方曉懿，薛濱杰

(成都理工大學(xué)，四川成都 610059)

最小二乘法擬合直線是物理實(shí)驗(yàn)中的常用數(shù)據(jù)處理方法，一般用計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)處理軟件準(zhǔn)確求出直線回歸方程系數(shù)、相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差以及不確定度等。教學(xué)中也常用用作圖法畫出直線并求出直線方程系數(shù)，優(yōu)點(diǎn)是直觀方便，但現(xiàn)行教材中大多沒有給出其標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)的計(jì)算方法。本文以銅-康銅熱電偶的溫差電動(dòng)勢E測量為例，根據(jù)最小二乘法原理作回歸直線，根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差的概念作標(biāo)準(zhǔn)差平行四邊形，計(jì)算直線回歸方程標(biāo)準(zhǔn)差和相關(guān)系數(shù)［1-2］。

1 用最小二乘法進(jìn)行線性回歸

假定變量x和y的關(guān)系是線性的，且y方向的誤差遠(yuǎn)大于x方向的誤差，對測得的一組數(shù)據(jù)xi，yi(i=1，2，…，k)，用最小二乘法進(jìn)行線性回歸，可得直線的回歸方程［3］

斜率為

截距為

其中，

同樣，令

定義相關(guān)系數(shù)為

yi的剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差差s為

斜率a1和截距a0的標(biāo)準(zhǔn)差分別為為

或

用Excel中的回歸方法可計(jì)算出回歸方程、相關(guān)系數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差及不確定度［4-5］。

2 用作圖法研究一元線性回歸方程

2．1 作回歸直線和標(biāo)準(zhǔn)差差平行四邊形

如圖所示，在xoy平面上根據(jù)(xi，yi)描點(diǎn)，作直線a0b．根據(jù)最小二乘法，作出的直線a0b應(yīng)使為最?。渲衴i和y分別為x=xi時(shí)的數(shù)據(jù)點(diǎn)和回歸直線a0b在y方向的值．顯然εi=yi－y等于數(shù)據(jù)點(diǎn)在y方向上離開a0b的距離．要使為最小，就要使以εi為邊長的正方形面積之和為最?。@樣，作a0b時(shí)，應(yīng)使數(shù)據(jù)點(diǎn)盡可能地靠近a0b，并且在a0b兩側(cè)的數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)量大致相等，見圖1。

圖1 回歸直線和標(biāo)準(zhǔn)差平行四邊形圖

作兩條與a0b平行且等距的直線，使它們包含的數(shù)據(jù)點(diǎn)，剩余的點(diǎn)比較均勻地分布在兩條平行線外．這兩條平行線的方程為

這樣，在出現(xiàn)的(xi，yi)全部數(shù)據(jù)中，約有67% 的點(diǎn)落在這兩條直線之間的范圍內(nèi)［1］．

作cdef的對角線cf和ed，并延長，使之與y軸相交于m和n點(diǎn)．cf、de和a0b三條線的交點(diǎn)為平均值點(diǎn)。

2．2 求 sa1和 sa0

由式(5)、(9)和(12)有

將式(12)代入式(5)可得

這樣式(11)變?yōu)?/p>

令，式(14)可寫成

當(dāng)測量次數(shù)k較大時(shí)，近似地有

從圖1中求出s、sx和xˉ便可計(jì)算sa1和sa0。

2．3 求相關(guān)系數(shù)γ

由(10)式得

將(13)式代入，得

令k－2=g，式(18)可寫成

k－1

由1圖可知，cf和ed的斜率分別為

由此求出

這樣有

再從圖1中可知

當(dāng)測量次數(shù)k較大時(shí)，近似地有

3 舉 例

測得某銅-康銅熱電偶的溫差電動(dòng)勢E與溫度t的對應(yīng)數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 某銅-康銅熱電偶的溫差電動(dòng)勢E與溫度t的對應(yīng)關(guān)系

按表1數(shù)據(jù)作回歸直線，并作偏差平行四邊形及對角線，如圖1所示。

從圖中可得

表2是用Excel中的回歸方法和作圖法求這例線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較。

表2 計(jì)算法和作圖法線性回歸方程的數(shù)據(jù)比較

作圖法與Excel的數(shù)據(jù)一致，作圖法的誤差主要是作圖時(shí)代入的，它因人不同而不同．作圖法中，回歸方程的系數(shù)a0和a1、相關(guān)系數(shù)γ和剩余標(biāo)準(zhǔn)誤差差s的誤差不大，系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差sa0和sa1的誤差較大，可能與作圖及誤差傳遞有關(guān)。

4 結(jié) 論

作圖法求解一元線性回歸方程概念清楚，圖像直觀，教學(xué)中有助于訓(xùn)練作圖法處理物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，更重要的是加深對線性回歸方程中最小二乘法、相關(guān)系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的理解。

［1］ 呂斯驊，段家怟．新編基礎(chǔ)物理實(shí)驗(yàn)［M］．北京:高等教育出版社，2006．

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