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        光的折射定律的理論分析與推導(dǎo)

        2014-06-29 09:02:22賴(lài)國(guó)忠
        物理通報(bào) 2014年4期
        關(guān)鍵詞:法線光波入射光

        梁 雄 賴(lài)國(guó)忠

        (龍巖學(xué)院 福建 龍巖 3640 12 )

        1 引言

        反射定律和折射定律是幾何光學(xué)兩個(gè)基本定律,可利用費(fèi)馬定理證明[1~3],也有一些《工程光學(xué)》教材是利用電磁場(chǎng)的連續(xù)條件來(lái)分析平面光波在各向同性介質(zhì)分界面上的反射和折射[4,5].這些教材一般都是列出s波(電場(chǎng)強(qiáng)度在垂直入射平面方向的分量)滿(mǎn)足電場(chǎng)強(qiáng)度切向連續(xù)的方程,然后,通過(guò)簡(jiǎn)單的觀察和分析得出反射光波(或折射光波)的頻率與入射光頻率相等的有關(guān)內(nèi)容,但是教學(xué)中發(fā)現(xiàn),大多數(shù)學(xué)生對(duì)這樣的探討方式所得的結(jié)果疑惑不解,總覺(jué)得推導(dǎo)過(guò)程不夠嚴(yán)密.現(xiàn)就在原有方程的基礎(chǔ)上利用導(dǎo)數(shù)和矢量叉乘進(jìn)行詳細(xì)分析和推導(dǎo).

        2 折射定律有關(guān)內(nèi)容的推導(dǎo)

        圖1 平面光波在界面處傳播

        如圖1所示,一束光從折射率n1的介質(zhì)1入射到折射率n2的介質(zhì)2,電場(chǎng)矢量在垂直于入射面方向的分量稱(chēng)作s波,平行于入射面的分量稱(chēng)作p波,坐標(biāo)系中y軸垂直紙面向外.根據(jù)電磁場(chǎng)的連續(xù)條件[6]列出電場(chǎng)的s波在界面處滿(mǎn)足的方程[5]

        利用exp [i( α +β)]=e x p(iα)e x p(iβ) 可 將 式 (1)中時(shí)間部分和空間部分分離,并令入射光、反射光和折射光中的s波復(fù)振幅分別為

        A1=A1sexp (i k1·r)

        A′1=A′1sexp (i k′1·r)

        A2=A2sexp (i k2·r)

        兩邊同除以e x p(- i ω1t),整理可得

        其中,Δω2=ω1-ω2,Δω1=ω1-ω′1.將式(3)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)并化簡(jiǎn)可得

        式(4)兩邊同除以exp (iΔ ω2t)得

        通常情況下,該方程中A′1≠0,A2≠0.觀察方程(5)的兩邊會(huì)發(fā)現(xiàn)其右邊與時(shí)間無(wú)關(guān),而左邊卻含有exp [i(Δω1-Δω2)t]時(shí)間因子,只存在兩種可能,第一種,當(dāng)Δω1=0時(shí),方程的左邊為零(即與時(shí)間無(wú)關(guān)),這就要求方程的右邊也為零,即有Δω2=0;第二種,當(dāng)Δω2=Δω1時(shí),則因子

        exp [i( Δω1-Δω2)t]≡1

        將這一結(jié)果代入式(3)并整理后可得

        仔細(xì)觀察式(6),其左邊為一個(gè)不為零的常量,這就要求方程右邊與時(shí)間無(wú)關(guān),即有Δω1=0.

        綜合上述兩種情況均可得出同一個(gè)結(jié)論,即反射光束和折射光束的角頻率都與入射光束的角頻率相等,將其表示成數(shù)學(xué)表達(dá)式為

        將式(7)代入式(1),兩邊同除以e x p[i(k1·rω1t)]化簡(jiǎn)得

        其中N =k′1-k1,N′=k2-k1.將算符

        作用于式(8)兩邊可得

        式(9)兩邊同除以N2exp (i N ′·r)得

        式(10 )的右邊與位矢r無(wú)關(guān),這就要求其左邊也與r無(wú)關(guān),即

        將式(11 )代入式(8)進(jìn)行整理后得

        式(12 )的左邊為一常量,這就要求右邊與r無(wú)關(guān),即N′·r=0.結(jié)合式(11 )易得

        其中,r為界面(x y平面)上任意位矢.由立體幾何知識(shí)可知,N和N′(或-N′)垂直界面,均可代表介質(zhì)界面的法線.

        下面利用矢量叉乘證明光的折射定律,證明過(guò)程中用-k1和k2分別代表入射光線和折射光線的位置,則入射角等于-k1與-N′之間的夾角θ1,折射角等于k2與N′之間夾角θ2,具體參見(jiàn)圖2.結(jié)合矢量減法的特點(diǎn)分析不難得出,-k1,k2和法線N′(或-N′)在同一平面內(nèi).根據(jù)矢量叉乘容易驗(yàn)證下面的方程成立

        圖2 各波矢及有關(guān)的矢量

        注意連等式(14 )的中間表達(dá)式中出現(xiàn)一個(gè)負(fù)號(hào),不難由“矢積的方向用右手螺旋法則確定”分析出-k1和k2分居法線兩側(cè),即折射光和入射光分居法線兩側(cè).式(14 )的兩邊取模得

        3 結(jié)論

        針對(duì)現(xiàn)有教材通過(guò)簡(jiǎn)單的觀察,對(duì)比方程(1)得出光的折射定律等有關(guān)內(nèi)容,大多數(shù)學(xué)生對(duì)所得結(jié)論難以接受,本文借助于高等數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)和矢量叉乘等加以適當(dāng)推導(dǎo),使得分析所得的結(jié)論更加一目了然,從而提高了課堂的教學(xué)效果.

        1 姚啟鈞.光學(xué)教程(第3版).北京:高等教育出版社,2006 .153 ~156

        2 宮彥軍,王喜昌,宋東草,等.折射定律與反射定律的推導(dǎo).物理實(shí)驗(yàn),2005 ,25 (2):41 ~43

        3 楊春艷,劉飛,吉恒,等.折射定律服從費(fèi)馬原理的一種證明方法.玉溪師范學(xué)院學(xué)報(bào),2010 ,26 (8):27 ~28

        4 田芊,廖延彪,孫利群.工程光學(xué)(第1版).北京:清華大學(xué),2007 .17 ~19

        5 郁益銀,談恒英.工程光學(xué)(第3版).北京:機(jī)械工業(yè)出版社,2013 .300 ~302

        6 梁燦彬,秦光戎,梁竹健.電磁學(xué)(第3版).北京:高等教育出版社,2012 .108 ~109

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