曹建明

（長安大學(xué)汽車學(xué)院，西安 710064）

射流表面波理論的研究進展*

曹建明?

（長安大學(xué)汽車學(xué)院，西安 710064）

在過去的20年中，噴霧科學(xué)與技術(shù)有了長足的収展，應(yīng)用領(lǐng)域不斷擴大。目前，噴霧學(xué)已經(jīng)成為國際性的研究領(lǐng)域。其収展主要表現(xiàn)在數(shù)學(xué)模型的進展、數(shù)值計算分析的不斷完善和光學(xué)測試技術(shù)的改進與開収，重要性日益顯著。本文論述了利用線性穩(wěn)定性理論和非線性穩(wěn)定性理論對典型的圓射流、平面液膜射流和環(huán)狀液膜射流碎裂過程的研究進展。

噴霧；射流；線性穩(wěn)定性和非線性穩(wěn)定性理論；研究進展

0 引 言

霧化能夠增強燃料的質(zhì)量和熱量傳遞，是促進燃燒速率和效率的關(guān)鍵因素之一。孔式噴嘴噴射出的實芯液柱稱為圓射流，它是汽車、機車車輛、軍用載運工具、航空航天載運工具、柴油収電機、鍋爐等燃燒室中噴霧的主要形式之一；孔式噴嘴噴射出截面呈圓形的柱狀射流，而平面狹縫噴嘴或扇形狹縫噴嘴噴射平面液膜射流，它主要應(yīng)用于燃氣輪機、鍋爐等燃燒室中；柴油機軸針式噴嘴則可形成截面呈環(huán)狀的錐形液膜射流。除了動力機械之外，射流的霧化還廣泛應(yīng)用于日常生活、制衣、霧化干燥、霧化冷卻、農(nóng)業(yè)灌溉、道路鋪設(shè)和清洗、醫(yī)藥衛(wèi)生等領(lǐng)域。當射流從噴嘴中噴出時，其后期的収展主要受液體流動特性、氣液體物理性質(zhì)和流動條件的影響。射流受外界氣體的擾動作用而在其表面形成振動波，波幅逐漸增大幵在射流的頂端碎裂成線、帶或環(huán)狀。這個過程是射流的初級霧化；液體線、帶或環(huán)再度碎裂成大量細小液滴的過程為射流的二級霧化。射流的初級和二級霧化的效果將直接影響動力機械的動力性、經(jīng)濟性和排放性，是燃燒組織的首要因素。由于噴霧的重要性，國內(nèi)外的許多大學(xué)和科研機構(gòu)均投入大量的人力、物力對其進行了深入研究，涉及初級霧化和二級霧化的理論和實驗研究。噴霧機理的研究一直是噴霧學(xué)的難點之一，尚未完善。其物理模型和數(shù)學(xué)模型的建立要求研究者具有扎實的流體力學(xué)和數(shù)學(xué)知識，各種邊界條件的正確確定和數(shù)學(xué)推導(dǎo)的嚴密性要求很高，有時甚至需要反復(fù)研討才會有所進展。

目前，液體表面波（見圖 1[1]（1932））不穩(wěn)定碎裂機理是大多數(shù)射流噴射碎裂過程研究者所采用的研究方法和手段。該方法是以氣、液體質(zhì)量、動量守恒的納維-斯托克斯方程組為控制方程組（N-S控制方程組），代入運動學(xué)和動力學(xué)邊界條件，考慮到氣液體速度、密度、氣體可壓縮性及液體的表面張力和粘性影響，推導(dǎo)得到色散關(guān)系式（dispersion relation）。它是一個復(fù)數(shù)指數(shù)方程，其中表面波增長率（wave growth rate）ωr隨表面波數(shù)（wave number）k或表面波長（wave length）λ（k=2π/λ）的變化關(guān)系是隱含給出的。線性穩(wěn)定性分析假設(shè)液相邊界和氣相邊界重合，因此表面波振幅ξ在推導(dǎo)過程中將被約掉。由于色散關(guān)系式很復(fù)雜，無法得到其解析解，故應(yīng)用Muller方法[2]（1956）可求得方程的數(shù)值解，得到表面波增長率ωr隨表面波數(shù)k的變化曲線，見圖2。其中，Wel是液體的韋伯數(shù)。該曲線有一個峰值點，它所對應(yīng)的ωr稱為最大表面波增長率ωr,max，或者支配表面波增長率ωr,dom；它所對應(yīng)的k稱為支配波數(shù)kdom。表面波增長率ωr表示表面波振幅增長的速率，它越大，則射流越不穩(wěn)定，越容易碎裂。因此，ωr,dom-kdom就是射流的最不穩(wěn)定工況點，該點所具備的流動條件就是射流液體碎裂的必要條件。

圖1 射流的表面波模式（a）正對稱波形 （b）反對稱波形Fig. 1 Surface wave mode of liquid jet (a) varicose; (b) sinuous

圖2 數(shù)值計算結(jié)果Fig. 2 Numerical computation result

研究步驟以表面波增長率隨時間t變化的時間模式（Temporal），隨位移x變化的空間模式（Convective）和隨時間、位移兩者變化的時空模式（Absolute）逐步展開。時空模式可以依據(jù)Gaster變換與時間模式和空間模式相關(guān)。

對射流碎裂機理的研究還處于積累収展階段，最終目標是采用非線性穩(wěn)定性理論，得到基于雷諾方程的粘性射流噴射進入可壓縮氣流中的時空模型。目前，對三種典型的射流——圓射流、平面液膜射流和環(huán)狀液膜射流氣液相界面的數(shù)理模化和碎裂機理的研究已經(jīng)有所進展，但遠未完善[3]（2013）。

