陳 偉，易志俊，丁益民

(湖北大學(xué)，湖北 武漢 430062)

電場(chǎng)線和等勢(shì)面是描述電場(chǎng)性質(zhì)的重要的物理量，在物理教學(xué)中，通常需要繪制點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線和等勢(shì)面，因此研究用計(jì)算機(jī)繪制電場(chǎng)線和等勢(shì)面具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。Matlab是一種廣泛應(yīng)用于科研、工程計(jì)算和數(shù)值分析的高級(jí)語(yǔ)言，它以矩陣為基本的數(shù)據(jù)操作對(duì)象，進(jìn)行高性能的數(shù)值計(jì)算和符號(hào)計(jì)算，并擁有強(qiáng)大的繪圖功能。在物理仿真中具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

近年來許多老師對(duì)用Matlab模擬點(diǎn)電荷電場(chǎng)進(jìn)行了研究。莫照等人通過數(shù)學(xué)建模的過程，將物理問題變成了數(shù)學(xué)問題，進(jìn)而用Matlab模擬了雙“點(diǎn)電荷”的電場(chǎng)和等位線［1］;王明美也通過Matlab模擬了兩個(gè)點(diǎn)電荷體系的電場(chǎng)線和等勢(shì)線［2-3］;向羅杰等人結(jié)合電場(chǎng)方程和泰勒展開式，分析電場(chǎng)線的性質(zhì)，利用Mathematica模擬了共線的三個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng)線的分布［4］。

本文首先計(jì)算出點(diǎn)電荷系在平面某點(diǎn)的電勢(shì)疊加，利用Matlab的命令繪出等勢(shì)面，然后結(jié)合電場(chǎng)線和等勢(shì)面的垂直關(guān)系，繪出電場(chǎng)線。這里對(duì)點(diǎn)電荷的分布以及電荷量沒有特殊要求，由用戶自己根據(jù)實(shí)際需要在一定范圍內(nèi)輸入點(diǎn)電荷系的位置和電荷量，即可顯示出其電場(chǎng)線和等勢(shì)面，具有良好的普遍性和交互性，便于學(xué)生對(duì)點(diǎn)電荷系電場(chǎng)的規(guī)律進(jìn)行探究式的學(xué)習(xí)。

1 基本原理

若平面真空中存在若干點(diǎn)電荷，記為Q1、Q2、Q3……Qn，根據(jù)電勢(shì)的疊加原理，可得這個(gè)點(diǎn)電荷系所激發(fā)的電場(chǎng)中某點(diǎn)p的電勢(shì)為

式中:ri為點(diǎn)電荷Qi到 p點(diǎn)的距離［5］。

建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，Qi所在位置的坐標(biāo)為(xi，yi)，對(duì)于某一確定的p點(diǎn)，可令Up=c，c為某一定值，那么(1)式可改寫為

實(shí)際上，滿足(2)式的p點(diǎn)不止一個(gè)，因此方程是點(diǎn)電荷系產(chǎn)生電場(chǎng)中電勢(shì)恒為c的一個(gè)等勢(shì)面方程［6］。如果c取不同的值，可以得出不同的等勢(shì)面。根據(jù)等勢(shì)面的畫法要求，一般按等差數(shù)列的變化對(duì)c取值，并由(2)式得到一系列的等勢(shì)面方程［7］。

結(jié)合等勢(shì)面方程，用Matlab編寫程序繪出等勢(shì)面，再根據(jù)電場(chǎng)線垂直于等勢(shì)面，對(duì)電勢(shì)求梯度，即可描繪出電場(chǎng)線。

2 程序設(shè)計(jì)

以三個(gè)點(diǎn)電荷為例，電荷量分別為 Q1、Q2、Q3，對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為(x1，y1)、(x2，y2)、(x3，y3)，于是，由(2)式得到某一點(diǎn)p(x，y)的電勢(shì)為

主要思路如下:

(1)按提示依次輸入三個(gè)點(diǎn)電荷的位置及電荷量，以電荷1為例:

disp('對(duì)電荷1');

rc1=input('輸入電荷1位置［x，y］');

x1=rc1(1);

y1=rc1(2);

q1=input('輸入電荷量(庫(kù)倫):');

(2)利用(3)式計(jì)算出這三個(gè)點(diǎn)電荷在某點(diǎn)p(x，y)的電勢(shì)疊加，并運(yùn)用Matlab的繪圖命令contour繪出若干個(gè)等勢(shì)面［7］。主要代碼如下:

%計(jì)算出三個(gè)電荷在p點(diǎn)的合電勢(shì)

%設(shè)置電勢(shì)的等差數(shù)列

%繪制等勢(shì)面

(3)繪制電場(chǎng)線，首先找個(gè)起點(diǎn)，計(jì)算出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)電場(chǎng)線和等勢(shì)面的垂直關(guān)系，利用命令 streamline繪出電場(chǎng)線［8］。主要代碼如下:

