朱曉雙，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

對邊固支另兩邊簡支矩形薄板彎曲問題的哈密頓方法

朱曉雙，何文明

(溫州大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，浙江溫州 325035)

利用哈密頓體系以及辛幾何中的分離變量和本征函數(shù)展開的方法，給出了求解對邊固支另兩邊簡支的矩形薄板彎曲問題的方法，并通過實例計算和分析說明了該方法的正確性.

矩形薄板；哈密頓體系；分離變量；本征函數(shù)

矩形薄板是土木工程中較為普遍且常用的一種結(jié)構(gòu)元件，尤其是對邊固支的矩形薄板在實際工程中更為常見．目前，對于矩形板問題的求解通常采用較為通用的疊加法，但傳統(tǒng)的疊加法仍然以半逆解法為基礎(chǔ)，在處理一些復(fù)雜的矩形板問題（例如懸臂板）時，各疊加項的選取不夠理性，尤其是在四邊固定的矩形彈性薄板求解中需要多次事先選定撓度函數(shù)，計算極為復(fù)雜．哈密頓體系是彈性力學(xué)體系中的一個重要系統(tǒng)，一切真實的、平衡的過程都可以表示成適當(dāng)?shù)墓茴D體系．哈密頓體系的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是辛幾何理論，鐘萬勰教授將辛幾何方法引入到彈性力學(xué)求解中[1-3]，從而使彈性力學(xué)的求解計算更為簡便；鐘陽和殷建華[4]利用辛幾何方法討論了兩對邊固支另對兩邊自由彈性矩形薄板的理論解，使得求解過程更加理論化．之后，鐘陽、李銳等[5-7]通過導(dǎo)入哈密頓體系分別得到了四邊固支矩形彈性薄板的精確解析解和四邊固支矩形薄板自由振動的哈密頓解析解，并討論了矩形中厚板的自由振動問題，利用辛幾何中的分離變量和本征函數(shù)展開的方法求出了對邊簡支板自由振動的精確解．曹繼偉和簡政[8]對兩對邊簡支兩對邊固支矩形薄板的彈塑性調(diào)整系數(shù)進行了計算，確定了彈塑性調(diào)整系數(shù)的理論值．吳家龍[9]、劉小明[10]等應(yīng)用傳統(tǒng)的疊加法求得了對邊固支另兩邊簡支矩形薄板的最大撓度值，但計算過程較為復(fù)雜．本文運用哈密頓體系方法對對邊固支另兩邊簡支矩形薄板彎曲問題進行了研究，從問題的控制方程出發(fā)，將問題導(dǎo)入哈密頓體系，并利用辛幾何中的分離變量和本征函數(shù)展開方法給出了問題的解析求解方法．本文所給方法的優(yōu)點是在求解過程中不必事先人為地選取撓度函數(shù)，通過直接推導(dǎo)就可以求出問題的解析解，這樣就突破了傳統(tǒng)疊加法的限制，使得問題的求解更加合理，因而具有一定的應(yīng)用價值．

文中最后通過實例計算驗證了所給方法的正確性．

1 彈性矩形薄板彎曲問題的控制方程與哈密頓體系

取一個微小單元體，由彈性薄板理論可知，矩形薄板彎曲問題的控制方程和內(nèi)力[1]有如下關(guān)系．剪力與彎矩：

2 矩形薄板彎曲問題的辛幾何方法

取兩對邊固支另兩邊簡支矩形薄板如圖1所示，x方向的兩條側(cè)邊0y=，y b=為簡支．方程（9）的齊次方程為：

方程（11）可由分離變量法求解．令

這里μ是待求本征值，()yψ是與之對應(yīng)的本征函數(shù)向量．

設(shè)iψ和jψ分別為本征值iμ和jμ對應(yīng)的本征函數(shù)向量，則采用文獻[11]類似的方法可導(dǎo)出下面本征函數(shù)向量之間的共軛辛正交關(guān)系：

圖1 兩對邊固支另兩對邊簡支矩形薄

3 實例計算與分析

表1 計算結(jié)果比較

4 結(jié) 語

本文將矩形薄板的控制方程導(dǎo)入哈密頓體系，利用辛幾何方法對對邊固支另兩邊簡支矩形薄板的彎曲問題進行了求解，得到了問題的解析解，且求解過程較以往采用疊加法的更加合理．最后，通過實例分析證明了所給方法的正確性．

[1] 鐘萬勰. 彈性力學(xué)求解新體系[M]. 大連: 大連理工大學(xué)出版社, 1995: 63-96.

[2] 鐘萬勰. 分離變量法與哈密爾頓體系[J]. 計算結(jié)構(gòu)力學(xué)及其應(yīng)用, 1991, 8(3): 229-240.

[3] 鐘萬勰. 條形域平面彈性問題與哈密爾頓體系[J]. 大連理工大學(xué)學(xué)報, 1991, 31(4): 373-384.

[4] 鐘陽, 殷建華. 兩對邊固支另對兩邊自由彈性矩形薄板理論解[J]. 重慶建筑大學(xué)學(xué)報, 2005, 27(6): 29-32.

[5] 鐘陽, 李銳, 劉月梅. 四邊固支矩形彈性薄板的精確解析解[J]. 力學(xué)季刊, 2009, 30(2): 287-303.

[6] 鐘陽, 李銳, 田斌. 四邊固支矩形薄板自由振動的哈密頓解析解[J]. 應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2011, 28(4): 323-327.

[7] 鐘陽, 李銳, 田斌. 矩形中厚板自由振動問題的哈密頓體系與辛幾何解法[J]. 動力學(xué)與控制學(xué)報, 2009, 7(4): 302-302.

[8] 曹繼偉, 簡政. 兩對邊簡支兩對邊固支矩形薄板彈塑性調(diào)整系數(shù)計算[J]. 水利與建筑工程學(xué)報, 2009, 7(2): 102-104.

[9] 吳家龍. 彈性力學(xué)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 323-324.

[10] 劉小明, 俞進萍, 譚道宏. 彈性力學(xué)題解[M]. 武漢: 華中科技大學(xué)出版社, 2003: 482-487.

[11] 胡海昌. 彈性力學(xué)的變分原理及其應(yīng)用[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 1981: 207-314.

The Hamiltonian Approach to the Bending Problem of Rectangular Thin Plate with Clamped and Simply Supported Boundary Conditions at two Opposite Sides

ZHU Xiaoshuang, HE Wenming
(School of Mathematics and Information Science, Wenzhou University, Wenzhou, China 325035)

A correct solution was put forward to the rectangular thin plate bending problem with clamped and simply supported boundary conditions at two opposite sides. With the Ham iltonian system, the analytical solution was derived through the methods of variables of separation and Eigen-function expansion in the simplistic geometry, and a real example was used to illustrate the correctness of the calculation method.

Rectangular Thin Plate; Hamiltonian System; Variables of Separation; Eigen-function

O24

：A

：1674-3563(2014)03-0035-08

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.03.006 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-08-19

朱曉雙(1987- )，女，河南漯河人，碩士研究生，研究方向：計算機數(shù)學(xué)與復(fù)雜系統(tǒng)控制