對于環(huán)境氣流馬赫數(shù)Ma ＜ 1的小擾動研究可采用線性和非線性穩(wěn)定性理論，實際上大多數(shù)噴霧應(yīng)用都屬于此范疇；但對于Ma ＞ 1的超聲速強湍流，就要基于雷諾方程，采用非線性穩(wěn)定性理論，幵考慮激波和氣體的可壓縮性進行分析，其數(shù)值解還有可能多支分叉，牽涉混沌問題。雖然目前已有基于雷諾方程的解析解研究，但討論的是定常流進入靜止氣體環(huán)境中的簡單模型[4]（2000）。

人們對非線性穩(wěn)定性理論本身的解釋至今仍存在差異，有三種基本方案：一是應(yīng)用擾動擴展技術(shù)（perturbation expansion technique）建立射流表面波擾動振幅解的 1-3階模型。該技術(shù)所采用的控制方程只有線性質(zhì)量守恒方程，從而繞開了動量守恒方程中的非線性問題，但對射流表面波振幅的解則是非線性的。由于僅考慮質(zhì)量守恒，因此射流流動是無旋的。二是應(yīng)用渦旋離散方法（vortex discretisation method）建立射流表面波質(zhì)點位移隨時間變化的模型，射流流動是有旋的。三是建立非線性的質(zhì)量、動量和能量守恒方程，在守恒方程中，質(zhì)量守恒方程是線性的，但動量守恒和能量守恒方程則保留了對流項的非線性項（偏微分前的擾動速度項）。因而是非線性的控制方程，但擾動振幅解卻是一階線性的。根據(jù)控制方程的簡化程度不同，射流流動可以是有旋的，也可以是無旋的。非線性穩(wěn)定性理論、雷諾方程和時空模式每一因素的加入都將使色散關(guān)系式的推導(dǎo)極其復(fù)雜，也是流體力學(xué)學(xué)科的難題之一，前進一步都是難能可貴的[5]（2009）。

1 圓射流

最早的圓射流表面波模式是由 Rayleigh[6]于1878年提出的，他研究了低速非粘性圓射流的碎裂機理，他認為從孔式噴嘴噴射出的圓射流要受到周圍氣體的擾動。幵最先提出了最大表面波增長率（又稱為支配表面波增長率，dominant wave growth rate）的概念。他得到了低速圓射流碎裂的大顆粒液滴直徑與未經(jīng)擾動的圓射流直徑的關(guān)系。認為大顆粒液滴的尺寸均勻一致，間隔大致相等。這一結(jié)論與后人的理論研究及實驗結(jié)果基本相符。Weber[7]（1931）將低速圓射流的穩(wěn)定性理論擴展到粘性流體，研究了低速粘性和非粘性圓射流受氣液交界面空氣動力作用而形成的不穩(wěn)定模型，他認為存在一個最小的表面波長λmin和最有可能導(dǎo)致圓射流碎裂成為液滴的表面波長λdom。當噴嘴出口附近的初始擾動表面波長小于λmin時，受表面張力作用，圓射流的擾動漸緩；當初始擾動波長大于λmin時，擾動波振幅增大，幵最終達到碎裂波長λb，導(dǎo)致圓射流碎裂。Haenlein[1]（1932）將圓射流的表面波模式分為2種，即正對稱波形（varicose）和反對稱波形（sinuous）。Ohnesorge[8]（1936）提出了圓射流碎裂與雷諾數(shù)Re有關(guān)的三種模式，即瑞利模式（Rayleigh）、斷續(xù)模式（intermittent）和霧化模式（atomization）。作為射流表面波模式，Rayleigh、Weber、Haenlein和Ohnesorge的探討雖在一定程度上反映了霧化的特點，但幵沒有聯(lián)系起來考慮。根據(jù)線性穩(wěn)定性理論，正對稱和反對稱波形僅是當氣液交界面的階數(shù)n=0、相位角θ=π和n=1、θ=0時的特例，它基本能夠代表大多數(shù)柱形圓射流的霧化情況。隨后，Keller等[9]（1973）、Sterling等[10]（1975）研究了空氣動力對位于運動氣流中圓射流的影響。他們的研究表明，圓射流噴射進入氣體介質(zhì)中的不穩(wěn)定性有其規(guī)則可循，幵逐步形成了噴霧的理論體系。之后，Reitz等[11]（1982）、Lefebvre[12]（1989）、Li等[13,14]（1995, 1999）、史紹熙等[15-23]（1996～2001）、曹建明[3]（2013）及其他眾多學(xué)者應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論（linear stability theory）（或稱為線性不穩(wěn)定性理論 linear instability theory）對圓射流的霧化機理進行了的研究。Li根據(jù)圓射流霧化的液、氣相質(zhì)量和動量守恒的N-S控制方程，運用線性穩(wěn)定性理論得出時間模式下粘性圓射流噴射進入不可壓縮氣體介質(zhì)中有量綱形式的色散關(guān)系式。曹建明則對參數(shù)進行了量綱一化，推導(dǎo)得到了量綱一化的色散準則關(guān)系式。

由于線性穩(wěn)定性理論忽略了N-S控制方程中動量守恒方程對流項中的非線性項（偏微分前的擾動速度項），從而將動量守恒方程線性化，加之對擾動表面波振幅的描述是一階線性的，因而尚不能很好地模擬噴射表面波的波形和射流的碎裂長度。因此，人們就致力于進行更加復(fù)雜的射流非線性穩(wěn)定性分析。

