詹森，王輝豐

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機科學(xué)系，廣東廣州510665；2.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南?？?71158）

構(gòu)造奇數(shù)3（2 m+1）階完美幻方的方法

詹森1，王輝豐2

（1.廣東技術(shù)師范學(xué)院計算機科學(xué)系，廣東廣州510665；2.海南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，海南?？?71158）

根據(jù)有關(guān)文獻和兩個幻方的加法，完整地解決了構(gòu)造奇數(shù)n=3（2m+1）（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的方法及其證明.并完整地解決了構(gòu)造奇數(shù)n=2m+1（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方（包括對稱完美幻方）的問題.

奇數(shù)階；完美幻方；對稱完美幻方；余函數(shù)；基方陣；轉(zhuǎn)置方陣；六步法

文[1]指出，構(gòu)造奇數(shù)n=3（2m+1）（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方一直是一個未解決的問題，文[1]解決了構(gòu)造9階（當(dāng)m=1時）完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的問題.要徹底解決這個問題比構(gòu)造其他奇數(shù)階幻方一直是更艱難的一個問題.文[2]解決了構(gòu)造3（2m+1）（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的問題，對于解決上述的難題前進了一大步.然而，對于m≠3t+1，即n=32（2t+1）（t=1，2，…）時還是沒有解決.由于2t+1可表示為2t+ 1=3k-2（2s+1），n=32（2t+1）=3k（2s+1），（k=2，3，4，…；s≠3d+1，d=0，1，2，…為自然數(shù)），可見，首先要對構(gòu)造3k階完美幻方進行討論如下.

1 構(gòu)造n=3k（k=3，4，…為自然數(shù)）階完美幻方的步驟

第一步把1～27分為9個基組，每組有3個數(shù)（稱為基數(shù)），其和均為42.這是很易辦到的，例如如下的基組：

是一種選擇.

當(dāng)n=3k（k=3，4為自然數(shù)）時，把9個基組的各個基數(shù)分別加以（t-1）×27；t=1，2，…3k-3（k=3，4，…為自然數(shù)），共得大組，每個大組有9個小組，每個小組3個基數(shù).笫t個大組，其每個小組3個基數(shù)和均為42+ 3（t-1）×27.

笫二步構(gòu)造基行1，基行2和基行3.

從每一個大組任取一個小組，3k-3個大組共取出3k-3個小組3k-2個基數(shù)，隨意置于基行1從左到右的第1+3（j-1）（j=1，2，…3k-2為自然數(shù)）個位置，這3k-2個基數(shù)的和為

從每一個大組剩下的小組中任取一個小組，3k-3個大組共取出3k-3個小組3k-2個基數(shù)，隨意置于基行1從左到右的第2+3（j-1）（j=1，2，…3k-2為自然數(shù)）個位置，這3k-2個基數(shù)的和為

從每一個大組剩下的小組中任取一個小組，3k-3個大組共取出3k-3個小組3k-2個基數(shù)，隨意置于基行1從左到右的第3+3（j-1）（j=1，2，…3k-2為自然數(shù)）個位置，這3k-2個基數(shù)的和為

至此得基行1.這樣繼續(xù)下去，以同樣的方式得到基行2和基行3.每個基行3k-1個基數(shù)的和為

笫三步構(gòu)造n=3k（k=3，4為自然數(shù)）階基方陣A

把基行1的3k-1個基數(shù)從左到右依次記作a1，，則

把基行2的3k-1個基數(shù)從左到右依次記作b1，b2，…，b3k-1，則

把基行3的3k-1個基數(shù)從左到右依次記作c1，，則

從左到右依次取a1，a2，…，an共三次作為基方陣A的第一行，第一行的元素向左順移3個位置得笫二行，第二行的元素向左順移3個位置得笫三行，依此類推直至得出笫行.

從左到右依次取c1，c2，…，共三次作為基方陣A的第行，第行的元素向左順移3個位置得笫行，第行的元素向左順移3個位置得笫行，依此類推直至得出笫行.

第四步作基方陣A的轉(zhuǎn)置方陣B.以b（i，j）記轉(zhuǎn)置方陣B位于第i行第j列的元素，有

第五步作方陣C.以c（i，j）記方陣C位于第i行第j列的元素，取

第六步基方陣A與方陣C對應(yīng)元素相加所得方陣D，就是一個n=3n=3k（k=3，4為自然數(shù)）階完美幻方（見以下定理證明）.若以d（i，j）記方陣D位于第i行第j列的元素，顯然n=3k（k=3，4為自然數(shù)）階完美幻方的6個步驟簡稱六步法.

以上構(gòu)造n=3

2 定理及證明

證明分5步證明如下

在求和過程中，-h-2是固定的，由文[3]的預(yù)備定理得

即從左上角至右下角的對角線以及每一條與其同方向的泛對角線上的元素之和都等於常數(shù)

在求和過程中，h-3是固定的，由文[3]的預(yù)備定理知

即從左下角至右上角的對角線以及每一條與其同方向的泛對角線上的元素之和都等于常數(shù)

由以上事實可見，方陣A是一個非正規(guī)完美幻方，其幻方常數(shù)為

2）顯然，基方陣的轉(zhuǎn)置方陣A亦是一個非正規(guī)完美幻方，其幻方常數(shù)為

3）由于方陣C位于第i行第j列的元素

所以方陣C是一個非正規(guī)完美幻方，其幻方常數(shù)為

4）由于方陣D是由基方陣A與方陣C對應(yīng)元素相加所得，故方陣D是一個完美幻方，其幻方常數(shù)為

5）最后我們還需證明方陣D是一個正規(guī)的完美幻方.

