邵 藝

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009）

anghenjing變量關(guān)系圖在多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

邵 藝

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637009）

利用變量關(guān)系圖直觀反映多元復(fù)合函數(shù)中各變量之間的關(guān)系，給出了變量關(guān)系圖的使用方法，并結(jié)合實例加以說明，使多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)變得簡單明了.

變量關(guān)系圖；多元復(fù)合函數(shù)；導(dǎo)數(shù)

0 引言

多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)是微積分的重點和難點，如何突出重點，突破難點，在文獻(xiàn)［1］中做了一定的介紹；對多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的方法而言，很多文獻(xiàn)也對此做了一定的介紹，如文獻(xiàn)［2］［3］中直接利用鏈?zhǔn)椒▌t寫出微分表達(dá)式，這種方法理論性太強，不直觀，在實際應(yīng)用中有一定難度；文獻(xiàn)［4］、［5］、［6］中分別采用“樹狀圖”、“網(wǎng)狀圖”、“路徑圖”來表示函數(shù)各變量間的關(guān)系，再用鏈?zhǔn)椒▌t寫出微分表達(dá)式，雖然借助“圖形”反映出了變量的關(guān)系，但各變量之間缺乏方向感，容易弄混淆.為此，找到一種形象的、易于理解掌握的、使用方便的且能夠適應(yīng)所有多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)情形的方法就顯得尤其重要.變量關(guān)系圖就是能夠達(dá)到以上要求的用于解決多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的一種非常好的方法.本文將結(jié)合筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗，將變量關(guān)系圖的使用方法進(jìn)行梳理、總結(jié)和改進(jìn)，并加以具體的應(yīng)用.

1 變量關(guān)系圖的使用方法及實例分析

1.1 變量關(guān)系圖的使用方法

（1）描點：將所有涉及到的變量用點表示；

（2）連線：將每層函數(shù)的因變量和自變量所表示的點用有向線段連接，方向為因變量指向自變量；

（3）定量：即確定最終的自變量，無有向線段指出去的變量即為最終自變量；

（4）定項：即確定最終自變量偏導(dǎo)（或?qū)?shù)）的項數(shù)，對最終自變量求偏導(dǎo)（或?qū)?shù)）的項數(shù)由指向該最終自變量的有向線段的條數(shù)決定，每項的具體形式由到達(dá)該自變量的路徑?jīng)Q定.

1.2 變量關(guān)系圖的實例分析

情形Ⅰ 函數(shù)關(guān)系為：z＝f（u，v），u＝φ（x，y），v＝ψ（x，y）的情形.

變量關(guān)系圖如圖1，由圖可知：

圖1

①x，y兩變量處無有向線段出去，x，y為最終自變量；

②變量x處有兩條有向線段進(jìn)來，分別通過u和v，所以對x求偏導(dǎo)有兩項；同理對y求偏導(dǎo)也有兩項.于是有

例1 求z＝（x2+y2）xy的偏導(dǎo)數(shù).

解：令u＝x2+y2，v＝xy，則z＝uv，變量關(guān)系圖如圖1，則

情形Ⅱ 函數(shù)關(guān)系為：z＝f（u，v），u＝ φ（x），v＝ψ（x）的情形.變量關(guān)系圖如圖2，由圖可知：

圖2

①變量x處無有向線段出去，x為最終自變量；

②變量x處有兩條有向線段進(jìn)來，分別通過u和v，所以對x求導(dǎo)有兩項.于是有

例2 已知z＝u2—v2，u＝sinx，v＝cosx，求.

解：變量關(guān)系圖如圖2，則

情形Ⅲ 函數(shù)關(guān)系為：z＝f（u），u＝φ（x，y）的情形.

變量關(guān)系圖如圖3，由圖可知：

圖3

①變量x，y兩處無有向線段出去，x，y為最終自變量；

②變量x處有一條有向線段進(jìn)來，通過u，所以對x求偏導(dǎo)有一項；同理對y求偏導(dǎo)也有一項.于是有

解：變量關(guān)系圖如圖3，則

Ⅳ其它情形 由于情形多樣，不便于歸納總結(jié)，僅以實例加以說明.

例4 已知u＝ln（ex+ey），y＝x3，求

圖4

分析：變量關(guān)系圖如圖4，由圖可知，變量x處有兩條有向線段進(jìn)來，分別由u經(jīng)過v進(jìn)來和由u經(jīng)過v再經(jīng)過y進(jìn)來，所以對x求導(dǎo)有兩項.

解：令v＝ex+ey，則u＝lnv，

例5 設(shè)u＝f（x，y，z），z＝φ（x，y），求u＝ f［x，y.φ（x，y）］的偏導(dǎo)數(shù)（）和（）.yx

圖5

分析：變量關(guān)系圖如圖5，由圖可知，變量x處有兩條有向線段進(jìn)來，分別通過u直接進(jìn)來和由u經(jīng)過z進(jìn)來，所以對x求偏導(dǎo)有兩項；同理對y求偏導(dǎo)也有兩項.

［1］陳順請.數(shù)學(xué)分析教學(xué)改革談——省級精品課程《數(shù)學(xué)分析》建設(shè)探討［J］.四川文理學(xué)院學(xué)報，2009（2）：73—76.

［2］同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2007：76—79.

［3］四川大學(xué)數(shù)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)：第二冊·物理類專用［M］.北京：高等教育出版社，2009：95—97.

［4］華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：下冊［M］.北京：高等教育出版社，2010：126—128.

［5］張錦炎，周建塋.高等數(shù)學(xué)·生化醫(yī)農(nóng)類：下冊［M］.北京：北京大學(xué)出版社，2002：32—35.

［6］余海燕.多元函數(shù)求導(dǎo)的圖示教學(xué)法探討［J］.九江學(xué)院學(xué)報，2011（1）：122—123.

［責(zé)任編輯 范 藻］

Figure Variables Used in Derivation of Complex multi—function

SHAO Yi

（Mathematics andInformation College of China West Normal University，Nanchong Sichuan 637009，China）

The paper uses figure variables reflect the relationship between variables in the multivariate composite function intuitively，gives the using method of figure variable，illustrates with examples and makes the derivation of multiple com—posite function become straightforward.

Variables figure；complex multi—function；derivation

O174.56

A

1674—5248（2014）05—0022—03

2014—04—26

邵藝（1982—），女，上海人，講師，主要從事灰色系統(tǒng)理論研究及高等數(shù)學(xué)教學(xué)與科研.