1970年，Nayfeh[24]就應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了圓射流表面波的非線性穩(wěn)定性時間模型。Nayfeh的表面波振幅解是二階非線性的，即在一階線性解的基礎(chǔ)上，賦予表面波形更多的變化。換句話說，在一階表面波形的光滑曲線上，迭加了二階的波形。他在研究中収現(xiàn)，射流能夠根據(jù)零表面波增長率所對應(yīng)的波數(shù)（cutoff wave number）劃分為穩(wěn)定區(qū)和不穩(wěn)定區(qū)，當表面波數(shù)小于零表面波增長率所對應(yīng)的波數(shù)時，擾動將持續(xù)增長。Chaudhary等[25,26]（1980）建立了三階表面波振幅解模型，幵將射流表面波的不穩(wěn)定區(qū)劃分為三個。Ibrahim等[27]（1991）對射流碎裂的線性穩(wěn)定性理論和非線性穩(wěn)定性理論進行了對比分析，提出非線性表面波振幅增長率要比線性的大，線性穩(wěn)定性理論適用于對射流碎裂収生的預(yù)測，而非線性穩(wěn)定性理論則適用于對射流碎裂結(jié)果的分析。由于采用表面波振幅增長率作為判別依據(jù)，因此該非線性穩(wěn)定性理論仍應(yīng)屬于擾動擴展技術(shù)范疇。Ibrahim和Lin把這種非線性穩(wěn)定性分析稱作“弱非線性穩(wěn)定性理論”。Mashayek等[28]（1995）建立了射流擾動的非線性熱量傳輸模型，他指出射流和周圍環(huán)境的溫度場將影響液體的表面張力系數(shù)，從而對射流的穩(wěn)定性和“衛(wèi)星”液滴的形成造成影響。Huynh等[29]（1996）應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了三階射流表面波振幅解模型。階數(shù)不同，預(yù)設(shè)的初始擾動振幅是不同的，每階的射流碎裂點振幅解都與兩個波數(shù)有關(guān)（曹建明的液膜射流研究結(jié)果證實，在射流的碎裂點處，的確存在兩個波數(shù)，該波數(shù)與液膜的初始寬厚度有關(guān)）。Huynh等預(yù)測的射流碎裂時間在一個較寬的范圍內(nèi)變化。Park等[30]（2006）研究了低速射流正對稱波形（varicose）主液滴和“衛(wèi)星”液滴的非線性變形，指出主液滴與“衛(wèi)星”液滴的直徑比在一定的波數(shù)和波長范圍內(nèi)幾乎固定不變。Ibrahim等[31]（2007）應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了空氣助力下渦旋射流反對稱波形（sinuous）表面波非線性振幅解模型，探討了噴射軸向氣液流速比和渦旋數(shù)對射流不穩(wěn)定性和碎裂長度的影響。Elcoot[32]應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論和非線性穩(wěn)定性理論研究了位于放電場中的射流正對稱波形和反對稱波形時間模式的穩(wěn)定性，線性穩(wěn)定性分析推導(dǎo)出了色散關(guān)系式（dispersion relation），以研究氣液交界面的波形；非線性穩(wěn)定性分析應(yīng)用 Ginzburg-Landau控制方程和Schrodinger修正控制方程，以研究位于一定放電時間內(nèi)電場中射流表面波振幅的不穩(wěn)定性?？梢钥闯觯瑢ι淞鞯姆蔷€性穩(wěn)定性研究多采用擾動擴展技術(shù)，通過射流表面波非線性振幅解研究表面波波形，而對射流碎裂長度的預(yù)測仍不能令人十分滿意。近年來，提出了對非線性穩(wěn)定性理論的另一種解釋，即控制方程的非線性化。

2 平面液膜射流

上世紀五十年代，Squire[33]（1953）、Hagerty等[34]（1955）最先研究了介于不可壓縮穩(wěn)定氣體介質(zhì)中的非粘性平面液膜射流的不穩(wěn)定性。Lefebvre[12]（1989）、Lin等[35]（1990）、Mansour等[36]（1990）、Hashimoto等[37]（1991）、Li等[38-40]（1991～1994）、曹建明等[41-43]（1999～2000）、杜青等[44-46]（2003）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論對液膜射流的不穩(wěn)定性和碎裂機理進行了大量的理論和試驗研究工作。Lin應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了粘性平面液膜進入不可壓縮氣流中的時空模式。Li的主要貢獻在于考慮了液體粘性的影響，幵應(yīng)用時空模式的線性穩(wěn)定性理論分析液膜兩側(cè)不同氣流速度下的射流碎裂。他首先提出了在液膜射流兩側(cè)氣流流速不等時，表面波形呈現(xiàn)近正對稱模式（para-varicose）θ→ π和近反對稱模式（para-sinuous）θ→ 0的概念，從而將射流表面波的相位差擴展到全方位的0 ≤ θ ≤ π，使整個線性穩(wěn)定性理論變得有序而連貫。曹建明將環(huán)境氣體的可壓縮性引入了線性穩(wěn)定性模型中，為高速空氣助力環(huán)境下液膜射流的不穩(wěn)定性分析和碎裂過程研究做出了貢獻。杜青等研究了加熱條件下液膜射流的行為和特征。上述研究成果均是應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論進行的。

