王妮娜，路洪艷，魏夢俊，徐慧，劉曉靜，張嬌嬌，胡新春

（淮北師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 淮北 235000）

利用緊束縛模型計算晶體的色散關(guān)系比較簡單，既易于計算、又便于理解，對理解不同晶格的電學(xué)性質(zhì)提供理論基礎(chǔ).隨著計算機科技的高速發(fā)展，將理論計算結(jié)果與計算機軟件結(jié)合起來，能將結(jié)果可視化，圖形化，便于建立清晰的物理圖像.因此，本文擬采用緊束縛模型計算二維正方、三角、六角格子晶體的電子色散關(guān)系，并進一步計算相應(yīng)的態(tài)密度，為理解這3種晶格的電學(xué)性質(zhì)提供一定的理論基礎(chǔ).

1 緊束縛模型求正方、三角格子色散關(guān)系和態(tài)密度

如果考慮到電子在最近鄰和次近鄰格點的跳躍，相應(yīng)的緊束縛模型哈密頓量為

式中，i為晶格上的格點，δ和δ′分別代表最近鄰和次近鄰的鍵，Ci和分別代表在i格點電子的湮滅和產(chǎn)生算符，h.c代表復(fù)共軛，t和t′分別代表電子在最近鄰和次近鄰上的跳躍積分能量，μ代表化學(xué)勢.做傅里葉變換

可得緊束縛模型的哈密頓量為：

可知，色散關(guān)系為：

本文中令最近鄰格點之間的距離a=1，對于正方格子，δ的坐標為（0，±1）和（±1，0），δ′的坐標為（±1，±1），同時考慮到正方格子原胞中每個鍵為兩個原胞所共用，所以正方格子的色散關(guān)系為：

式中的kx，ky是k在（x，y）上的分量，若只考慮電子在最近鄰格點上的跳躍，則t′=0.設(shè)μ=0，則正方格子的色散關(guān)系變?yōu)椋?/p>

可以用Matlab軟件［1］將正方格子色散關(guān)系表達式進行圖形化，結(jié)果如圖1a所示.

態(tài)密度表達式為：

式中k為第一布里淵區(qū)中的點，η為無窮小量，計算時取η=0.01.用Fortran 軟件［2］編程計算對應(yīng)的態(tài)密度，計算結(jié)果可以用Origin軟件畫圖，結(jié)果如圖1b所示.

圖1 正方格子的色散關(guān)系

由圖1a可知，色散關(guān)系圖是關(guān)于k=0 對稱，但關(guān)于E=0不對稱，能帶對應(yīng)能量的取值范圍[-4t，4t]，帶寬為8t.圖1b 為態(tài)密度曲線，態(tài)密度的峰值在E=0 處，這個峰稱為范霍夫奇異峰，態(tài)密度圖關(guān)于E=0對稱.

對于三角格子，δ的坐標為（±1，0）和δ′的坐標為借助（4）式可計算出三角格子的色散關(guān)系為

如果只考慮電子在最近鄰格點上的跳躍，則三角格子的色散關(guān)系為：

用Matlab軟件將三角格子的色散關(guān)系表達式進行圖形化，結(jié)果如圖2a所示.

同樣可以利用（7）式計算三角格子的態(tài)密度，然后用Fortran軟件進行編程計算，最后用Origin作圖，結(jié)果如圖2b所示.

圖2 三角格子的色散關(guān)系

由圖2a可知，色散關(guān)系圖是關(guān)于k=0 對稱，但關(guān)于E=0不對稱，能帶對應(yīng)的能量取值范圍是［-6 t，3 t］，帶寬為9 t.圖2b為態(tài)密度曲線，態(tài)密度的峰值在E=2 t處，這個峰也是范霍夫奇異峰，且態(tài)密度圖不關(guān)于E=0對稱.

