梁 雄 賴國忠

（龍巖學院 福建 龍巖 3640 12 ）

1 引言

反射定律和折射定律是幾何光學兩個基本定律，可利用費馬定理證明［1～3］，也有一些《工程光學》教材是利用電磁場的連續(xù)條件來分析平面光波在各向同性介質(zhì)分界面上的反射和折射［4，5］．這些教材一般都是列出s波（電場強度在垂直入射平面方向的分量）滿足電場強度切向連續(xù)的方程，然后，通過簡單的觀察和分析得出反射光波（或折射光波）的頻率與入射光頻率相等的有關(guān)內(nèi)容，但是教學中發(fā)現(xiàn)，大多數(shù)學生對這樣的探討方式所得的結(jié)果疑惑不解，總覺得推導過程不夠嚴密．現(xiàn)就在原有方程的基礎(chǔ)上利用導數(shù)和矢量叉乘進行詳細分析和推導．

2 折射定律有關(guān)內(nèi)容的推導

圖1 平面光波在界面處傳播

如圖1所示，一束光從折射率n1的介質(zhì)1入射到折射率n2的介質(zhì)2，電場矢量在垂直于入射面方向的分量稱作s波，平行于入射面的分量稱作p波，坐標系中y軸垂直紙面向外．根據(jù)電磁場的連續(xù)條件［6］列出電場的s波在界面處滿足的方程［5］

利用exp ［i（ α ＋β）］＝e x p（iα）e x p（iβ） 可 將 式 （1）中時間部分和空間部分分離，并令入射光、反射光和折射光中的s波復振幅分別為

A1＝A1sexp （i k1·r）

A′1＝A′1sexp （i k′1·r）

A2＝A2sexp （i k2·r）

即

兩邊同除以e x p（－ i ω1t），整理可得

其中，Δω2＝ω1－ω2，Δω1＝ω1－ω′1．將式（3）對時間求一階導數(shù)并化簡可得

式（4）兩邊同除以exp （iΔ ω2t）得

通常情況下，該方程中A′1≠0，A2≠0．觀察方程（5）的兩邊會發(fā)現(xiàn)其右邊與時間無關(guān)，而左邊卻含有exp ［i（Δω1－Δω2）t］時間因子，只存在兩種可能，第一種，當Δω1＝0時，方程的左邊為零（即與時間無關(guān)），這就要求方程的右邊也為零，即有Δω2＝0；第二種，當Δω2＝Δω1時，則因子

exp ［i（ Δω1－Δω2）t］≡1

將這一結(jié)果代入式（3）并整理后可得

仔細觀察式（6），其左邊為一個不為零的常量，這就要求方程右邊與時間無關(guān)，即有Δω1＝0．

綜合上述兩種情況均可得出同一個結(jié)論，即反射光束和折射光束的角頻率都與入射光束的角頻率相等，將其表示成數(shù)學表達式為

將式（7）代入式（1），兩邊同除以e x p［i（k1·rω1t）］化簡得

其中N ＝k′1－k1，N′＝k2－k1．將算符

作用于式（8）兩邊可得

式（9）兩邊同除以N2exp （i N ′·r）得

式（10 ）的右邊與位矢r無關(guān)，這就要求其左邊也與r無關(guān)，即

將式（11 ）代入式（8）進行整理后得

式（12 ）的左邊為一常量，這就要求右邊與r無關(guān)，即N′·r＝0．結(jié)合式（11 ）易得

其中，r為界面（x y平面）上任意位矢．由立體幾何知識可知，N和N′（或－N′）垂直界面，均可代表介質(zhì)界面的法線．

下面利用矢量叉乘證明光的折射定律，證明過程中用－k1和k2分別代表入射光線和折射光線的位置，則入射角等于－k1與－N′之間的夾角θ1，折射角等于k2與N′之間夾角θ2，具體參見圖2．結(jié)合矢量減法的特點分析不難得出，－k1，k2和法線N′（或－N′）在同一平面內(nèi)．根據(jù)矢量叉乘容易驗證下面的方程成立

圖2 各波矢及有關(guān)的矢量

注意連等式（14 ）的中間表達式中出現(xiàn)一個負號，不難由“矢積的方向用右手螺旋法則確定”分析出－k1和k2分居法線兩側(cè)，即折射光和入射光分居法線兩側(cè)．式（14 ）的兩邊取模得

3 結(jié)論

針對現(xiàn)有教材通過簡單的觀察，對比方程（1）得出光的折射定律等有關(guān)內(nèi)容，大多數(shù)學生對所得結(jié)論難以接受，本文借助于高等數(shù)學中的導數(shù)和矢量叉乘等加以適當推導，使得分析所得的結(jié)論更加一目了然，從而提高了課堂的教學效果．

1 姚啟鈞．光學教程（第3版）．北京：高等教育出版社，2006 ．153 ～156

2 宮彥軍，王喜昌，宋東草，等．折射定律與反射定律的推導．物理實驗，2005 ，25 （2）：41 ～43

3 楊春艷，劉飛，吉恒，等．折射定律服從費馬原理的一種證明方法．玉溪師范學院學報，2010 ，26 （8）：27 ～28

4 田芊，廖延彪，孫利群．工程光學（第1版）．北京：清華大學，2007 ．17 ～19

5 郁益銀，談恒英．工程光學（第3版）．北京：機械工業(yè)出版社，2013 ．300 ～302

6 梁燦彬，秦光戎，梁竹?。姶艑W（第3版）．北京：高等教育出版社，2012 ．108 ～109