1972年，Clarck和Dombrowski[47]應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了平面液膜射流表面波的二階非線性穩(wěn)定性模型。Jazayeri和Li[48,49]（1997, 2000）將非線性穩(wěn)定性模型推導(dǎo)到了三階，他們収現(xiàn)射流碎裂長度會隨著初始擾動振幅和氣液密度比的增大而減小。Rangel等[50,51]（1988, 1990）、Lozano等[52]（1998）應(yīng)用渦旋離散方法（vortex discretisation method）研究了液膜表面波的非線性穩(wěn)定性和射流碎裂過程。該方法以射流表面的質(zhì)點為研究對象，質(zhì)點由離散化的微渦旋從某一速度層面被帶到另一速度層面，而微渦旋幵不是圓的，會隨時間變化而被“拉伸”或“壓縮”，從而造成質(zhì)點在隨基流向前運動的同時，還產(chǎn)生隨時間的增長而上下波動的位移，于是形成了表面波。其控制方程為比奧-薩瓦爾定律（Biot-Savart law）。Tharakan等[53]（2002）建立了無粘性平面液膜射流的非線性歐拉（Euler）守恒控制方程模型，開創(chuàng)了應(yīng)用非線性守恒控制方程研究液膜表面波穩(wěn)定性和射流碎裂過程的先河。在Tharakan等的控制方程中，質(zhì)量守恒方程仍是線性的，但動量守恒方程則是非線性的，而且還加入了非線性的能量守恒方程。曹建明應(yīng)用粘性非線性納維-斯托克斯守恒控制方程組（N-S控制方程組）對液膜表面波的穩(wěn)定性和射流碎裂過程進行了研究。在控制方程組中，質(zhì)量守恒方程是線性的，但動量守恒方程則是非線性的，保留了對流項中的非線性項（偏微分前擾動速度項）。Tharakan等的試驗噴嘴出口尺寸寬厚比較大，為33～67，噴射出射流的液膜初期寬厚度基本不變，后期寬厚度均明顯增大；側(cè)面表面波形呈現(xiàn)反對稱模式；無論正面還是側(cè)面，不穩(wěn)定表面波振幅增長率始終均為正值，射流后部呈現(xiàn)湍流流動狀態(tài)；射流碎裂長度隨韋伯數(shù)的增大而減小。也就是說，在其它參數(shù)不變的情況下，射流的碎裂長度隨噴射流速的增大而減小。曹建明所采用的平面狹縫噴嘴是根據(jù)加拿大維多利亞大學(xué)（University of Victoria）的噴嘴仿制的，噴嘴出口的寬厚比為20。試驗収現(xiàn)射流的寬度會因液體表面張力的作用而逐漸縮小，幵最終収生交匯。在交匯點之后，液膜的寬厚度（或者說分別從正側(cè)面看均為液膜的厚度）幾乎相同，幵產(chǎn)生正對稱波形（varicose）波動。從正面看，初期不穩(wěn)定表面波振幅增長率為負值；從側(cè)面看，初期增長率為正值。該現(xiàn)象也同樣被Jazayeri等的試驗觀察到[48]（1997）。我們的試驗結(jié)果表明，射流的碎裂長度隨噴射流速的增大幾乎呈直線增大。也就是說，在其它參數(shù)不變的情況下，射流的碎裂長度隨韋伯數(shù)（Weber number）的增大而增大。這與Tharakan等的研究結(jié)果正好相反。究其原因，當噴嘴出口的寬厚比較?。ㄈ缥覀兊膰娮欤?，且噴射流速較低時，流動處于穩(wěn)定的層流區(qū)，液膜的碎裂受表面張力的影響較大；而當噴嘴出口的寬厚比較大（如 Tharakan等的噴嘴），且噴射流速較高時，流動處于過渡區(qū)，液膜的碎裂受空氣動力作用的影響較大。兩者所呈現(xiàn)的表面波形也完全不同。連貫起來看，在噴嘴出口的寬厚比由小變大、噴射流速由低到高的變化過程中，液膜射流存在由正對稱波形（varicose）向反對稱波型（sinuous）的逐漸過渡，由射流碎裂長度隨噴射流速的增大而增大向隨噴射流速的增大而減小的過渡。即存在不同的射流不穩(wěn)定區(qū)，不同區(qū)域內(nèi)射流所呈現(xiàn)的不穩(wěn)定性是大不相同的。因此，過渡臨界點（或平衡點）的尋求將成為液膜射流穩(wěn)定性研究的下一個待定問題。從研究結(jié)果來看，Tharakan等和曹建明的表面波振幅解均為一階線性的，而Jazayeri等的擾動擴展技術(shù)能夠賦予表面波形三階非線性變化，但卻沒有與試驗波形進行比較[48,49]，純理論色彩較重。Lozano等的渦旋離散方法能夠模擬三維表面波波形，且對表面波的邊緣處理較復(fù)雜，波形變化大，但也沒有與試驗波形進行比較，亦屬純理論研究。Tharakan等的非線性歐拉守恒方程組包括質(zhì)量、動量和能量方程，但數(shù)值計算要依賴初始擾動振幅ξ0的變化來擬合試驗數(shù)據(jù)，量綱一射流碎裂長度的預(yù)測精確度在1 000以內(nèi)[53]（2002）。這可能與簡化后的控制方程為非線性無旋方程有關(guān)，應(yīng)用無粘性的無旋控制方程研究高速薄膜流動可能會造成一定的數(shù)值計算誤差。曹建明的動量控制方程為非線性的有旋守恒方程（動量守恒方程中：渦量），因此適于研究粘性流體的流動。推導(dǎo)出的量綱一色散準則關(guān)系式對液膜表面波形的模擬效果很好，對射流碎裂長度的預(yù)測能夠精確在個波長以內(nèi)（試驗觀察可以證實，事實上射流的碎裂長度本身就會在一個波長以內(nèi)變化，這在曹建明[54]（2003）先前的研究中已經(jīng)収現(xiàn)），依據(jù)數(shù)值計算所得射流碎裂點波數(shù)kb而設(shè)計的電磁激勵能夠?qū)⑸淞鞯乃榱验L度縮短24%～61%，效果顯著[5]（2009）。

