駱憲武

(長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡中學(xué) 湖南 長(zhǎng)沙 410002)

對(duì)于二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，我們通常采用極限法來求解. 所謂極限法，就是先設(shè)K個(gè)網(wǎng)絡(luò)元組成二端網(wǎng)絡(luò)，將其等效電阻記為RK；再連接一個(gè)網(wǎng)絡(luò)元，其等效電阻記為RK+1. 設(shè)法找出RK+1與RK之間的遞推關(guān)系，最后令K→∞，則RK+1與RK就都是所求的由無窮網(wǎng)絡(luò)元構(gòu)成的二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.RK+1與RK之間的遞推關(guān)系成為關(guān)于等效電阻的一元代數(shù)方程，解此方程可得出等效電阻． 但這種做法不夠嚴(yán)謹(jǐn)，我們不能無根據(jù)地認(rèn)為，K→∞時(shí)，一定有RK+1=RK=R∞的結(jié)果.因?yàn)橹挥性谧C明數(shù)列R1,R2,…，RK,…存在極限R∞之后，才有K→∞時(shí)，RK+1=RK=R∞的結(jié)果.即從嚴(yán)格意義上，我們首先要由RK+1與RK之間的遞推關(guān)系得出RK的通項(xiàng)式，然后證明{RK}是單調(diào)數(shù)列且存在極限，最后求出RK的極限，才為電阻網(wǎng)絡(luò)的等效電阻.因此，由RK+1與RK之間的遞推關(guān)系得出RK的通項(xiàng)式是關(guān)鍵.筆者在物理競(jìng)賽培訓(xùn)中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生從物理和數(shù)學(xué)的角度，很好地探討了一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻RK通項(xiàng)式的求法，加以整理，供大家參考.

圖1

圖1所示為一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)，它由K→∞個(gè)相同的網(wǎng)絡(luò)元串接而成,每個(gè)網(wǎng)絡(luò)元包含3個(gè)相同的電阻R.試求該無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻RK通項(xiàng)式.

1 電流分布法

圖2

假設(shè)電流由A流入，由B流出，由對(duì)稱性可知，每個(gè)單元格上下兩電阻中電流相等，電流分布如圖2所示. 考察第n個(gè)網(wǎng)格，1≤n≤k,n∈N+,i1=I.由基爾霍夫定律得

Rin+R(in-in+1)+Rin-R(in-1-in)=0

化簡(jiǎn)可得

in+1+in-1=4in

設(shè)

in+1-αin=β(in-αin-1)

比較兩式有

即α，β為方程x2-4x+1=0的兩根.

或

又因?yàn)橐M(jìn)的系數(shù)α，β地位均等，故in+1-αin與in+1-βin均為等比數(shù)列，公比分別為β，α，所以

取n=K,又由初始條件i1=I,則有

再考慮最后第K個(gè)單元格有

圖33RiK-R(iK-1-iK)=0

所以iK-1=4iK，代入上述方程組有

注意到

代入得

對(duì)該二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)

UAB=2IR+(I-i2)R=

所以

2 構(gòu)造數(shù)列待定系數(shù)法

求數(shù)列的通項(xiàng)公式，最為廣泛的辦法是，把所給的遞推關(guān)系變形，使之成為某個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列的形式，于是就可以由此推得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．求解的關(guān)健在于變形的技巧，而變形的技巧主要在于引進(jìn)待定系數(shù)．其基本原理是遞推關(guān)系兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差或等比數(shù)列．

本題中，由圖1可知RK與RK+1之間的關(guān)系為

可以將其化簡(jiǎn)為

令

則上式變?yōu)?/p>

aKaK+1-3aK+aK+1-2=0

(1)

為了消去常數(shù)項(xiàng)，令bK=aK-m，上式變?yōu)?/p>

bKbK+1-pbK+qbK+1=0

(2)

比較式(1)、(2)，aK，aK+1項(xiàng)的系數(shù)相同，有

可得

則式(2)可變?yōu)?/p>

兩邊同除bKbK+1得

(3)

同理，令DK=CK-T，有

(4)

所以

3 不動(dòng)點(diǎn)法

當(dāng)特征方程有且僅有一個(gè)根λ時(shí),分為以下情形：

若a1=λ,則an=λ,n∈N;

n∈N.特別地，當(dāng)存在n0∈N,使bn0=0時(shí)，無窮數(shù)列an不存在.

如前述，RK與RK+1之間的遞推關(guān)系為

令

銅仁市大部年降水量為1 100～1 400毫米，位于梵凈山東南側(cè)的凱馬、落滿一帶降水為1 100～1 400毫米，松桃縣、江口縣、萬山區(qū)一帶為1 150～1 300毫米，印江縣和石阡縣一帶為全區(qū)最少區(qū)域，降水量1 100～1 150毫米，其中4～9月降水量占75%以上，秋收作物主要生育期雨量相當(dāng)充沛。

則上式變?yōu)?/p>

且a1=3.

先求不動(dòng)點(diǎn). 為此，令

解得

……

由上K-1個(gè)式子累積相乘可得

又由初始條件a1=3，可得

上式變?yōu)?/p>

代入

得

則RK的通項(xiàng)式為

通過對(duì)一個(gè)二端無限梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻通項(xiàng)式的求法探討，學(xué)生積極思考，得出幾種不同的求法，深化了對(duì)物理知識(shí)的理解，將所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)靈活加以應(yīng)用，交流中開闊了視野、提升了能力，正是我們?cè)诟?jìng)賽培訓(xùn)過程中期許的結(jié)果．

參考文獻(xiàn)

1 舒幼生，等.物理學(xué)難題集萃.北京：高等教育出版社，1999.680～683

2 趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)(第二版上下冊(cè)).北京：高等教育出版社，1991

3 邵建新.梯形電阻網(wǎng)絡(luò)等效電阻的通項(xiàng)式.物理與工程,2006(4)：29～33