考察方陣D的元素，

又由于六步法第二步中從每一個大組任取一個小組，3k-3個大組共取出3k-3個小組3k-2個基數(shù)，隨意置于基行從左到右的第i+3（j-1）（i=1，2，…，3.i=1，2，…，3k-2為自然數(shù)）個位置，每一個基行有（（3k-2）!）3種選法，三個基行共有（（3k-2）!）9種選法.故六步法可得到個不同的為自然數(shù)）階正規(guī)的完美幻方.

在構(gòu)造n=3（kk=3，4為自然數(shù)）階完美幻方的步驟中，只需選取a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn使方陣A為一個對稱方陣，其他步驟不變就可構(gòu)造出n=3（kk=3，4為自然數(shù)）階對稱完美幻方，這樣實際上就是以上定理的推論（見以下推論）.

推論當(dāng)a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn的選取使方陣A為一個對稱方陣時，六步法得到的是一個n=3（kk=3，4為自然數(shù)）階正規(guī)的對稱完美幻方.

選取a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn；c1，c2，…，cn使方陣A為一個對稱方陣的方法如下：由另一種選擇把1～27分為9個基組如下

（注意，基組（2）與（1）不完全相同，而上述定理的證明與基組的選擇無關(guān)）

把基組（2）的各個基數(shù)分別加以（t-1）×27；t=1，2，…3k-3；k=3，4，…為自然數(shù)），共得3k-3大組.為確保方陣的中間一行對稱，將中間行稱為主基行I.（2）的笫二行3個基組的基數(shù)置于主基行I，笫一行3個基組的基數(shù)置于主基行II（指中間行之上一行），笫三行3個基組的基數(shù)置于主基行III（指之下一行），得

（注意，上述三行是中心對稱的）.

各主基行之基組的各個基數(shù)分別加以（t-1）×27后仍在該主基行上且相對位置不變，顯然，三個主基行仍是中心對稱的.

3 構(gòu)造奇數(shù)3（2m+1）階完美幻方的方法

文[3]給出了構(gòu)造m=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的方法，以上給出了構(gòu)造n=3（kk=3，4為自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的方法，文[1]解決了構(gòu)造9階（當(dāng)m=1時）完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的問題.在此基礎(chǔ)上，就可得到

定理2設(shè)A，B分別為3（kk=2，3，4）階，m=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方，則A⊕B為奇數(shù)3（k2m+1）（k=2，3，4）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方.

根據(jù)文[4]兩個幻方的加法知，兩個完美或?qū)ΨQ完美幻方的和（幻方）也是完美或?qū)ΨQ完美幻方.所（k=3，4為自然數(shù)）階正規(guī)的對稱完美幻方.

例構(gòu)造一個33階對稱完美幻方.

由以上主基行（3）計算得基行為

再根據(jù)以上六步法經(jīng)過6個步驟（略）可構(gòu)造出27階對稱完美幻方為以A⊕B是n=2m+1（m為m≠3t+1，t=0，1，2，…的自然數(shù)）階完美或?qū)ΨQ完美幻方.

由于n=2m+1（m=1，2，3，…）中出現(xiàn)3的倍數(shù)（即m=3t+1）時，這時，又可把n=2m+1表示3k（2m+1）的形式，再根據(jù)文[4]加法知A⊕B為奇數(shù)3k（2m+1）（k= 2，3，4）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方.

綜上可見，構(gòu)造奇數(shù)n=3（2m+1）（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的問題就從理論和實際上得到了解決，從而構(gòu)造所有奇數(shù)階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的問題也就從理論和實際上得到了解決.由此可見，以上構(gòu)造3k（k=3，4，…為自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的方法，對于解決構(gòu)造奇數(shù)n=3（2m+1）（m=1，2，…為自然數(shù)）階完美幻方或?qū)ΨQ完美幻方的難題起著決定性的作用.

[1]詹森.關(guān)于構(gòu)造k2階完美幻方的方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2012,25(2)：147-157.

[2]詹森,王輝豐.構(gòu)造3n階完美幻方的五步法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2014,27(1)：18-22.

[3]詹森,王輝豐.構(gòu)造奇數(shù)階幻方,完美幻方和對稱完美幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2011,24(3)：265-269.

[4]詹森,王輝豐.關(guān)于構(gòu)造高階幻方的新方法[J].海南師范大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版,2009,22(3)：250-254.

責(zé)任編輯：黃瀾

The Structure Method about 3（2m+1）Order Perfect Magic Square

ZHAN Sen1，WANG Huifeng2
（1.Department of Computer Science，Guangdong Technical Normal University，Guangzhou 510665，China；2.College of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou 571158，China）

By using the exisiting research results and the results in this paper,according to two magic square addition,the problem about structuring n=3（2m+1）（m=1，2，…is natural number）order perfect magic square（including symmetric per?fect magic square）was completely solved,the method and its theoretical proof was given.And the problem of structuring any odd-order perfect magic square（including symmetric perfect magic square）was also solved.

Odd-order；perfect magic square；symmetry perfect magic square；residual function；Base matrix；Transpose matrix；six footwork method

O 157.6

A 文章編號：1674-4942（2014）02-0133-05

2014-01-28