●陳六一

以理論武裝的經(jīng)驗貌似具有了形而上的底氣，進(jìn)而，筆者提出“問題—親歷—變式—梳理”的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，以行動兌現(xiàn)理念。

一、問題——發(fā)端教與學(xué)

《九章算術(shù)》中的246個問題，是我們教師創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)問題很好的摹本，可惜我們沒有繼承發(fā)揚(yáng)，以至于提出好的問題成了我們一線數(shù)學(xué)教師的奢侈品。那何為問題？指的就是需要學(xué)生研究并加以解決的數(shù)學(xué)矛盾，或者疑難的數(shù)學(xué)題目。以問題為出發(fā)點(diǎn)是小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)首要的一個策略。主要基于兩個理由：第一，任何數(shù)學(xué)知識都有其產(chǎn)生的背景，它往往建立在解決問題需要的基礎(chǔ)上，而且是自然誕生的，是水到渠成的結(jié)晶；第二，由難度適當(dāng)?shù)膯栴}或者在學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實的區(qū)域內(nèi)，亦或真切的生活情境需要新知，而引起的認(rèn)知沖突，可以激發(fā)學(xué)生的求知欲和思維的積極性，提高小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

例1-1：蘇教版六年級上冊《方程》例題1教材呈現(xiàn)如下：

我覺得直接引用教材問題，學(xué)生“看個究竟的動機(jī)”不高，其一、西安距離我的教學(xué)地蘇州太遠(yuǎn)，學(xué)生不熟悉；其二、問題不好玩，學(xué)生會覺得問題解決不過是做題而已。于是，我進(jìn)行了改編——

師：想知道老師的身高嘛？

生：當(dāng)然想。

師：我不想直接告訴你，咋辦？

生：老師，你和佳佳同學(xué)差不多高，大概165 cm吧？

師：拉關(guān)系，好辦法。告訴大家，雖然老師很矮，但還是愿意和姚明拉上關(guān)系。

生：哈哈大笑。

師：大家都知道姚明有多高？

生：227 cm。

師板書：姚明身高227 cm，是數(shù)學(xué)陳老師身高的3倍……

生：不可能，老師矮得沒那么夸張。

師接著板書：姚明身高227 cm，是數(shù)學(xué)陳老師身高的3倍少271 cm，老師身高多少厘米？

課堂效果正如我所料，一個個興致高昂。課堂中問題固然可以由老師設(shè)計提出，但更要研究學(xué)生提出的問題，一如《學(xué)記》要求教師“善問”和“善待問”：“善問者如攻堅木，先其易者，后節(jié)其目，及其久也相說以解。不善問者反此。善待問者如撞鐘，叩之以小者則小鳴，叩之以大者則大鳴，待其從容，然后盡其聲。不善答問者反此。”但當(dāng)前實際的小學(xué)教學(xué)頻頻出現(xiàn)章建躍博士的擔(dān)憂：課堂中老師“缺乏問題意識，解答結(jié)構(gòu)良好的問題多，引導(dǎo)學(xué)生主動提出問題少，對學(xué)生提出問題的能力培養(yǎng)不力?！盵1]

例1-2：一個學(xué)生向我提出：“老師，其實三角形、長方形、正方形、平行四邊形都可以看做梯形。”和學(xué)生分享交流后，我覺得這個問題很有意思，待到課堂我請這位同學(xué)在班級里提出，學(xué)生們也頗感好奇。于是一段新奇的探索開始了——

S三角形=（a+b）h÷2=（0+a）h÷2=ah÷2

S長方形=（a+b）h÷2=（a+a）b÷2=ab

S正方形=（a+b）h÷2=（a+a）a÷2=a2

S平行四邊形=（a+b）h÷2=（a+a）h÷2=ah

二、親歷——經(jīng)驗過程中厚積薄發(fā)

課堂中學(xué)生須得親身經(jīng)歷思維活動的認(rèn)知操作過程，包括觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括、歸納、演繹、類比、猜想等等；課堂中學(xué)生還應(yīng)該親身經(jīng)歷或成功或失敗或懊惱或興奮的精神體驗。

例2-1：在《三角形的內(nèi)角和》的課堂，學(xué)生通過計算一副三角尺兩個不同的直角三角形內(nèi)角和是180度，提出猜想：“任意三角形的內(nèi)角和都是180度?！苯又鴮W(xué)生們各自根據(jù)自己的認(rèn)知、經(jīng)驗實際操作驗證。

生1：畫出各種形狀的三角形若干個，分別測量各個角的度數(shù)，然后計算。

生2：畫出各種形狀的三角形若干個，依次剪下每個三角形的三個角，看是否平成一個平角。

生3：

……

需要提醒的是，任何有效的學(xué)習(xí)，都是一個主動建構(gòu)的過程，但是這種主動是在主體擁有學(xué)習(xí)動機(jī)的前提下進(jìn)行的；可是學(xué)習(xí)并不完全是為了適應(yīng)學(xué)生目前的環(huán)境，不少學(xué)生意識不到學(xué)習(xí)對于自己成長的作用，因此不愿意為學(xué)習(xí)付出應(yīng)有的努力。還有很多數(shù)學(xué)知識與生活實際之間具有間接性，加之抽象嚴(yán)密的邏輯讓很多學(xué)生心生恐懼，因此數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)相對于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)更加被動。然而，有效學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是建立在學(xué)生心理活動的基礎(chǔ)之上，所以當(dāng)學(xué)生的非智力因素（動機(jī)、興趣、情感、意志、性格等等）真切參與到認(rèn)知活動中來，智力才會發(fā)生作用。