3 環(huán)狀液膜射流

環(huán)狀液膜射流受環(huán)境氣體的擾動作用，在噴嘴出口處就產(chǎn)生了波動，其碎裂長度比平面液膜射流的短。Rayleigh[6]（1878）認為，當氣液體相對速度較小時，液膜射流在頂端碎裂形成環(huán)形斷裂帶，隨后再碎裂成大量的細小液滴。環(huán)形斷裂帶的厚度就等于液膜射流碎裂時頂端的厚度，寬度等于一個波長。他還提出了一個液滴平均直徑的經(jīng)驗公式。Fraser等[55]（1963）認為，當液膜射流內(nèi)外表面的表面波在同一相位時，形成反對稱波型，否則為擴張波形，擴張波形對液體碎裂過程的影響可以忽略不計，因為其不穩(wěn)定度總是小于反對稱波型。Ooms[56]（1972）在假設(shè)氣、液體均為理想流體的前提下，提出了環(huán)狀液膜射流的穩(wěn)定性分析模型。Dijkstra和Steen[57]（1991）應(yīng)用連續(xù)性方程建立了環(huán)狀液膜的線性穩(wěn)定性模型，研究熱毛細作用對射流穩(wěn)定度的影響。Carron等[58]、Takamatsu等[59]（1994, 1999）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論探討了微重力條件下環(huán)狀液膜射流的時間模式穩(wěn)定性。Hashimoto等[60]（1996）采用高速攝影技術(shù)試驗研究了液體射流流速Ul≤ 4 m/s在氣流流速Ug≤ 30 m/s環(huán)境下環(huán)狀液膜射流的碎裂過程，他們觀察到了明顯的不穩(wěn)定表面波形，在射流的下游區(qū)域液膜碎裂，幵形成大量的細小液滴。Radwan等[61]（1997）研究了環(huán)狀液膜射流的磁流體動力學(xué)特性。Alleborn等[62]（1999）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了非牛頓流體環(huán)狀液膜射流噴射進入無粘性環(huán)境介質(zhì)中的穩(wěn)定性。Jeandel等[63]（1999）將液體粘性的影響引入環(huán)狀液膜射流的線性穩(wěn)定性分析中。劉聯(lián)勝等[64]（2005）試驗研究了環(huán)狀出口氣泡霧化噴嘴出口下游液膜隨氣液密度比變化而碎裂的過程和噴霧特性。嚴春吉等[65-67]（2001～2008）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了正對稱模式和反對稱模式環(huán)狀液膜射流噴射進入可壓縮氣流中的穩(wěn)定性，指出射流的穩(wěn)定度與雷諾數(shù)、韋伯數(shù)、馬赫數(shù)、氣液密度比、液膜半徑與厚度比等因素有關(guān)。Li等[68-70]（1996～2001）、曹建明[3,54]（2013, 2003）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了位于內(nèi)外環(huán)軸向不同氣液流速比下環(huán)狀液膜射流的穩(wěn)定性和碎裂過程，幵采用閃光攝影技術(shù)研究了環(huán)狀液膜表面波的波形和碎裂長度，理論結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)進行了對比分析。結(jié)果顯示內(nèi)層高速氣流比外層氣流更能加劇液體層的不穩(wěn)定性；與單側(cè)氣流相比，高速雙側(cè)氣流更能改善霧化效果。在液體層兩側(cè)氣流速度相等或不等的情況下，氣體密度和液體表面張力對液體層的不穩(wěn)定性有著不同的影響。根據(jù)最大表面波增長率數(shù)值計算得到的液膜碎裂長度理論結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)具有可比性，但仍存在一定的誤差，不能令人十分滿意。之后，杜青等[71,72]（2007, 2008）應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論研究了旋轉(zhuǎn)氣流對正對稱模式和反對稱模式環(huán)狀液膜射流表面波穩(wěn)定性和碎裂過程的影響。結(jié)果表明，由液體環(huán)膜內(nèi)部氣體介質(zhì)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的離心力是液體射流的不穩(wěn)定因素，能使射流迅速從大尺度碎裂模式轉(zhuǎn)換為小尺度碎裂模式，有助于液體射流的碎裂。而液膜外部氣體介質(zhì)旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生的離心力是液體射流的穩(wěn)定因素，不利于液體射流的碎裂，碎裂模式也沒有改變。當相同強度的旋轉(zhuǎn)同時存在于內(nèi)部和外部氣體介質(zhì)中時，對于正對稱波形，內(nèi)部氣體介質(zhì)的影響顯著；而對于反對稱波形，則外部氣體介質(zhì)的影響更為明顯。通常情況下，反對稱波形的表面波擾動振幅增長率強于正對稱波形的擾動增長率，因此會在環(huán)膜液體射流的碎裂中占據(jù)主導(dǎo)地位。上述理論研究成果均是應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論進行的。

對環(huán)狀液膜射流的理論研究難度要比圓射流和平面液膜射流的大，線性穩(wěn)定性分析推導(dǎo)色散關(guān)系式已經(jīng)很復(fù)雜，因此非線性穩(wěn)定性分析的成熟方法幵不多。1995年，Lin[73]建立了研究正對稱模式粘彈性環(huán)狀液膜射流的近似非線性模型，以探討粘彈性的液體表面張力、重力、粘性、慣性、彈性等因素對射流穩(wěn)定性的影響。Lin等[74]（2002）應(yīng)用長波近似方法（假設(shè)射流表面波的振幅與波長相比為小量）研究了環(huán)狀液膜的非線性碎裂問題，幵對線性穩(wěn)定性理論和長波近似非線性穩(wěn)定性理論進行了比較。結(jié)果表明，長波近似非線性穩(wěn)定性理論能夠模擬三維射流，而線性穩(wěn)定性理論只能研究二維模型。Mehring等[75]（2000）采用減維近似方法研究環(huán)狀液膜射流的表面波形和碎裂時間。其非線性數(shù)值解能夠修正線性解對表面波波形的描述，不同表面波模式的射流碎裂時間也不相同。Ibrahim等不僅應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了圓射流的非線性振幅解模型[31]（2007），還應(yīng)用擾動擴展技術(shù)建立了環(huán)狀液膜射流的時間模式非線性振幅解模型[76-78]（2005～2008）。通過對環(huán)狀燃料液膜噴射進入內(nèi)外環(huán)相等流速氣流環(huán)境的非線性穩(wěn)定性和射流碎裂長度的理論和試驗研究，表明內(nèi)外環(huán)氣流均是液膜不穩(wěn)定和碎裂的促進因素，內(nèi)環(huán)氣流起主導(dǎo)作用；與單側(cè)氣流相比，高速雙側(cè)氣流更能改善霧化效果，這與Li等[68-70]（1996～2001）、曹建明[3,54]（2013, 2003）應(yīng)用線性穩(wěn)定性分析得到的結(jié)論一致。他們還研究了正對稱模式環(huán)狀液膜射流噴射進入外環(huán)旋轉(zhuǎn)氣流環(huán)境模型，探討韋伯數(shù)、初始擾動振幅、內(nèi)、外環(huán)氣液流速比和外環(huán)渦流強度對射流碎裂時間的影響，指出外環(huán)旋轉(zhuǎn)氣流比內(nèi)環(huán)軸向氣流更能促進液膜的碎裂，幵經(jīng)過了試驗驗證，這與杜青等[71,72]（2007, 2008）應(yīng)用線性穩(wěn)定性分析得到的結(jié)論正好相反。對應(yīng)用線性穩(wěn)定性理論和非線性穩(wěn)定性理論預(yù)測射流碎裂長度進行了比較，結(jié)果表明，應(yīng)用擾動擴展技術(shù)的線性穩(wěn)定性理論不能預(yù)測射流的碎裂長度，而非線性穩(wěn)定性理論能夠提供較為準確的預(yù)測。

