宋衛(wèi)平，丁山傳，寧愛平

(太原科技大學(xué) 電子信息工程學(xué)院，太原 030024)

蔡少堂教授在1971年根據(jù)電路理論的完備性，提出了憶阻器的定義[1]。2008年惠普實驗室制造出了首個納米級的憶阻器物理模型，并通過實驗證明了憶阻器是一種具有記憶功能的無源非線性二端電路元件[2]。憶阻器作為第四類基本元器件，能夠有效提升電路的集成度[3]；簡化混沌電路的電路結(jié)構(gòu)[4]；為研制新型計算機開辟道路[5]；并有望把人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的信息處理方式和非易失性模擬存儲器變?yōu)楝F(xiàn)實[6]。但對大多數(shù)研究者來講，憶阻器的物理模型難以得到，所以建立精確的仿真模型就顯的至關(guān)重要了。

本文首先在憶阻器的理論基礎(chǔ)，研究了惠普憶阻器模型的電路關(guān)系，然后在Simulink中用二種不同方法對憶阻器進(jìn)行仿真。方法一通過受控電壓源實現(xiàn)對于憶阻器阻值變化的模擬。方法二通過在Simulink環(huán)境下應(yīng)用Simscape系統(tǒng)提供的非線性電阻來實現(xiàn)對于憶阻器阻值變化的模擬。這兩種方法不但能夠方便準(zhǔn)確的觀察憶阻器的輸入輸出特性，而且具有與其他器件相結(jié)合的能力。因此這兩種模型不但適合于對憶阻器性質(zhì)的研究，而且適合于對憶阻器應(yīng)用的研究。

1 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)蔡少堂教授提出的定義[7]，在電路分析中，憶阻器的基本數(shù)學(xué)定義表達(dá)式是一個微分方程：

v=M(q)i或i=W(φ)v

(1)

其中v和i分別為憶阻器兩端的電壓和電流；M，W為憶阻器的憶阻和憶導(dǎo)[7]，定義為：

(2)

圖1是惠普實驗室制造的憶阻器物理模型[8]，它是將兩層納米級的二氧化鈦薄膜夾在兩個鉑片內(nèi)，其中一層摻雜有氧空位，相當(dāng)于半導(dǎo)體，另一層沒有摻雜有氧空位，相當(dāng)于絕緣體。

圖1 憶阻器物理模型Fig.1 Physical model of memristor

D表示憶阻器總厚度，約為10 nm.w表示摻雜層的厚度，并隨著流過憶阻器的電荷數(shù)改變。憶阻器的總阻值可表示為：

Rmem(x)=Ronx+Roff(1-x)

(3)

其中，x表示如下：

(4)

Rmem表示總憶阻，Ron與Roff是w處于兩個邊界值時的臨界阻值。x是摻雜層厚度與憶阻器薄膜總厚度的比值。

在惠普憶阻器中離子的遷移速率呈現(xiàn)十分顯著的非線性，特別是在w接近0或者D時，離子的遷移速度會受到明顯的抑制，以至于離子的遷移速度會減小到 0，所以引入窗口函數(shù)用來表示x與i之間的非線性關(guān)系。

(5)

其中μv為摻雜物遷移率，一般取μv=

10-14m2s-1V-1.

窗口函數(shù)[9]為：

f(x)=1-(2x-1)2p

(6)

在仿真時取參數(shù)Ron=100 Ω，Roff=16 000 Ω，憶阻器初始值Rinit=11 000 Ω，p=10.

2 基于受控源的雙端口模型

在Simulink中憶阻器的模型可看成是具有記憶功能的非線性電阻，通過一個帶反饋的積分器來實現(xiàn)憶阻器的記憶功能，通過窗函數(shù)f(x)來實現(xiàn)憶阻器中離子遷移的非線性特性，通過界面位置x來控制受控電壓源實現(xiàn)對憶阻器阻值變化的調(diào)節(jié)，從而實現(xiàn)了對于憶阻器的雙端口建模。

圖2 雙端口憶阻器模型Fig.2 Dual port model of memristor

根據(jù)方程(5)可得到：

(7)

用模塊搭建出方程(7)。在Simulink中已經(jīng)給出了積分器，在建模時可直接使用，fcn模塊為窗口函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

受控電壓源的電壓為：

E=-△Rxi

(8)

其中

△R=Roff-Ron

(9)

憶阻器的阻值Rmem為受控電壓源E與阻值為Roff的電阻串聯(lián)后對外等效的電阻值，即：

Rmem=Roff-△Rx

(10)

圖中R為與w=0相對應(yīng)的臨界阻值Roff，輸入模塊為標(biāo)準(zhǔn)的正弦電壓源，振幅為1 V，頻率為1 Hz.

為了有更好的輸出效果需要設(shè)置積分器的初始值：

(11)

設(shè)置電力系統(tǒng)圖形化用戶接口(powergui)為離散型，步長為0.001 s；微分方程的解算器為ode45；電荷和磁通通過電流和電壓的積分直接得到。仿真所得到的圖型如下：

圖3中電流-電壓關(guān)系為典型的磁滯回線，顯示了憶阻器的開關(guān)特性，即憶阻值可以在高阻和低阻之間轉(zhuǎn)換。同時，摻雜層厚度與憶阻器總厚度之比x在(0，1)內(nèi)隨輸入電壓做周期性變化。磁通量與電荷之間是一種非線性關(guān)系，隨著磁通量增加，電荷量遞增，反之遞減，表明憶阻器是一種非線性元件。仿真結(jié)果顯示雙端口模型能夠?qū)崿F(xiàn)對于憶阻器建模。而且Simulink被廣泛應(yīng)用于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、數(shù)字控制及數(shù)字信號處理的建模和仿真中，在Simulink中建立能夠直接與其他器件相連接的雙端口模型，具有更廣泛的適應(yīng)范圍，為憶阻器的進(jìn)一步研究提供了良好的參考。