三、變式——超越直接經(jīng)驗

變式：中國數(shù)學(xué)教學(xué)的傳統(tǒng)，也是中國“雙基教學(xué)”的精華。通過變更學(xué)生認(rèn)識數(shù)學(xué)知識的視角，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的隱蔽要素，顯現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征。兒童的成長不完全建立在“直接經(jīng)驗”之上，就像不能讓兒童親自吸毒的辦法來認(rèn)識“罌粟”的危害一樣。那么由教師設(shè)計練習(xí)，學(xué)生接受變式訓(xùn)練達(dá)到熟能生巧，也是一種意義學(xué)習(xí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)，而并不是傳統(tǒng)的就是機(jī)械的，糟糕的。

顧冷沅先生在總結(jié)上海青浦經(jīng)驗時，使用了“概念變式”和“過程變式”的兩種分類。[2]

1.當(dāng)概念被認(rèn)為是靜止對象時，概念性變式是卓有成效的方法。

例3-1：《乘法分配律》練習(xí)中出示“23×62+23×38，23×23+23×77，23×101—23，23×102，23×23+23×78—23，（34×67+34×58）×8，8100÷90+8100÷10，（400+40+4）×25”。

這些變式是抽象的數(shù)字與符號，但相對于乘法分配律的意義來說則是具體的。

2.如果知識是通過一系列過程的發(fā)展而形成的，那么幫助學(xué)生體驗知識的“生長經(jīng)歷”就成了引入新知的必由之路。

例3-2：《乘法分配律》的學(xué)習(xí)中，我設(shè)計了如下過程式變式，幫助學(xué)生逐步建立乘法分配律的概念。

（1）情境感知

出示算式23×（62+38），請同學(xué)們用買衣服的情境編題，學(xué)生：一件上衣62元，一條褲子38元，阿姨買了這樣的衣服23套，一共用去多少元？接著出示算式23×62+23×38，還請同學(xué)們用買衣服的情境編題，學(xué)生：一件上衣62元，阿姨買了23件，一條褲子38元，阿姨也買了23件。那么阿姨一共用去多少元？

學(xué)生觀察，得出兩個題目表達(dá)的內(nèi)容完全一樣，可以只用一個情境，并且兩個算式的結(jié)果也肯定一樣。老師請同學(xué)們自己選擇不同的數(shù)據(jù)，繼續(xù)編題，并寫出算式：18×39+18×38=18×（39+38），20×60+20×40=20×（60+40）……

（2）抽象感知

師：這樣的等式寫得完嗎？不需要情境你能再寫出幾個類似的等式嗎？

生：18×139+18×138=18×（139+138），25×18+25×82=25×（18+82）……

師：很棒！這些等式百分之百的正確，請教你是用什么方法寫出這些等式的？

生：這里有規(guī)律的，兩個乘法算式相加，如果有相同的因數(shù)，可以這個因數(shù)乘其他兩個因數(shù)的和。

（3）用符號概括

師：這樣的算式永遠(yuǎn)寫不完，那可以用一個什么辦法把這些算式都包含進(jìn)去？

生：▲×□+▲×◇=▲×（□+◇）

生：a×b+a×c=a×（b+c）

（4）靈活運(yùn)用

師：名名同學(xué)計算12×（13+4）=12×13+4，錯在哪里？與正確答案相差多少？

變式，也切合建構(gòu)主義者提出的“隨機(jī)通達(dá)教學(xué)”：對同一內(nèi)容的學(xué)習(xí)要在不同時間多次進(jìn)行，每次的情境都是改組的，分別針對知識的不同側(cè)面。這樣，在每一次的教學(xué)中，學(xué)生都能獲得知識的新理解，從而使學(xué)生對概念形成多角度的理解，并與具體情境聯(lián)系起來，形成背景性經(jīng)驗。

四、梳理——以“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”發(fā)展到“實現(xiàn)數(shù)學(xué)”

例4-1：《平行四邊形的面積》變式教學(xué)之后，老師提出：今天有哪些收獲？老師不滿足于學(xué)生“學(xué)習(xí)了平行四邊形的面積公式S=ah?！苯又鴨l(fā)學(xué)生總結(jié)出“要想求出平行四邊形的面積，需想辦法找到對應(yīng)的底和高的長度；同理，求底，則需要面積與高的數(shù)據(jù)，求高，則需要面積與底的數(shù)據(jù)。”還啟發(fā)學(xué)生得到“推導(dǎo)平行四邊形的面積公式是把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，那么我們沒有學(xué)的三角形面積公式、梯形面積公式，也可以轉(zhuǎn)化為學(xué)過的圖形面積公式。”甚至有學(xué)生說出“通過今天的學(xué)習(xí)，我明白了不懂的知識可以經(jīng)過轉(zhuǎn)化，變成自己能掌握的知識?！?/p>