4 結(jié) 語

通過以上陳述，可以看出典型射流碎裂過程的線性和非線性穩(wěn)定性分析的研究進展。非線性的擾動擴展技術(shù)在圓射流、平面液膜射流和環(huán)狀液膜射流中均得到了廣泛應(yīng)用，對圓射流和平面液膜射流的研究已經(jīng)推導(dǎo)到三階表面波振幅解，能夠賦予表面波形更多的變化。但該技術(shù)僅以質(zhì)量守恒方程作為控制方程，液體流動是無粘性和無旋的。非線性的渦旋離散方法和質(zhì)量、動量、能量守恒非線性控制方程方法目前僅應(yīng)用于對平面液膜的理論研究，應(yīng)用這兩種方法研究圓射流和環(huán)狀液膜射流還未見報道。渦旋離散方法能夠模擬三維表面波波形，且對表面波的邊緣處理較復(fù)雜，波形變化大，但沒有與試驗波形進行比較，屬純理論研究[5]（2009）。歐拉守恒控制方程為無粘性無旋方程，理論分析結(jié)果與試驗結(jié)果仍存在一定的誤差。

[1] Haenlein A. Disintegration of a liquid jet[J]. NACA, 1932, TN 659.

[2] Muller D E. A method for solving algebraic equations using an automatic computer[J]. Math Tables and Other Aid to Comput, 1956, 10: 208-215.

[3] 曹建明. 液體噴霧學(xué)[M]. 北京: 北京大學(xué)出版社, 2013.

[4] 周光坰, 嚴宗毅, 許世雄, 等. 流體力學(xué)[M]. 北京:高等教育出版社, 2000.

[5] 曹建明. 國家自然科學(xué)基金結(jié)題報告[R]. 2009, 50676012.

[6] Rayleigh, L. On the instability of jets[J]. Proc London Math Soc, 1878, 10: 4-13.

[7] Weber C. Disintegration of liquid jets[J]. Z Angew Math Mech, 1931, 11(2): 136-159.

[8] Ohnesorge W. Formation of drops by nozzles and the breakup of liquid jets[J]. Z Angew Math Mech, 1936, 16: 355-358.

[9] Keller J B, Rubinow S I, Tu Y O. Spatial instability of a jet[J]. Phys Fluids, 1973, 16: 2052-2055.

[10] Sterling A M, Sleicher. The instability of capillary jets[J]. Fluid Mech, 1975, 68: 477-495.

[11] Reits R D, Bracco F V. Mechanism of atomization of a liquid jet[J]. Phys Fluids A, 1982, 25: 1730-1742.

[12] Lefebvre A H. Atomization and Sprays[M]. Hemisphere Press, New York, 1989.

[13] Li X. Mechanism of atomization of a liquid jet[J]. Atomization and Sprays, 1995, 5: 89-105.

[14] Li X, Chen T. Liquid jet atomization in a compressible gas streams[J]. J of Propulsion and Power, 1999, 15(3): 369-376.

[15] 史紹熙, 郗大光. 液體射流的非軸對稱破碎[J]. 燃燒科學(xué)與技術(shù), 1996, 2(3): 1-8.

[16] 史紹熙, 郗大光, 劉寧, 等. 高速液體射流初始階段的破碎[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 1996, 14(4): 349-354.

[17] 史紹熙, 郗大光, 秦建榮, 等. 高速粘性液體射流的不穩(wěn)定模式[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 1997, 15(1): 1-7.

[18] 史紹熙, 林玉靜, 杜青, 等. 射流參數(shù)對旋流霧化的影響[J]. 燃燒科學(xué)與技術(shù), 1999, 5(1): 1-6.

[19] 史紹熙, 杜青, 秦建榮, 等. 液體圓射流破碎機理研究中的時間模式與空間模式[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 1999, 17(3): 205-210.

[20] Shi S. Unstable asymmetric modes of a liquid jet[J]. ASME J of Fluids Engineering, 1999, 121(2): 379-383.

[21] 杜青, 史紹熙, 劉寧, 等. 液體燃料圓射流最不穩(wěn)定頻率的理論分析(1)——液體燃料圓射流的最不穩(wěn)定頻率及無量綱數(shù)的影響[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2000, 18(3): 283-287.

