楊邦王

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

洛侖茲-狄拉克方程的新降階方法

楊邦王

(溫州大學(xué)物理與電子信息工程學(xué)院，浙江溫州 325035)

針對(duì)洛侖茲-狄拉克方程的新降階方法在氫原子中的適用尺度問題，通過數(shù)值計(jì)算二維氫原子來比較新降階方法和原方法在2費(fèi)米到100 000費(fèi)米區(qū)間內(nèi)的差異，兩種降階方法在遠(yuǎn)離質(zhì)子的區(qū)域計(jì)算結(jié)果基本一致，而在靠近質(zhì)子幾費(fèi)米區(qū)域內(nèi)，新方法的結(jié)果和原方法相差較大．表明在氫原子外圍區(qū)域，兩種方法對(duì)于洛侖茲-狄拉克方程來說都是適用的；研究電子在更近區(qū)域內(nèi)的運(yùn)動(dòng)行為，新降階方法更加準(zhǔn)確．新降階方法計(jì)算的表達(dá)式比原降階方法復(fù)雜，所以關(guān)于氫原子，有時(shí)聯(lián)合使用兩種降階方法也會(huì)是一個(gè)不錯(cuò)的考量．

洛侖茲-狄拉克方程；降階方法；二維氫原子

洛侖茲-狄拉克方程（LDE）作為三階微分方程存在很多困難，比如它的初值問題，我們不能任意給定體系的初始加速度，它總要受到一定限制[1]．不同于牛頓類型的方程，在給定初始條件后，運(yùn)動(dòng)有時(shí)也是不確定的[2]，此外它又存在超前加速現(xiàn)象和發(fā)散解[3]．為了解決這些困難，Landau和Lifshitz推導(dǎo)了LDE的近似形式LLE[4]，他們第一次通過用外力項(xiàng)近似取代輻射項(xiàng)的辦法來對(duì)方程進(jìn)行降階，Kerner[5]和Sanz[6]討論了關(guān)于時(shí)間對(duì)稱的外力形式以及加速度按電荷展開成級(jí)數(shù)的情形，Piazza[7]研究了任意極化平面波內(nèi)LLE的精確解問題．最近，王國(guó)忠[8]改進(jìn)了LDE的降階方法，在更小的尺度上，他的方法要比原來的降階方法更加精準(zhǔn)．LDE的降階形式使原方程避免了超前加速解和發(fā)散解的發(fā)生，這似乎更適合用來描寫電荷在電磁環(huán)境內(nèi)的運(yùn)動(dòng)問題．

本文中，我們將研究新降階方法在氫原子中的適用尺度問題，通過兩種降階方法數(shù)值計(jì)算二維氫原子沿著x軸2費(fèi)米到100 000費(fèi)米區(qū)間內(nèi)電子的軌跡和速度，比較它們之間存在的差異，進(jìn)而討論它們的適用尺度．

1 原降階方法

二維氫原子的LDE為：取國(guó)際單位制，其中0τ表示方程的特征時(shí)間，e，m，c，0ε分別表示電子的電量、質(zhì)量、光速和真空介電常數(shù)．希臘字母μ，ν分別取0，1，2，F(xiàn)表示氫原子中的電磁場(chǎng)張量，如果我們忽略它的磁場(chǎng)部分，它可以表示成：

2 新降階方法

原降階方法的關(guān)鍵是用庫(kù)侖力代替加速度輻射項(xiàng)內(nèi)的所有加速度，下面我們來介紹一種稍微不同的降階方法[8]，先把洛侖茲-狄拉克方程重新寫成矩陣形式：

通過兩種降階方法，得到了兩個(gè)不同的加速度表達(dá)式，原降階方法在尺度較小時(shí)是不準(zhǔn)的，因?yàn)閹?kù)侖力而輻射項(xiàng)經(jīng)過求導(dǎo)它們將正比于等等，這樣在尺度比較小的時(shí)候，原降階方法就有可能是發(fā)散的．而新降階方法的表達(dá)式中含有根號(hào)，我們也要注意在應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)虛數(shù)的區(qū)域，因?yàn)檫@意味著這個(gè)方法在該區(qū)域內(nèi)也是失效的．

3 兩種降階方法的計(jì)算結(jié)果

研究?jī)煞N降階方法在2費(fèi)米到100 000費(fèi)米區(qū)間內(nèi)的差別，在該區(qū)間段內(nèi)讓電子從100 000費(fèi)米處沿著x軸跑向質(zhì)子，電子的初始速度將由維里定理來決定[10]，維里定理描述了電子的動(dòng)能和勢(shì)能的一個(gè)關(guān)系：其中T表示電子的動(dòng)能，W表示電子的勢(shì)能．如果取定電子的位置，則根據(jù)該定理就能方便計(jì)算電子的速度；此外，注意到上述加速度公式內(nèi)都是關(guān)于原時(shí)的表達(dá)式，所以我們還要將實(shí)驗(yàn)室速度轉(zhuǎn)化為原時(shí)速度，它們之間的關(guān)系為：，v是實(shí)驗(yàn)室速度．關(guān)于原時(shí)速度的表達(dá)式為：結(jié)合這些，我們能算出電子原時(shí)速度的表達(dá)式：

