謝 佳 劉洪慶

(仁懷市酒都高級(jí)中學(xué) 貴州 仁懷 564500)

貴刊于2013年第6期刊發(fā)了“2011年高考山東理綜卷第22題的定量求解”一文，筆者有幸研讀后，感覺(jué)原文作者并未實(shí)現(xiàn)真正意義上對(duì)選項(xiàng)D的定量求解分析，于是產(chǎn)生了再議該題定量解答的想法．

1 原題和原作者解答簡(jiǎn)述

1.1 原題

題目：(2011年高考山東卷第22題)如圖1所示，兩固定的豎直光滑金屬導(dǎo)軌足夠長(zhǎng)且電阻不計(jì)．兩質(zhì)量、長(zhǎng)度均相同的導(dǎo)體棒c和d，置于邊界水平的勻強(qiáng)磁場(chǎng)上方同一高度h處．磁場(chǎng)寬為3h，方向與導(dǎo)軌平面垂直．先由靜止釋放c，c剛進(jìn)入磁場(chǎng)即勻速運(yùn)動(dòng)，此時(shí)再由靜止釋放d，兩導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終保持良好接觸．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的動(dòng)能，xc和xd分別表示c和d相對(duì)釋放點(diǎn)的位移．圖2中正確的是

圖1

圖2

1.2 原作者解答簡(jiǎn)述

令d棒下落高度分別為h和2h時(shí)速度分別為v1和v2，則有

當(dāng)c棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，合力為零，則有

由上述分析可得

(1)

又

則

(2)

由于v2>v1，故c棒離開(kāi)磁場(chǎng)后(c棒出磁場(chǎng)時(shí)，d棒下落至2h處)，d棒所受安培力大于重力，d棒減速．令d棒離開(kāi)磁場(chǎng)前任意時(shí)刻的速度為vt，加速度為a，則有

所以

(3)

由式(1)、(2)、(3)可得

(4)

由于d棒在磁場(chǎng)中受安培力作用后，加速度減小，根據(jù)平均速度和勻變速運(yùn)動(dòng)知識(shí)有

(5)

(6)

整理式(6)可得

解不等式得

其中一解不合題意舍去，即可得

2 定量解答再分析

從原作者的解答看，通過(guò)對(duì)速度的分析則判定出d棒的動(dòng)能Ek和下落高度h之間的函數(shù)圖像必然正確的觀點(diǎn)值得商榷．筆者認(rèn)為，這樣的分析并不能給出佐證選項(xiàng)D正確的充分理由，更不能說(shuō)明d棒從2h下落至4h過(guò)程中動(dòng)能Ek與下落高度h之間的函數(shù)圖像為什么是選項(xiàng)D中所呈現(xiàn)的圖像.鑒于此，現(xiàn)對(duì)選項(xiàng)D做如下的定量回歸分析．

2.1 尋找速度v與時(shí)間t的定量關(guān)系

令豎直向下為正向，d棒從2h下落至4h過(guò)程中任意時(shí)刻的加速度和速度分別為a和v，c和d的總電阻為R，則有

(7)

因此有

積分可得

ln(g-Av)=-At+C

(8)

當(dāng)t=0，v=v0則

C=ln(g-Av0)

所以有

整理上式可得速度v與時(shí)間t的定量關(guān)系

(9)

2.2 尋找位移x與時(shí)間t的定量關(guān)系

令d棒下落過(guò)程中開(kāi)始受安培作用的初位置為位移起點(diǎn)．根據(jù)式(3)可得

(10)

由式(10)有

積分可得

(11)

當(dāng)t=0，x0=0，則

因此可得位移x和時(shí)間t之間的定量關(guān)系

(12)

2.3 原文作者定量分析回歸

(13)

整理式(13)可得超越方程

(14)

解超越方程得

t=0.776 46 s

將t=0.776 46 s代入式(9)可得，d棒離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度v=1.19g．而c棒剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度

2.4 動(dòng)能Ek與位移x函數(shù)關(guān)系的定量分析

(15)

(16)

表1 動(dòng)能Ek對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)

由表1中動(dòng)能Ek與位移x的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，利用Excel工具處理數(shù)據(jù)可得圖3．

圖3

從圖3可看出動(dòng)能Ek與位移x的對(duì)應(yīng)關(guān)系與D選項(xiàng)給出的d棒從2h運(yùn)動(dòng)至4h過(guò)程中函數(shù)關(guān)系圖像吻合．結(jié)合圖像，猜想d棒從2h運(yùn)動(dòng)至4h過(guò)程中動(dòng)能Ek與位移x滿足

Ek=Ek0e-bx

(17)

根據(jù)表1中動(dòng)能Ek與位移x的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，結(jié)合式(17)可得表2．

表2 動(dòng)能Ek與位移x對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)

在數(shù)據(jù)處理誤差允許的范圍內(nèi)，可近似認(rèn)為系數(shù)b為一定值，即b=0.037，猜想成立，則可得動(dòng)能Ek與位移x之間的定量關(guān)系

Ek=Ek0e-0.037x

(18)

通過(guò)對(duì)上述定量關(guān)系的分析，充分佐證了選項(xiàng)D給出的函數(shù)圖像的正確性，實(shí)現(xiàn)了真正意義上數(shù)理定量分析的良好愿望．本文是筆者的個(gè)人見(jiàn)解，希望讀者再次求證．