梁 雄 賴國忠
(龍巖學院 福建 龍巖 3640 12 )
反射定律和折射定律是幾何光學兩個基本定律,可利用費馬定理證明[1~3],也有一些《工程光學》教材是利用電磁場的連續(xù)條件來分析平面光波在各向同性介質(zhì)分界面上的反射和折射[4,5].這些教材一般都是列出s波(電場強度在垂直入射平面方向的分量)滿足電場強度切向連續(xù)的方程,然后,通過簡單的觀察和分析得出反射光波(或折射光波)的頻率與入射光頻率相等的有關(guān)內(nèi)容,但是教學中發(fā)現(xiàn),大多數(shù)學生對這樣的探討方式所得的結(jié)果疑惑不解,總覺得推導過程不夠嚴密.現(xiàn)就在原有方程的基礎(chǔ)上利用導數(shù)和矢量叉乘進行詳細分析和推導.
圖1 平面光波在界面處傳播
如圖1所示,一束光從折射率n1的介質(zhì)1入射到折射率n2的介質(zhì)2,電場矢量在垂直于入射面方向的分量稱作s波,平行于入射面的分量稱作p波,坐標系中y軸垂直紙面向外.根據(jù)電磁場的連續(xù)條件[6]列出電場的s波在界面處滿足的方程[5]
利用exp [i( α +β)]=e x p(iα)e x p(iβ) 可 將 式 (1)中時間部分和空間部分分離,并令入射光、反射光和折射光中的s波復振幅分別為
A1=A1sexp (i k1·r)
A′1=A′1sexp (i k′1·r)
A2=A2sexp (i k2·r)
即
兩邊同除以e x p(- i ω1t),整理可得
其中,Δω2=ω1-ω2,Δω1=ω1-ω′1.將式(3)對時間求一階導數(shù)并化簡可得
式(4)兩邊同除以exp (iΔ ω2t)得
通常情況下,該方程中A′1≠0,A2≠0.觀察方程(5)的兩邊會發(fā)現(xiàn)其右邊與時間無關(guān),而左邊卻含有exp [i(Δω1-Δω2)t]時間因子,只存在兩種可能,第一種,當Δω1=0時,方程的左邊為零(即與時間無關(guān)),這就要求方程的右邊也為零,即有Δω2=0;第二種,當Δω2=Δω1時,則因子
exp [i( Δω1-Δω2)t]≡1
將這一結(jié)果代入式(3)并整理后可得
仔細觀察式(6),其左邊為一個不為零的常量,這就要求方程右邊與時間無關(guān),即有Δω1=0.
綜合上述兩種情況均可得出同一個結(jié)論,即反射光束和折射光束的角頻率都與入射光束的角頻率相等,將其表示成數(shù)學表達式為
將式(7)代入式(1),兩邊同除以e x p[i(k1·rω1t)]化簡得
其中N =k′1-k1,N′=k2-k1.將算符
作用于式(8)兩邊可得
式(9)兩邊同除以N2exp (i N ′·r)得
式(10 )的右邊與位矢r無關(guān),這就要求其左邊也與r無關(guān),即
將式(11 )代入式(8)進行整理后得
式(12 )的左邊為一常量,這就要求右邊與r無關(guān),即N′·r=0.結(jié)合式(11 )易得
其中,r為界面(x y平面)上任意位矢.由立體幾何知識可知,N和N′(或-N′)垂直界面,均可代表介質(zhì)界面的法線.
下面利用矢量叉乘證明光的折射定律,證明過程中用-k1和k2分別代表入射光線和折射光線的位置,則入射角等于-k1與-N′之間的夾角θ1,折射角等于k2與N′之間夾角θ2,具體參見圖2.結(jié)合矢量減法的特點分析不難得出,-k1,k2和法線N′(或-N′)在同一平面內(nèi).根據(jù)矢量叉乘容易驗證下面的方程成立
圖2 各波矢及有關(guān)的矢量
注意連等式(14 )的中間表達式中出現(xiàn)一個負號,不難由“矢積的方向用右手螺旋法則確定”分析出-k1和k2分居法線兩側(cè),即折射光和入射光分居法線兩側(cè).式(14 )的兩邊取模得
針對現(xiàn)有教材通過簡單的觀察,對比方程(1)得出光的折射定律等有關(guān)內(nèi)容,大多數(shù)學生對所得結(jié)論難以接受,本文借助于高等數(shù)學中的導數(shù)和矢量叉乘等加以適當推導,使得分析所得的結(jié)論更加一目了然,從而提高了課堂的教學效果.
1 姚啟鈞.光學教程(第3版).北京:高等教育出版社,2006 .153 ~156
2 宮彥軍,王喜昌,宋東草,等.折射定律與反射定律的推導.物理實驗,2005 ,25 (2):41 ~43
3 楊春艷,劉飛,吉恒,等.折射定律服從費馬原理的一種證明方法.玉溪師范學院學報,2010 ,26 (8):27 ~28
4 田芊,廖延彪,孫利群.工程光學(第1版).北京:清華大學,2007 .17 ~19
5 郁益銀,談恒英.工程光學(第3版).北京:機械工業(yè)出版社,2013 .300 ~302
6 梁燦彬,秦光戎,梁竹?。姶艑W(第3版).北京:高等教育出版社,2012 .108 ~109