2 緊束縛模型求解六角格子的色散關(guān)系和態(tài)密度

對于六角格子，現(xiàn)以石墨烯為例.石墨烯（Graphene）是由碳原子以sp2雜化形成的二維六角蜂窩狀結(jié)構(gòu)［3］，理論上認為石墨烯不可能二維存在.2004年，英國曼徹斯特大學(xué)的Geim首先用微機械剝離法制備出了石墨烯［4］，并于2010年獲得諾貝爾物理學(xué)獎，引起人們的廣泛關(guān)注.不再像前面所講的正方、三角格子是簡單格子，六角格子是由A、B兩套子格套構(gòu)而成的復(fù)式格子.對應(yīng)的緊束縛模型哈密頓量為：

式中，i和j分別代表六角格子中最近鄰和次近鄰的格點，ai和分別代表在a子格i格點電子的湮滅和產(chǎn)生算符，bj和分別代表在b子格j格點電子的湮滅和產(chǎn)生算符.做傅里葉變換，可得緊束縛模型的哈密頓量為：

可令上式中

對于六角格子，上式中δ的坐標為（0，-1）和則：

按照（12）式替換后，哈密頓量（11）式可以化簡成：

可以進一步寫成矩陣形式，即

色散關(guān)系可通過下式得到：

求行列式，可得

把（13）-（15）式帶入（19）式可得六角格子的色散關(guān)系為

若只考慮電子在最近鄰格點上的跳躍，色散關(guān)系為：

以上結(jié)果是從二次量子化后的哈密頓量得到的，與從波函數(shù)角度出發(fā)理論計算的結(jié)果［5］一致.若同時考慮電子在次近鄰格點上的跳躍，則（20）式中的t′=0.2t［6］.同時，我們在計算中都設(shè)μ=0.

用Matlab軟件將六角格子的色散關(guān)系表達式進行圖形化，只考慮電子在最近鄰格點上的跳躍和考慮到電子在次近鄰格點上的跳躍的色散關(guān)系結(jié)果分別如圖3a和3b所示.

六角格子的態(tài)密度表達式為：

式（22）中ε1和ε2分別對應(yīng)于（20）式中εk取正號和負號的值，按照（22）式，用Fortran軟件編程計算對應(yīng)的態(tài)密度，然后用Origin作圖，結(jié)果如圖3c和圖3d所示.

圖3 六角格子的色散關(guān)系

由圖3a可知，只考慮電子在最近鄰格點上跳躍，上、下兩帶是對稱的，相交于第一布里淵區(qū)的6個頂點，也被稱為Dirac點.Dirac點附近能帶具有線性色散關(guān)系.能帶對應(yīng)能量的取值范圍為［-3 t，3 t］，帶寬為6 t.費米面剛好處于價帶和導(dǎo)帶相交的頂點處，可知，石墨烯是帶隙為零的半導(dǎo)體.由圖3c可以看出，在Dirac點附近，態(tài)密度具有線性關(guān)系，而且態(tài)密度關(guān)于E=0對稱.如果考慮到電子在次近鄰格點上的跳躍，由圖3b可知，上、下兩帶是不對稱的，這是因為電子-空穴對稱性被破壞.能帶對應(yīng)能量的取值范圍為［-4.2 t，1.85 t］，帶寬為6.05 t.由圖3d可以看出，價帶和導(dǎo)帶的態(tài)密度也不再關(guān)于Dirac 點對稱.這些結(jié)果與文獻中的一致［7，8］.

3 結(jié)論

本文詳細介紹了利用緊束縛模型求解二維正方、三角、六角格子的色散關(guān)系和態(tài)密度.然后根據(jù)色散關(guān)系和態(tài)密度的表達式，用Matlab 軟件并借助Fortran 軟件編程，作出了色散關(guān)系圖和態(tài)密度圖，可以更容易建立清晰的物理圖像.對結(jié)果進行了分析和討論，這些結(jié)果對理解不同晶格的電學(xué)性質(zhì)提供了理論基礎(chǔ).

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