湯林松

蘇霍姆林斯基說過：“人的內(nèi)心有一種根深蒂固的需要，人們總想感到自己是發(fā)現(xiàn)者、研究者、探尋者?！笨梢?，學(xué)生都有著發(fā)現(xiàn)、探究知識并獲得成功的強(qiáng)烈愿望。因此，一次高效的課堂探究活動，在激發(fā)學(xué)生的思維、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力方面，具有不可估量的作用。那么，如何讓學(xué)生在課堂的有限時間內(nèi)完成對問題的深入探究？如何讓不同層面的學(xué)生都積極參與到學(xué)習(xí)活動中來？這就要求教師能夠精心地設(shè)計(jì)問題，充分考慮提出問題的時機(jī)，讓各小組的學(xué)生之間能有合作和分享，在學(xué)生交流、互動的過程中教師能進(jìn)行必要的點(diǎn)撥，把握好探究的方向和節(jié)奏，對于課堂生成教師能做到機(jī)智應(yīng)對。筆者在2012年12月份參加了第八屆“名師之路”大型教研活動暨南通市高中高效課堂推進(jìn)會，對上課教師的課堂探究活動進(jìn)行了認(rèn)真的觀察、分析，收獲良多，在此，摘選幾個優(yōu)秀案例，供同行們參考。

一、精心創(chuàng)設(shè)問題情境，培養(yǎng)學(xué)生的探究欲望

【案例片段】蘇教版必修5的正弦定理——對公式和定理的建構(gòu)

如圖1，Rt△ABC中的邊角關(guān)系：（用邊a，b，c，角A，B，C，外接圓半徑R表示）

sin A= ；sin B= ；sin C = .

a= ；b= ；c= .

如圖2、3，任意△ABC中的邊角關(guān)系也可以如此表示嗎？如何證明？（圖2、3中線段BD和CD是在探究過程中逐步加上去的）

教師先用投影儀給出第一個問題讓學(xué)生解答，因?yàn)槭窃谑煜さ闹苯侨切沃星蠼?，學(xué)生們很快就得出結(jié)論：■=■=■=2R。接著，教師給出第二個問題讓學(xué)生們分組合作探究，筆者觀察了身旁一個小組的互動情況。

學(xué)生顯得很好奇，探究欲望很強(qiáng)烈，躍躍欲試。

生1： 這個結(jié)論應(yīng)該是成立的，在等邊三角形中顯然成立。

生2：是啊，可怎么證明呢？

師：看能不能把任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決。

學(xué)生抬頭看圖1 。（沉思）

生3： 圖1中有直徑的，這里也作一條直徑試試。

生4： 對?。?這樣就可以有直角三角形了。（興奮）

學(xué)生開始各自動手作圖、研究、討論，得出這個問題的證明方法，互相交流并完善，然后由小組代表交給教師，教師再用實(shí)物投影儀展示其中寫得較好的幾組作品并做適當(dāng)?shù)难a(bǔ)充，最后用投影儀給出這個問題的證明過程如下：

證明：不妨設(shè)∠A為最大角。

（1）若∠A為直角（圖1），我們已經(jīng)證得結(jié)論成立。

（2）若∠A為銳角（圖2），作△ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結(jié)CD。因?yàn)橹睆剿鶎Φ膱A周角是直角，所以∠BCD=90°，因?yàn)橥∷鶎Φ膱A周角相等，所以∠D=∠A，所以■=■=BD（直徑）=2R。同理可得■=2R，所以 ■=■=■=2R

（3）若∠A為鈍角（圖3），作ABC的外接圓圓O，作直徑BD交圓O于D，連結(jié)CD。因?yàn)椤螪=180°-∠A，所以■=■=■=2R，同理可得■=2R，所以■=■=■=2R。

由（1）（2）（3）知，結(jié)論成立。

狄更斯說過：“ 教學(xué)的藝術(shù)全在于如何恰當(dāng)?shù)靥岢鰡栴}和巧妙地引導(dǎo)學(xué)生作答。”在該案例中，教師沒有照搬教材上的設(shè)計(jì)引入正弦定理，也沒有按照教材上的兩種證法給出證明，而是在習(xí)題的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)問題情境，引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，體現(xiàn)了教師獨(dú)具匠心的一面。首先，在直角三角形這個學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”上建構(gòu)新知，能有效地激發(fā)學(xué)生的思維，自然地喚起學(xué)生的探究欲望。其次，教師通過三角形的外接圓，引領(lǐng)學(xué)生把任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題，這不僅提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，而且讓學(xué)生從一開始就充分認(rèn)識到正弦定理中的比值是三角形外接圓的直徑，這樣有助于學(xué)生更全面、更深刻地理解定理和公式。教材上的兩種證法因?yàn)闆]有引入外接圓，故沒有明確比值為直徑，雖然在后面的習(xí)題中有所補(bǔ)充，但總有些“相見恨晚”的感覺。尤其是證法2利用了向量的數(shù)量積公式，方法雖好但門檻較高，筆者認(rèn)為這種方法更適合課堂講授或者課外探究。

二、設(shè)計(jì)課堂有效對話，引領(lǐng)學(xué)生深入探究

【案例片段】蘇教版選修2-1的空間角的計(jì)算——對用向量法求二面角的進(jìn)一步探究

如圖4， 在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A1-BD-C1的大小。

學(xué)生通過計(jì)算分別得到了平面A1BD的法向量n1和平面C1BD的法向量n2的坐標(biāo)，由于選取法向量方向的不同，在求cos時出現(xiàn)了兩個不同的結(jié)果■和-■，而二面角A1-BD-C1的余弦值是唯一的，應(yīng)如何取舍呢？

