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        梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻通項(xiàng)公式求法

        2014-06-27 02:04:56駱憲武
        物理通報(bào) 2014年11期
        關(guān)鍵詞:通項(xiàng)梯形電阻

        駱憲武

        (長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué) 湖南 長(zhǎng)沙 410002)

        對(duì)于二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻,我們通常采用極限法來求解. 所謂極限法,就是先設(shè)K個(gè)網(wǎng)絡(luò)元組成二端網(wǎng)絡(luò),將其等效電阻記為RK;再連接一個(gè)網(wǎng)絡(luò)元,其等效電阻記為RK+1. 設(shè)法找出RK+1與RK之間的遞推關(guān)系,最后令K→∞,則RK+1與RK就都是所求的由無窮網(wǎng)絡(luò)元構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.RK+1與RK之間的遞推關(guān)系成為關(guān)于等效電阻的一元代數(shù)方程,解此方程可得出等效電阻. 但這種做法不夠嚴(yán)謹(jǐn),我們不能無根據(jù)地認(rèn)為,K→∞時(shí),一定有RK+1=RK=R∞的結(jié)果.因?yàn)橹挥性谧C明數(shù)列R1,R2,…,RK,…存在極限R∞之后,才有K→∞時(shí),RK+1=RK=R∞的結(jié)果.即從嚴(yán)格意義上,我們首先要由RK+1與RK之間的遞推關(guān)系得出RK的通項(xiàng)式,然后證明{RK}是單調(diào)數(shù)列且存在極限,最后求出RK的極限,才為電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.因此,由RK+1與RK之間的遞推關(guān)系得出RK的通項(xiàng)式是關(guān)鍵.筆者在物理競(jìng)賽培訓(xùn)中,發(fā)現(xiàn)學(xué)生從物理和數(shù)學(xué)的角度,很好地探討了一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻RK通項(xiàng)式的求法,加以整理,供大家參考.

        圖1

        圖1所示為一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò),它由K→∞個(gè)相同的網(wǎng)絡(luò)元串接而成,每個(gè)網(wǎng)絡(luò)元包含3個(gè)相同的電阻R.試求該無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻RK通項(xiàng)式.

        1 電流分布法

        圖2

        假設(shè)電流由A流入,由B流出,由對(duì)稱性可知,每個(gè)單元格上下兩電阻中電流相等,電流分布如圖2所示. 考察第n個(gè)網(wǎng)格,1≤n≤k,n∈N+,i1=I.由基爾霍夫定律得

        Rin+R(in-in+1)+Rin-R(in-1-in)=0

        化簡(jiǎn)可得

        in+1+in-1=4in

        設(shè)

        in+1-αin=β(in-αin-1)

        比較兩式有

        即α,β為方程x2-4x+1=0的兩根.

        又因?yàn)橐M(jìn)的系數(shù)α,β地位均等,故in+1-αin與in+1-βin均為等比數(shù)列,公比分別為β,α,所以

        取n=K,又由初始條件i1=I,則有

        再考慮最后第K個(gè)單元格有

        圖33RiK-R(iK-1-iK)=0

        所以iK-1=4iK,代入上述方程組有

        注意到

        代入得

        對(duì)該二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)

        UAB=2IR+(I-i2)R=

        所以

        2 構(gòu)造數(shù)列待定系數(shù)法

        求數(shù)列的通項(xiàng)公式,最為廣泛的辦法是,把所給的遞推關(guān)系變形,使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式,于是就可以由此推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式.求解的關(guān)健在于變形的技巧,而變形的技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù).其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量,構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量,使之成為等差或等比數(shù)列.

        本題中,由圖1可知RK與RK+1之間的關(guān)系為

        可以將其化簡(jiǎn)為

        則上式變?yōu)?/p>

        aKaK+1-3aK+aK+1-2=0

        (1)

        為了消去常數(shù)項(xiàng),令bK=aK-m,上式變?yōu)?/p>

        bKbK+1-pbK+qbK+1=0

        (2)

        比較式(1)、(2),aK,aK+1項(xiàng)的系數(shù)相同,有

        可得

        則式(2)可變?yōu)?/p>

        兩邊同除bKbK+1得

        (3)

        同理,令DK=CK-T,有

        (4)

        所以

        3 不動(dòng)點(diǎn)法

        當(dāng)特征方程有且僅有一個(gè)根λ時(shí),分為以下情形:

        若a1=λ,則an=λ,n∈N;

        n∈N.特別地,當(dāng)存在n0∈N,使bn0=0時(shí),無窮數(shù)列an不存在.

        如前述,RK與RK+1之間的遞推關(guān)系為

        銅仁市大部年降水量為1 100~1 400毫米,位于梵凈山東南側(cè)的凱馬、落滿一帶降水為1 100~1 400毫米,松桃縣、江口縣、萬山區(qū)一帶為1 150~1 300毫米,印江縣和石阡縣一帶為全區(qū)最少區(qū)域,降水量1 100~1 150毫米,其中4~9月降水量占75%以上,秋收作物主要生育期雨量相當(dāng)充沛。

        則上式變?yōu)?/p>

        且a1=3.

        先求不動(dòng)點(diǎn). 為此,令

        解得

        ……

        由上K-1個(gè)式子累積相乘可得

        又由初始條件a1=3,可得

        上式變?yōu)?/p>

        代入

        則RK的通項(xiàng)式為

        通過對(duì)一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻通項(xiàng)式的求法探討,學(xué)生積極思考,得出幾種不同的求法,深化了對(duì)物理知識(shí)的理解,將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)靈活加以應(yīng)用,交流中開闊了視野、提升了能力,正是我們?cè)诟?jìng)賽培訓(xùn)過程中期許的結(jié)果.

        參考文獻(xiàn)

        1 舒幼生,等.物理學(xué)難題集萃.北京:高等教育出版社,1999.680~683

        2 趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)(第二版上下冊(cè)).北京:高等教育出版社,1991

        3 邵建新.梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的通項(xiàng)式.物理與工程,2006(4):29~33

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