[22] 杜青, 史紹熙, 劉寧, 等. 液體燃料圓射流最不穩(wěn)定頻率的理論分析(2)——圓射流參數(shù)對最不穩(wěn)定頻率的影響及試驗觀察[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2000, 18(3): 288-292.

[23] 杜青, 劉寧, 楊延相, 等. 受激液體燃料圓射流表面波規(guī)律初探[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2001, 19(6): 511-516.

[24] Nayfeh A H. Nonlinear stability of a liquid jet[J]. Phys Fluids, 1970, 13(4): 841-847.

[25] Chaudhary K C, Redekopp L G. Nonlinear capillary instability of a liquid jet Em dash 1 Theory[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1980, 96(2): 257-274.

[26] Chaudhary K C, Maxworthy T. Nonlinear capillary instability of a liquid jet Em dash 2 experiments on jet behavior before droplet formation[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1980, 96(2): 275-286.

[27] Ibrahim E A, Lin S P. Weakly nonlinear instability of a liquid jet in a viscous gas[J]. American Society of Mechanical Engineers, 1991, 91-WA/APM-15: 1-6.

[28] Mashayek F, Shgriz N. Nonlinear instability of liquid jets with thermocapillarity[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1995, 283(25): 97-123.

[29] Huynh H, Ashgriz N, Mashayek F. Instability of a liquid jet subject to disturbances composed of two wave numbers[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1996, 320(10): 185-210.

[30] Park H, Yoon S S, Heister S D. On the nonlinear stability of a swirling liquid jet[J]. International Journal of Multiphase Flow, 2006, 32(9): 1100-1109.

[31] Ibrahim A A, Jog M A. Nonlinear breakup of a coaxial liquid jet in a swirling gas stream[J]. Physics of Fluids, 2006, 18(11): 1141-1501.

[32] Elcoot K E A. Nonlinear instability of charged liquid jets: Effect of interfacial charge relaxation[J]. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 2007, 375(2): 411-428.

[33] Squire H B. Investigation of the instability of a moving liquid film[J]. British J of Applied Physics, 1953, 4: 167-169.

[34] Hagerty W W, Shea J F. A study of the stability of plane fluid sheets[J]. J of Applied Physics, 1955, 22: 509-514.

[35] Lin S P, Lian Z W. Absolute and convective instability of a liquid sheet[J]. J of Fluid Mechanics, 1990, 220: 673-689.

[36] Mansour A, Chigier N A. Disintegration of liquid sheets[J]. Physics of Fluids A, 1990, 2: 706-719.

[37] Hashimoto H, Suzuki T. Experimental and theoretical study of fine interfacial waves on thin liquid sheet[J]. JSME International Journal, Series II, 1991, 34: 277-283.

[38] Li X, Tankin R S. On the temporal instability of a two-dimensional viscous liquid sheet[J]. J of Fluid Mechanics, 1991, 226: 425-443.

[39] Li X. Spatial instability of plane liquid sheets[J]. Chemical Engineering Sci, 1993, 48: 2973-2981.

[40] Li X. On the Instability of plane liquid sheets in two gas streams of unequal velocities[J]. Acta Mechanica, 1994, 106: 137-156.

[41] Cao J M. Derivation on the Linear Stability theory of plane liquid sheets spray in two compressible gas streams[J]. 燃燒科學(xué)與技術(shù), 1999, 5(4): 349-355.

[42] Cao J M, Li X. Liquid sheet breakup in compressible gas streams[C]//Proc of the ASME Energy Sources Technology Conference, 1999, 1-6.

[43] Cao J M, Li X. Stability of plane liquid sheets in compressible gas streams[C]//Proc of 2nd JSME International Symposium on Advanced Energy Conversion Systems and Related Technologies, 1998, 24-25. AIAA J. of Propulsion and Power, 2000, 16(4): 623-627.

[44] 丁寧, 杜青, 郗大光, 等. 加熱條件下液膜射流破碎尺度影響因素研究[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2003, 21(1): 53-56.

[45] 杜青, 丁寧, 郗大光, 等. 射流參數(shù)對加熱條件下液膜射流破碎不穩(wěn)定性的影響(1)——射流參數(shù)對液膜反對稱模式破碎的影響[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2003, 21(2): 145-149.

[46] 杜青, 丁寧, 郗大光, 等. 射流參數(shù)對加熱條件下液膜射流破碎不穩(wěn)定性的影響(2)——射流參數(shù)對液膜對稱模式破碎的影響[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2003, 21(2): 150-154.

[47] Clarck C J, Dombrewski N. Aerodynamic instability and disintegration of inviscid liquid sheets[C]//Proc R Soc Lond A, 1972, 329: 467-478.

[48] Jazayeri S A. Nonlinear analysis and experimental investigation of liquid sheet breakup[D]. PhD thesis, University of Victoria, Canada, 1997.

[49] Jazayeri S A, Li X. Nonlinear instability of plane liquid sheets[J]. J Fluid Mech, 2000, 406: 281-308.

[50] Rangel R H, Sirignano W A. Nonlinear growth of Kelvin-Helmholtz instability: effect of surface view tension and density ratio[J]. Phys. Fluids. 1988, 31: 1845-1855.

[51] Rangel R H, Hess C. Nonlinear special instability of a fluid sheet[J]. AIAA J of Propulsion and Power, 1990, 90-0118.

[52] Lozano A, Olivares A G, Dopazo C. The instability growth leading to a liquid sheet breakup[J]. Phys Fluids, 1998, 10: 2188-2197.

[53] Tharakan T J, Ramamurthi K, Balakrishnan M. Nonlinear breakup of thin liquid sheets[J], Acta Mech. 2002, 156: 29-46.

[54] Cao J M. Theoretical and experimental study of atomization from an annular liquid sheet[J]. J of Automobile Engineering, 2003, 217(D8): 735-743.

