項(xiàng)國波，曾念寅

（1.武漢理工大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，湖北 武漢 430070；2.福州大學(xué)電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108）

1 引言

自從最優(yōu)控制論產(chǎn)生之后，人們總以為它就是最優(yōu)了，不可能對(duì)它再優(yōu)化了。實(shí)際上，現(xiàn)有所有最優(yōu)控制論，其理論基礎(chǔ)都是建立在已知的常規(guī)器件上。線性最優(yōu)控制論，其組件都是線性的，如具有無靜差的最優(yōu)控制論，它的無諍差就是依賴于線性積分器；非線性最優(yōu)控制論，是建立在常見的已知客觀自然存在的幾種非線性器件上，如棒棒控制是建立在己知的自然存在的理想繼電器之上等。

新器件的創(chuàng)立，將從根本上提高已有最優(yōu)控制系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)，隨之也會(huì)產(chǎn)生新的最優(yōu)控制理論。例如為了克服線性積分器的缺陷，人們創(chuàng)造了一些非線性積分器：Clegg積分器［1］；智能積分器［2］；X-Q過渡過程PID，和具有超前相位的過渡過程PID，等等，相應(yīng)地建立了多目標(biāo)優(yōu)化控制理論［3-7］。

但在前述所有控制系統(tǒng)中，其放大器都是線性的，仍不能最充分地提高已有最優(yōu)控制系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)。本文將給出一種新型的放大器，叫作均方根放大器，簡稱SQF放大器，利用這種新型的放大器，將會(huì)徹底改造現(xiàn)有所有的最優(yōu)控制論。作為范例，本文僅用它來改善已獲廣泛工程應(yīng)用的X-Y-Ⅲ型ITAE最優(yōu)控制律［8-18］，從而得到一種更加快速平穩(wěn)的最佳控制律，供工程人員選用，也期望以此為開端，吸引更多研究人員去創(chuàng)立新的最佳控制論。

2 SQF放大器

對(duì)控制系統(tǒng)而言，線性放大器并不是一個(gè)理想的放大器。過渡過程之初，控制信號(hào)總是很小的。而要實(shí)現(xiàn)既快速又平穩(wěn)的暫態(tài)過程，則要求在過渡過程之初，其放大器的增益應(yīng)盡可能地大，盡快加速；而當(dāng)過渡過程臨近結(jié)束之時(shí)，其放大系數(shù)卻要盡量地小，及時(shí)制動(dòng)。用控制信號(hào)u的n次均方根函數(shù)作為放大器，就能實(shí)現(xiàn)這兩種矛盾的功能。因此理想放大器的放大系數(shù)ks應(yīng)具有下述函數(shù)增益功能：

式中：u為控制信號(hào)；n=1，2，3，…。

滿足式（1）函數(shù)增益功能的結(jié)構(gòu)圖如圖1所示。

圖1 均方根放大器的結(jié)構(gòu)圖Fig.1 The structure diagram of the square?root amplifier

它在勻速輸入下其輸出響應(yīng)如圖2所示。

圖2 均方根放大器放大功能Fig.2 The amplifier function of the square?root amplifier

圖2中曲線從右至左，直線表示輸入，4條曲線為SQF輸出，表示其放大系數(shù)分別為和等。

結(jié)果表明：當(dāng)n=0時(shí)，它是一個(gè)線性放大器；當(dāng)n趨于∞時(shí)，ks趨于無窮大。我們稱具有這種功能的放大器為SQF放大器，它實(shí)質(zhì)上是個(gè)非線性放大器：小信號(hào)時(shí)，它起加速作用；大信號(hào)時(shí)，它發(fā)揮制動(dòng)功能，而且功能的轉(zhuǎn)換是隨著控制信號(hào)的大小，自動(dòng)完成的。

3 用SQF放大器改善ITAE優(yōu)化控制律的品質(zhì)指標(biāo)

我們?cè)?jīng)證明X-Y-Ⅲ型ITAE最佳傳函，是描述一個(gè)快速平穩(wěn)的線性優(yōu)化控制系統(tǒng)［12］，現(xiàn)用SQF放大器對(duì)它進(jìn)行再優(yōu)化。

圖3給出2階X-Y-Ⅲ型ITAE最佳傳函分別用線性放大器、1-SQF-ITAE、2-SQF-ITAE和3-SQF-ITAE 4個(gè)優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。后3個(gè)系統(tǒng)實(shí)質(zhì)是線性ITAE最優(yōu)系統(tǒng)的非線性化后再優(yōu)化的控制系統(tǒng)。非線性化系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)，是一個(gè)新的理論難題。但是從工程應(yīng)用角度來看，利用Matlab強(qiáng)大的運(yùn)算功能，依靠人工智能，在原有X-Y-Ⅲ型ITAE最佳結(jié)構(gòu)圖中，插入SQF放大器后，示其系統(tǒng)響應(yīng)如何，再適當(dāng)調(diào)節(jié)有關(guān)參數(shù)，就能獲得滿意的優(yōu)化參數(shù)。