%對(duì)電勢(shì)求梯度

%設(shè)置第一個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng)線角度間隔

%電場(chǎng)線的角度范圍

r0=0．1;%電場(chǎng)線起點(diǎn)半徑

x1=r0*cos(th1)+x1;%電場(chǎng)線起點(diǎn)橫坐標(biāo)

y1=r0*sin(th1)+y1;%電場(chǎng)線起點(diǎn)縱坐標(biāo)

streamline(X，Y，Ex，Ey，x1，y1);%畫電場(chǎng)線

該設(shè)計(jì)思路簡(jiǎn)潔，邏輯清晰。用戶還可以改變電荷的位置和電荷量，從而對(duì)電場(chǎng)線和等勢(shì)面進(jìn)行對(duì)比和分析。

3 模擬結(jié)果及分析

3．1 三個(gè)等量、同號(hào)點(diǎn)電荷等勢(shì)面及電場(chǎng)線的模擬

圖1 同號(hào)、等量點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線

從圖1中可以看出電場(chǎng)線不相交，開始時(shí)三個(gè)點(diǎn)電荷下面的電場(chǎng)線和等勢(shì)面比較密集，但由于下面兩個(gè)電荷的靠近以及與上面電荷的遠(yuǎn)離，下面變的稀疏，而上面的變得密集了。

3．2 三個(gè)同號(hào)、不等量點(diǎn)電荷等勢(shì)面及電場(chǎng)線的模擬

圖2 同號(hào)、不等量點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線

由于上面點(diǎn)電荷電荷量的增加，其周圍的電場(chǎng)線變的密集。

3．3 三個(gè)等量、異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線的模擬

圖3 等量、異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線

從圖3中看到，電場(chǎng)線從正電荷出發(fā)，到負(fù)電荷終止，而且由于電荷位置的調(diào)整，上面負(fù)電荷的電場(chǎng)線重新分布，變得下密上疏。

3．4 三個(gè)不等量、異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線的模擬

圖4 不等量、異號(hào)點(diǎn)電荷的等勢(shì)面及電場(chǎng)線

由于上面的點(diǎn)電荷電量增加，其電場(chǎng)線變多，而且靠近正負(fù)電荷中間位置的電場(chǎng)線密集，而遠(yuǎn)離中間位置的稀疏。

總之，從以上四種情況的圖中我們可以知道，電場(chǎng)線和等勢(shì)面是通過模擬來反應(yīng)電荷性質(zhì)的，電荷量大的電荷周圍的電場(chǎng)線和等勢(shì)線密集，而電荷量小的電荷周圍的稀疏;同種點(diǎn)電荷之間的電場(chǎng)線和等勢(shì)線稀疏，而異種點(diǎn)電荷之間的密集;同種點(diǎn)電荷距離較近時(shí)電場(chǎng)線和等勢(shì)線稀疏，而異種點(diǎn)電荷距離較近時(shí)電場(chǎng)線和等勢(shì)線密集［9］。這些與實(shí)際情況相符，所以模擬效果明顯。

4 結(jié) 論

本文用Matlab模擬了三個(gè)點(diǎn)電荷電場(chǎng)線和等勢(shì)面，并通過改變它們的位置及電荷量，分析比較了不同情況下的分布情況，具有簡(jiǎn)單和清晰的特點(diǎn)，并且具有較好的普適性和交互性。該模擬程序不僅能在物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)中起到很好的演示作用，通過調(diào)整輸入的參量，還可觀察多種情況下點(diǎn)電荷系的電場(chǎng)線與等勢(shì)面，便于學(xué)生進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。同時(shí)它還可使教學(xué)過程更生動(dòng)和形象，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

［1］ 莫照，胡奇光．用MATLAB模擬雙“點(diǎn)電荷”的電場(chǎng)和等位線［J］．電腦學(xué)習(xí)，2007(2)．

［2］ 王明美．一對(duì)點(diǎn)電荷電場(chǎng)的 MATLAB模擬實(shí)驗(yàn)［J］．合肥師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2012(3)．

［3］ 劉雅彬，魯曉東．MATLAB對(duì)靜電場(chǎng)等勢(shì)線的最小二乘描繪［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2013，2(26):82-84．

［4］ 向羅杰，王慧，趙釗．平面點(diǎn)電荷體系的電場(chǎng)線模擬［J］．實(shí)驗(yàn)科學(xué)與技術(shù)，2010(6)．

［5］ 丁益民，徐揚(yáng)子．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)［M］．北京:科學(xué)出版社．2008．

［6］ 張毅，丁益民．基于Visua C++的非線性電路實(shí)驗(yàn)?zāi)M［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2010(3)．

［7］ 王靜，王亞芳，董愛國(guó)，等．利用Matlab模擬靜電場(chǎng)的分布［J］．科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，2012(17)．

［8］ 陳宗文，魏秀芳，雒向東．用MATLAB解決電磁學(xué)中的靜電場(chǎng)問題［J］．無(wú)線互聯(lián)科技，2012(12)．

［9］ 周江，黃剛，莫濟(jì)成，等．長(zhǎng)直平行帶電體靜電場(chǎng)的MATLAB 模擬［J］．科技信息，2009(7)．

［10］江略，丁益民．基于OpenGL的三維電場(chǎng)線模擬［J］．大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)，2011(5)．