圖3 仿真波形Fig.3 Simulation waveform

3 基于Simscape的雙端口模型

Simscape是Matlab中可用于對機械、電氣、液壓和熱場以及其他多域物理系統(tǒng)進(jìn)行建模和仿真的組件，它不但支持使用文本定義物理建模組件、域和庫提供參數(shù)和變量的物理單位，而且能夠自動進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換。

憶阻器的Simscape物理模型框如圖4。

通過一個帶反饋的積分器來實現(xiàn)憶阻器的記憶功能，通過窗函數(shù)f(x)來實現(xiàn)憶阻器中離子遷移的非線性特性，直接應(yīng)用Simscape模型庫中非線性電阻來實現(xiàn)對憶阻器阻值變化的調(diào)節(jié)，從而實現(xiàn)了對于憶阻器的雙端口建模。

圖4 Simscape模型框圖Fig.4.Principle memristor scheme in Simscape

圖5 基于Simscape和Simulink雙端口模型Fig.5 Physical memristor model in Simulink & Simscape

圖中fcn模塊為窗口函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式；fcn、乘法器、放大器和積分器用來實現(xiàn)方程(7)，輸出結(jié)果為摻雜層厚度與憶阻器薄膜總厚度的比值x；fcn.1為方程(10)的數(shù)學(xué)表達(dá)式，輸出為憶阻器的阻值。Variable Resistor為Simscape中提供的三端口可變電阻模型，左右分別為輸入和輸出端，上端為控制端，器件的阻值跟隨控制信號做連續(xù)變化。PS-Simulink Converter能夠?qū)⑽锢硇盘栟D(zhuǎn)換成在Simulink中應(yīng)用的無單位信號；Simulink-PS Converter能夠?qū)o單位的Simulink信號轉(zhuǎn)換成Simscape中的物理信號，這樣就實現(xiàn)了Simscape與Simulink的連接。模型的仿真結(jié)果如下：

仿真結(jié)果顯示模型能夠?qū)崿F(xiàn)對于憶阻器的仿真，并且使用Simscape提供的各物理域基礎(chǔ)模塊來組裝各種物理模型時，組件之間使用物理連接，所建立的模型能夠清晰的反應(yīng)出所開發(fā)系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)。Simscape與Simulink結(jié)合后可更加方便的對復(fù)雜的系統(tǒng)進(jìn)行建模，為憶阻器的多學(xué)科應(yīng)用打下了基礎(chǔ)。

圖6 仿真波形Fig.6 Simulation waveform

5 結(jié)論

本文在Simulink中應(yīng)用兩種不同的方法對憶阻器進(jìn)行了建模，通過仿真結(jié)果可以看出這兩種方法不但能夠直觀準(zhǔn)確的展示憶阻器的輸入輸出特性，而且具有與其他器件相結(jié)合的能力，為人們學(xué)習(xí)和研究憶阻器特性提供了新的方法。田曉波[10]應(yīng)用編寫程序的方法實現(xiàn)了基于憶阻器的一階無源濾波電路的仿真。段宗勝[11]應(yīng)用憶阻器的SPICE模型，實現(xiàn)了基于憶阻器的高通濾波器的仿真。與這兩種方法相比，應(yīng)用基于Simulink的雙端口模型進(jìn)行仿真，無需書寫大量程序，只需要通過簡單直觀的鼠標(biāo)操作，就可構(gòu)造出復(fù)雜的系統(tǒng)，并且具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實際、效率高、靈活等優(yōu)點。所以本文提出的基于Simulink的雙端口模型具有更加廣闊的應(yīng)用前景。

參考文獻(xiàn)：

[1] CHUA L.Memristor-the missing circuit element[J].IEEE Trans Circuit Theory，1971，18(5)：507-519.

[2] STRUKOV D B，SNIDER G S，STEWART D R，et al.The Missing Memristor Found[J].Nature，2008，453：80-83.

[3] 段書凱，劉光遠(yuǎn).連續(xù)學(xué)習(xí)混沌神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的研究[J].計算機科學(xué)，2004，31(4)：135-139.

[4] WANG L D，YANG X F.Generation of Multi-Scroll Delayed Chaotic Oscillator[J].Electronics Letters，2006，42(25)：1439-1441.

[5] WILLIAMS R S.How We Found the Missing Memristor[J].IEEE Spectrum，2008，45(12)：28-35.

[6] LEWIS D L，LEE H H S.Architectural Evaluation of 3D Stacked RRAM Caches[C]∥IEEE International Conference，2009：28-30.

[7] KAREL ZAPLATILEK.Memristor modeling in MATLAB[C]∥Proceedings of the European Computing Conference，2011：62-67.

[8] Zdeněk BIOLEK.SPICE Model of Memristor with Nonlinear Dopant Drift[J].RADIO ENGINEERING，2009，18(2)，210-214.

[9] ZHANG YU，ZHANG XULIANG，YU JUEBANG.Approximated SPICE model for memristor[C]∥ICCCAS(2009)，IEEE，2009：928-931.

[10] 田曉波.憶阻器電路特性與應(yīng)用研究[D].長沙：國防科技大學(xué)，2009.

[11] 段宗勝.基于憶阻器的濾波器設(shè)計與仿真[D].武漢：國防科技大學(xué)，2012.