shù)學概念、公式、性質(zhì)這些學生比較熟悉的知識作為切入點,這樣學生就比較容易理解、接受和掌握。

        (上海市川沙中學)

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