圖3 用SQF放大器對(duì)2階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)進(jìn)行再優(yōu)化的結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Re?optimization structure diagram of two?order X?Y?ⅢITAE optimal control systems based on the SQF

圖3中從上至下，第1，第2，第3和等4組框圖，分別表示2階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)、串聯(lián)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)u放大器進(jìn)行再優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)圖。

在Matlab系統(tǒng)中構(gòu)造圖3的2階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數(shù)為

仿真結(jié)果，其超調(diào)σ%≈1%，輸出到達(dá)95%期望值時(shí)，定義它是過渡過程所需的時(shí)間ts0=3.4344。

在上述系統(tǒng)中，插入1個(gè)u放大器后，構(gòu)成圖3第2組系統(tǒng)。升速加快，但接近期望值時(shí)，該放大器發(fā)出制動(dòng)功能，速度變慢，因此要保持超調(diào)σ%≈1%條件，就要增大被控對(duì)象的放大系數(shù)ks1，這時(shí)改善后系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為此時(shí)系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)：σ%≈1%；ts1=2.639，增速了23.16%。即串聯(lián)1個(gè)u放大器后，只要增加1個(gè)放大系數(shù)ks1=1.6120的線性放大器后，就能達(dá)到初步優(yōu)化的目的。要再優(yōu)化它，就要再串聯(lián)幾個(gè)。圖3共串聯(lián)4個(gè)。它們的開環(huán)傳遞函數(shù)列于表1第1列。

同理可得，它們的響應(yīng)特性如圖4所示。

圖4 2階X?Y?Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)Fig.4 The response of two?order X?Y?Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

圖4中曲線從右至左，分別表示2階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)、串聯(lián)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)u放大器進(jìn)行再優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)特性。它們的品質(zhì)指標(biāo)匯總于表1。

表1 2階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的傳函和品質(zhì)指標(biāo)Tab.1 Transfer functions and quality indicators of the two?order X?Y?Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

結(jié)果表明，串聯(lián)均方根放大器愈多，增速愈高：串聯(lián)1個(gè)，增速23.16%；串聯(lián)2個(gè)，增速38.36%；串聯(lián)3個(gè)，增速42.9%；串聯(lián)4個(gè)，增速47.01%，超過3個(gè)，再增速甚微，因此并不是串聯(lián)的愈多效果愈顯著。

同理，對(duì)3階X-Y-Ⅲ型ITAE最佳傳函分別串聯(lián)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)和4個(gè)u放大器進(jìn)行再優(yōu)化，其結(jié)構(gòu)圖示于圖5，而系統(tǒng)的響應(yīng)如圖6所示。

圖5 用SQF放大器對(duì)3階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)進(jìn)行再優(yōu)化的結(jié)構(gòu)圖Fig.5 Re?optimization structure diagram of three?order X?Y?ⅢITAE optimal control systems based on the SQF

圖6 3階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)Fig.6 The response of three?order X-Y-Ⅲ ITAE optimalcontrol system and its re?optimization systems

圖6中曲線從右至左，分別表示3階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)、串聯(lián)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)，4個(gè)u放大器進(jìn)行再優(yōu)化后的系統(tǒng)響應(yīng)特性。結(jié)果表明，對(duì)3階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)而言，僅調(diào)節(jié)ksi系數(shù)不夠，還要調(diào)節(jié)β2，方能獲得滿意的響應(yīng)。它們的品質(zhì)指標(biāo)數(shù)值結(jié)果列于表2。

結(jié)果指出：對(duì)于3階系統(tǒng)而言，串聯(lián)1個(gè)均方根放大器，僅增速5.97%，效果不大；串聯(lián)2個(gè)，增速23.45%；串聯(lián)3個(gè)，增速31.56%；串聯(lián)4個(gè)，增速40.08%。原系統(tǒng)有2個(gè)振蕩周期，非線性化后，振蕩消除了。系統(tǒng)更加快速平穩(wěn)。

同理，對(duì)4階X-Y-Ⅲ型ITAE最佳傳函分別用串聯(lián)1個(gè)、2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)和5個(gè)u放大器進(jìn)行再優(yōu)化，其結(jié)構(gòu)圖示于圖7，而系統(tǒng)的響應(yīng)如圖8所示。