師： 根據(jù)圖形可知，二面角A1-BD-C1的余弦值為■。（書本上的做法）

同學(xué)們開始議論起來，表示有異議。

生1：為什么不是-■呢？圖形上不好確定該二面角的平面角是鈍角還是銳角。

師： 說得好，你很有想法，那有什么好的方法可以解決這個問題呢？

學(xué)生沉思。

生2 ：先確定兩個法向量的方向。

師： 好的， 大家畫一下二面角半平面法向量的所有情況，先獨(dú)立思考，再分組研究，尋找規(guī)律。

全體學(xué)生開始動手畫圖，獨(dú)立思考后把自己的想法和小組的同伴交流、分享。

生3：當(dāng)兩個法向量的方向同時指向半平面或同時離開半平面時，平面角和法向量的夾角互補(bǔ)；當(dāng)其中一個法向量指向半平面，另一個法向量離開半平面時，平面角和法向量的夾角相等。

師：分析得好，能否用更簡潔的語言描述這個規(guī)律呢？

生4： 同進(jìn)同離則補(bǔ)，一進(jìn)一離則等。

生5：我有更簡潔的：同則補(bǔ)，異則等。（學(xué)生熱列鼓掌）

德國教育家第斯多惠說過：“教學(xué)的藝術(shù)不在于傳授本領(lǐng)，而在于激勵、喚醒和鼓舞?！痹谠摪咐校處煕]有把結(jié)論直接告訴學(xué)生，而是通過精心設(shè)計(jì)的師生對話，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，激起學(xué)生生動、活潑的思考，激勵學(xué)生通過自己的能力探究和解決問題，學(xué)生最終突破難點(diǎn)，獲得了成功。

三、引入科學(xué)評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學(xué)展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學(xué)們在剛才合作交流的過程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評一下對方。

生3：你在別人發(fā)言時能認(rèn)真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對問題有獨(dú)到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績，還有你執(zhí)著的精神。

美國著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定。”在本案例中，學(xué)生通過合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對學(xué)習(xí)方法的升華。同時，教師引入了學(xué)生間的相互評價，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認(rèn)識了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現(xiàn)。

三、引入科學(xué)評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學(xué)展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學(xué)們在剛才合作交流的過程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評一下對方。

生3：你在別人發(fā)言時能認(rèn)真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對問題有獨(dú)到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績，還有你執(zhí)著的精神。

美國著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定?！痹诒景咐校瑢W(xué)生通過合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對學(xué)習(xí)方法的升華。同時，教師引入了學(xué)生間的相互評價，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認(rèn)識了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現(xiàn)。

三、引入科學(xué)評價，促成師生愉快的合作和高效的探究

【案例片段】高三復(fù)習(xí)課——對高考真題的數(shù)學(xué)課堂功能的挖掘

若正實(shí)數(shù)x，y滿足2x+y+6=xy，則xy的最小值是 .

教師通過引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究，得出如下三種解法。

方法一：∵2x+y+6=xy，∴y=■，而y>0，∴■>0，即x>1，故x-1>0，∴xy=x·■=2（x-1）+■+10≥18，當(dāng)且僅當(dāng)2（x-1）=■即x=3時取等號.

∴xy的最小值為18.

方法二：∵x，y為正數(shù)，∴2x+y≥2■，又2x+y+6=xy，∴xy≥2■+6，即（■）2-2■■-6≥0∴xy≥18.∴xy的最小值為18.

方法三：若設(shè)2xy=2t，則2x+y=t-6，∴2x，y是方程u2-（t-6）u+2t=0的兩個正根. 從而由△=（t-6）■-8t≥02x+y=t-6>0 2xy=2t>0

同時成立得t≥18.∴xy的最小值為18.

師：請同學(xué)們探究一下這三種方法的思想來源。

各小組同學(xué)展開熱烈討論。

生1：這三種方法分別從函數(shù)、不等式、方程的角度來解決問題 。

生2：解決不等式問題需要函數(shù)的幫助，解決函數(shù)問題需要方程、不等式的幫助。

師：說得很不錯，函數(shù)、方程與不等式就像“一胞三兄弟”，我們借助函數(shù)、方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化難為易、化繁為簡。

師：同學(xué)們在剛才合作交流的過程中，表現(xiàn)都很好，下面我想請同組的生3和生4兩位同學(xué)互相點(diǎn)評一下對方。

生3：你在別人發(fā)言時能認(rèn)真傾聽；在交流時，把自己的想法和知道的信息都說出來，而且在合作交流的過程中你都在積極思考問題，值得我們學(xué)習(xí)。

生4： 你對問題有獨(dú)到的見解，大家體會到了你豐厚的知識、扎實(shí)的基本功。我欣賞的不僅是你優(yōu)異的成績，還有你執(zhí)著的精神。

美國著名心理學(xué)家威廉·詹姆士曾說過：“人類本質(zhì)中最殷切的需求是渴望被肯定?！痹诒景咐校瑢W(xué)生通過合作探究，自然地“悟”到了數(shù)學(xué)思想，完成了對學(xué)習(xí)方法的升華。同時，教師引入了學(xué)生間的相互評價，使學(xué)生在得到同伴肯定的同時，全面、正確地認(rèn)識了自己，增強(qiáng)了自信心，獲得了一次愉快的情感體驗(yàn)，并促使他們在以后的合作探究中有更好的表現(xiàn)。