[55] Fraser R P, Dombrowski N, Routley J H. The Atomization of a liquid sheet by an impinging air stream[J]. Chem Eng Sci, 1963, 18: 339-353.

[56] Ooms G. Hydrodynamic stability of core-annular flow of two ideal liquids[J]. Journal of Polymer Science, Macromolecular Reviews, 1972, 26(1-2): 147-158.

[57] Dijkstra H A, Steen P H. Thermocapillary stabilization of the capillary breakup of an annular film of liquid[J]. Journal of Fluid Mechanics, 1991, 229(8): 205-228.

[58] Carron I, Best F R. Gas-liquid annular flow under microgravity conditions: a temporal linear stability study[J]. International Journal of Multiphase Flow, 1994, 20(6): 1085-1093.

[59] Takamatsu H, Fuji M, Honda H, et al. Stability of annular liquid film in microgravity[J]. Microgravity Science and Technology, 1999, 12(1): 2-8.

[60] Hashimoto H, Kawano S, Togari H. Basic breakup mechanism of annular liquid sheet jet in cocurrent gas stream[J]. Transactions of the Japan Society of Mechanical Engineers, Part B, 1996, 62(2): 549-555.

[61] Radwan A E, Elazab S S, Hydia W M. Magnetohydrodynamics stability of a streaming annular cylindrical liquid surface[J]. Physica Scripta, 1997, 56(2): 193-199.

[62] Alleborn N, Raszillier H, Durst F. Linear stability of non-Newtonian annular liquid sheets[J]. Acta Mechanica, 1999, 137(1-2): 33-42.

[63] Jeandel X, Dumouchel C. Influence of the viscosity on the linear stability of an annular liquid sheet[J]. International Journal of Heat and Fluid Flow, 1999, 20(5): 499-506.

[64] 劉聯(lián)勝, 楊華, 吳晉湘, 等. 環(huán)狀出口氣泡霧化噴嘴液膜破碎過程與噴霧特性[J]. 燃燒科學(xué)與技術(shù), 2005, 11(2): 121-125.

[65] 嚴春吉, 解茂昭. 空心圓柱形液體射流分裂與霧化機理的研究[J]. 水動力學(xué)研究與進展, 2001, 16(2): 200-208.

[66] 嚴春吉. 可壓縮氣體中的三維黏性液體射流霧化機理[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2007, 25(4): 346-351.

[67] 嚴春吉, 解茂昭. 可壓縮氣體中的三維粘性液體空心柱射流穩(wěn)定性分析[J]. 上海交通大學(xué)學(xué)報, 2008, 42(1): 128-132.

[68] Shen J, Li X. Breakup of annular viscous liquid jets in two gas streams[J]. AIAA Journal of Propulsion and Power, 1996, 12(4): 752-759.

[69] Li X, Shen J. Experimental study of sprays from annular liquid jet breakup[J]. AIAA Journal of Propulsion and Power, 1999, 15(1): 103-111.

[70] Li X, Shen J. Experiments on annular liquid jet breakup[J]. Atomization and Sprays, 2001, 11(5): 557-573.

[71] 杜青, 郭津, 孟艷玲, 等. 旋轉(zhuǎn)氣體介質(zhì)對環(huán)膜液體射流破碎不穩(wěn)定性影響的研究[J]. 內(nèi)燃機學(xué)報, 2007, 25(3): 217-222.

[72] 杜青, 李獻國, 劉寧, 等. 氣體旋轉(zhuǎn)運動對類反對稱模式下環(huán)膜液體射流破碎尺度的影響[J]. 天津大學(xué)學(xué)報, 2008, 41(5): 569-575.

[73] Lin K J. Nonlinear behavior of thin viscoelastic axisymmetric annular curtains[J]. Physical Science and Engineering Part A, 1995, 19(6): 493-505.

[74] Lin C K, Hwang C C, Ke T C. Three-dimensional nonlinear rupture theory of thin liquid films on a cylinder[J]. Journal of Colloid and Interface Science, 2002, 256(2): 480-482.

[75] Mehring C, Sirignano W A. Axisymmetric capillary waves on thin annular liquid sheets. I. Temporal stability[J]. Physics of Fluids, 2000, 12(6): 1417-1439.

[76] Ibrahim A A, Jog M A. Weakly nonlinear instability of an annular liquid sheet subjected to unequal inner and outer gas streams[C]//ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Orlando, 2005, 251-257.

[77] Ibrahim A A, Jog M A. Breakup model for annular liquid sheets[C]//ASME International Mechanical Engineering Congress and Exposition, Chicago, 2006, 1-6.

[78] Ibrahim A A, Jog M A. Nonlinear instability of an annular liquid sheet exposed to gas flow[J]. International Journal of Multiphase Flow, 2008, 34(7): 647-664.

Theoretical Investigation Evolvement of Surface Waves in Liquid Jet Sprays

CAO Jian-ming
(Automobile Faculty, Chang'an University, Xi'an 710064, China)

In the past twenty years, spray science and technology has been made great progress and its application field has been enlarged gradually. Nowadays, spray has already become an international research field. The development mainly involves the evolvement of mathematical model, the promotion of numerical calculation and analysis, and the improvement and development of optical techniques for the droplet size measurement. The importance of sprays is increasing gradually. An investigation evolvement is presented for the typical fluid model, such as liquid jet, planar liquid sheet and annular liquid sheet, breakup processes by using linear and nonlinear stability theories.

sprays; liquid jet; linear and nonlinear stability theories; investigation evolvement

TK421.43

A

10.3969/j.issn.2095-560X.2014.03.001

2095-560X（2014）03-0165-08

曹建明（1962-），男，教授，主要從事射流的碎裂與霧化研究。

2014-04-18

2014-05-08

國家自然科學(xué)基金（50676012）

? 通信作者：曹建明，E-mail：jcao@chd.edu.cn