圖1 – 4為兩種降階方法的部分計(jì)算結(jié)果，其中圖1 – 2中的方形線條表示兩種方法計(jì)算得到的x的比值圓形線條和三角形線條分別表示新降階方法和原降階方法的計(jì)算結(jié)果．為了方便表示，我們把縱坐標(biāo)取成費(fèi)米單位，并對(duì)它做了以10為底的對(duì)數(shù)．圖1和圖3中橫坐標(biāo)為圖2和圖4中橫坐標(biāo)為0/ττ，取7費(fèi)米的地方為時(shí)間原點(diǎn)．分別計(jì)算2費(fèi)米到100 000費(fèi)米之間的，下標(biāo)original表示原降階方法的計(jì)算結(jié)果，new表示新降階方法的結(jié)果．由于7費(fèi)米到100 000費(fèi)米之間的兩種計(jì)算結(jié)果基本一致（最多相差1/1000的數(shù)量級(jí)），所以我們只是在圖1和圖3中繪制出1 000費(fèi)米到100 000費(fèi)米的計(jì)算結(jié)果，在圖2和圖4中繪制出2費(fèi)米到7費(fèi)米的計(jì)算結(jié)果．此外，圖3和圖4中的方形線條表示兩種方法計(jì)算得到的速度的比值：同樣地，圓形線條和三角形線條分別表示新降階方法和原降階方法的計(jì)算結(jié)果，圖3的速度單位為106m/s，圖4速度單位為3×108m/s．

4 結(jié)論和討論

利用兩種降階方法對(duì)二維氫原子的LDE進(jìn)行了降階，然后通過數(shù)值計(jì)算研究了它們?cè)?費(fèi)米到100 000費(fèi)米區(qū)間內(nèi)存在的差別．發(fā)現(xiàn)新降階方法和原降階方法在質(zhì)子的外圍區(qū)域基本符合，而在質(zhì)子附近幾費(fèi)米區(qū)域，新降階方法要比原降階方法準(zhǔn)確．顯然，如果要研究電子在質(zhì)子附近區(qū)域的運(yùn)動(dòng)行為，新降階方法在該區(qū)域尺度是合適的，而在遠(yuǎn)離質(zhì)子的尺度上兩種方法都能適用．不過，新降階方法計(jì)算的加速度表達(dá)式要比原降階方案復(fù)雜，所以在該區(qū)域，我們可以繼續(xù)使用原降階方法來研究電子的行為．特別的，如果在很靠近質(zhì)子的某些區(qū)域，新降階方案出現(xiàn)虛數(shù)解的情況下，我們不妨聯(lián)合原降階方法一起來處理該段區(qū)域．

[1] Spohn H. The critical manifold of the lorentz-dirac equation [J]. Europhys. Lett., 2000, 50(3): 287-292.

[2] Balis W E, Huschilt J. Nonuniqueness of physical solutions to the lorentz-dirac equation [J]. Phys. Rev. D., 1976, 13(12): 3237-3239.

[3] Marino M. The unexpected flight of the electron in a classical hydrogen-like atom [J]. J. Phys. A: Math Gen., 2003, 36(44): 11247-11255.

[4] Landau L D, Lifshitz E M. The classical theory of fields [M]. Oxford: Butterworth-Heinemann Ltd., 1975: 226-229.

[5] Kerner E. Can the position variable be a canonical coordinate in a relativistic many-particle theory [J]. J. Math. Phy., 1965, 6(8): 1218-1226.

[6] Sanz J L. On the lorentz-dirac equation[J]. J. Math. Phy., 1979, 20(11): 2334-2338.

[7] Piazza A D. Exact solution of the landau-lifshitz eqution in a plane wave [J]. Lett. Math. Phy., 2008, 83(3): 305-313.

[8] Wang G Z. The influence of vacuum electromagnetic fluctuations on the motion of charged partical [C] // Akdagli A. Behaviour of electromagnetic waves in different media and structures. Rijeka Croatia: InTech, 2011: 353-383.

[9] Aguirregabiria J M. Solving forward lorentz-dirac-like equations [J]. J. Math. Phy., 1997, 30(12): 2391-2402.

[10] 維基百科. 維里定理[EB/OL]. [2013-12-28]. http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E9%87%8C%E5% AE%9A%E7%90%86.

A New Order Reduction of Lorentz-Dirac Equation

YANG Bangwang
(School of Physics and Electronic Information Engineering, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

This paper describes the applicability of a new order reduction of Lorentz-Dirac equation for a hydrogen atom. It is shown that the new order reduction could be viable on a wider scale in comparison with the original algorithm. By calculating the two-dimensional hydrogen atom, the author figures out that the original method is similar to the results of new order reduction in remote domain of proton and they produce inconsistent results as electron moves close to the proton, which demonstrates that both methods are applicable towards Lorentz-Dirac equation. However, the new order reduction turns out more accurate during the study of electron motion behaviors in much nearer areas. Given the complexity of the order reduction calculations, the joint use of both order reductions for two-dimensional hydrogen atoms tends to be more effective.

Lorentz-Dirac Equation; Order Reduction; Two-dimensional Hydrogen Atom

O411.1

：A

：1674-3563(2014)03-0029-06

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.005 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：封毅)

2013-12-05

楊邦王(1987- )，男，浙江蒼南人，碩士研究生，研究方向：數(shù)學(xué)物理與場(chǎng)論