表2 3階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的傳函和品質(zhì)指標(biāo)Tab.2 Transfer functions and quality indicators of the three?order X-Y-Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

圖7 用SQF放大器對(duì)4階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)進(jìn)行再優(yōu)化的結(jié)構(gòu)圖Fig.7 Re?optimization structure diagram of four?order X-Y-ⅢITAE optimal control systems based on the SQF

圖8 4階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)Fig.8 The response of four?order X-Y-Ⅲ ITAE optimal control system and its further optimize systems

圖8中曲線從右至左，分別表示4階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)特性。其性能指標(biāo)示于表3。

結(jié)果表明，原4階X-Y-Ⅲ型ITAE線性優(yōu)化控制系統(tǒng)，有3次振蕩周期。串聯(lián)均方根放大器之后，振蕩消除了。串聯(lián)1個(gè)均方根放大器，要調(diào)節(jié)3個(gè)參數(shù)，才能獲得滿意效果，初始升速較快，但升到60%期望值后，反而變慢，過渡過程變慢了17.59%；串聯(lián)2個(gè)，增速也僅5.55%；串聯(lián)3個(gè)，增速15.64%；串聯(lián)4個(gè)后，要調(diào)節(jié)4個(gè)參數(shù)，才獲得增速21.57%；串聯(lián)5個(gè)，增速僅22.73%。故對(duì)4階X-Y-Ⅲ型ITAE線性優(yōu)化控制系統(tǒng)而言，至少要串聯(lián)3個(gè)或4個(gè)均方根放大器，才能有效增速。

表3 4階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的傳函和品質(zhì)指標(biāo)Tab.3 Transfer functions and quality indicators of the four?order X-Y-Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

圖9給出5階X-Y-Ⅲ型ITAE最佳傳函分別用線性放大器、1-SQF-ITAE、2-SQF-ITAE和3-SQF-ITAE 4個(gè)優(yōu)化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖，而再優(yōu)化后系統(tǒng)的響應(yīng)示于圖10。

圖9 用SQF放大器對(duì)5階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)進(jìn)行再優(yōu)化的結(jié)構(gòu)圖Fig.9 Re?optimization structure diagram of five?order X-Y-ⅢITAE optimal control systems based on the SQF

圖10中曲線從右至左，分別表示5階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)特性。其性能指標(biāo)示于表4。

圖10 5階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的響應(yīng)Fig.10 The response of five?order X-Y-Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

表4 5階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)及其再優(yōu)化后的傳遞函數(shù)和性能指標(biāo)Tab.4 Transfer functions and quality indicators of the five?order X-Y-Ⅲ ITAE optimal control system and its re?optimization systems

結(jié)果表明：原5階X-Y-Ⅲ型ITAE優(yōu)化控制系統(tǒng)具有3次振蕩周期。加上SQF放大器再優(yōu)化后，振蕩消失。系統(tǒng)變得更加平穩(wěn)。從數(shù)字上看，串聯(lián)一個(gè)均方根放大器，減速19.68%；串聯(lián)2個(gè)，減速10.26%；串聯(lián)3個(gè)，減速0.17%，即串聯(lián)3個(gè)以下，再優(yōu)化系統(tǒng)后，根據(jù)我們所定義的過渡過程時(shí)間反而變長。直到串聯(lián)4個(gè)均方根放大器后，才獲得增速1.62%；串聯(lián)5個(gè)，也只增速4.878%。但從響應(yīng)特性看，在輸出小于80%之前，上升仍是很快。

4 結(jié)論

綜上所述，應(yīng)用均方根放大器的確能提高線性最優(yōu)控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)，被控系統(tǒng)維數(shù)愈高，需要串聯(lián)的均方根放大器個(gè)數(shù)也愈多，這是因?yàn)楸豢叵到y(tǒng)中的每一維都是一個(gè)儲(chǔ)能的慣性環(huán)節(jié)，它們既需要加速儲(chǔ)能，也需要即時(shí)制動(dòng)，方能實(shí)現(xiàn)其既快速又平穩(wěn)的過渡過程。

文中雖然只討論如何應(yīng)用均方根放大器，去改善具有X-Y-Ⅲ型ITAE最佳控制律系統(tǒng)的品質(zhì)指標(biāo)，但其原理具有普適性。適用于任何優(yōu)化控制系統(tǒng)。該方法簡單實(shí)用，只要工程人員具有基本技能，用此法就能顯著提高他所設(shè)計(jì)的優(yōu)化控制系統(tǒng)品質(zhì)指標(biāo)。

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