梳理環(huán)節(jié)的設(shè)計，受益于波利亞“怎樣解題表”的啟迪，在“怎樣解題表”中，波利亞的第四階段是“回顧，檢查已經(jīng)得到的答案”。這是一個非常有遠(yuǎn)見的做法，不但幫助解題者驗證了答案的準(zhǔn)確度，更使得解題思路清晰可現(xiàn)，解題方法與學(xué)習(xí)者“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”予以同化或者順應(yīng)。那課堂教學(xué)中，通過回顧梳理所學(xué)的知識、技能、方法、經(jīng)驗、思想，可幫助學(xué)行內(nèi)化認(rèn)知，正遷移思想方法，使得學(xué)生腦海里的知識趨向結(jié)構(gòu)化，由“學(xué)會”達(dá)到“會學(xué)”。

例4-2：劉德武老師在《一卷衛(wèi)生紙有多長》一課上，讓學(xué)生通過估計、實驗、計算的方法，算出了衛(wèi)生紙的長度，最后為了驗證結(jié)果，學(xué)生用直接測量的方法，測出了衛(wèi)生紙的長度。隨后，劉老師提出了一個問題：“我們花了大半節(jié)課的時間去計算一卷衛(wèi)生紙的長度，但用測量的方法只花了兩分鐘的時間，而且測量結(jié)果比計算結(jié)果更準(zhǔn)確，我們折騰那么長時間干嘛呀？”

學(xué)生的回答可精彩。

生1：如果是很大的一卷紙，要直接測量是很費(fèi)事的。

生2：如果不打開卷，測量是不可能的。

生3：在數(shù)學(xué)課上我們學(xué)到了方法，在生活中多有用??！

生4：這種學(xué)習(xí)，可以鍛煉自己的思維，比直接測量有用，可以使我們更加聰明。

生5：這種研究不是簡單地練習(xí)，不是做題后再做題，而是在研究中得到發(fā)展，我喜歡這樣的數(shù)學(xué)課。

梳理親歷探索這卷衛(wèi)生紙的長度的過程、方法，衛(wèi)生紙到底有多長的結(jié)果并不重要，重要的是學(xué)生在回顧中，體悟了探究的意義，體驗了數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，思維含量，以“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”發(fā)展到了“實現(xiàn)數(shù)學(xué)”。

【結(jié)語】

教學(xué)中，可依次按照“問題—親歷—變式—梳理”的順序推進(jìn)教學(xué)過程，但是這四個環(huán)節(jié)也并非一定是必然的前后起承關(guān)系。例如學(xué)生在“親歷”、“變式”環(huán)節(jié)教學(xué)中，學(xué)生自然可以相機(jī)提出問題，學(xué)生的良好問題改變了教師的預(yù)設(shè)，教師機(jī)智的處理生成，進(jìn)一步促進(jìn)教學(xué)相長。例如學(xué)生親歷思維活動之后，老師可以幫助“后進(jìn)生”回顧操作方法、推理思路等，順利過渡到變式練習(xí)……

其實，追溯當(dāng)代教學(xué)理論的哲學(xué)源頭，基本上都是從赫爾巴特和杜威的教學(xué)思想演變發(fā)展而來。[3]赫爾巴特知識觀的核心是重視間接經(jīng)驗的學(xué)習(xí)，他認(rèn)為主體與客觀二元分立，客體獨(dú)立于認(rèn)知主體，知識的客觀性對主體具有制約作用。因此赫爾巴特主張教學(xué)可靠性知識的理解與接受，學(xué)生要學(xué)習(xí)具有系統(tǒng)性的課本知識，教師的任務(wù)是揭示確定性知識的內(nèi)在聯(lián)系。赫爾巴特的教學(xué)思想非常適宜我們中華“自上而下”的文化土壤。杜威強(qiáng)調(diào)直接經(jīng)驗的學(xué)習(xí)，“兒童中心論”是其教育思想的要義，他建構(gòu)起主體與客體、經(jīng)驗與自然、物質(zhì)與精神相互依賴、雙向維系的整體性“生命存在論”，主張學(xué)生在“做”與“思維”的過程中學(xué)習(xí)。

進(jìn)行“問題—親歷—變式—梳理”模式的課堂實踐，如以上案例教學(xué)，嘗試平衡“赫爾巴特對直接經(jīng)驗的偏見性與杜威教育就是經(jīng)驗的改組、知識是不確定的”這兩種教育理念。因為這不是非此即彼之爭，反而應(yīng)該在吸取對方長處，優(yōu)勢互補(bǔ)中求發(fā)展，因為這種發(fā)展可以平衡直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗，可以平衡過程與結(jié)果。

[1]曹才翰,章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M]，北京：北京師范大學(xué)，2007：282.

[2]張奠宙.中國數(shù)學(xué)雙基教學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2009：72.

[3]孔企平,張維忠,黃榮金.數(shù)學(xué)新課程與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)[M].北京：高等教育出版社，2003：228.