孟智娟，楊 軍

(1.太原科技大學應(yīng)用科學學院，太原 030024；2.燕山大學理學院，河北 秦皇島 066004)

近年來，對時滯微分方程和中立型微分方程振動解的零點分布及零點個數(shù)進行了許多研究[1-10]，并獲得了許多很多的結(jié)論，但幾乎都是對單個常時滯線性微分方程的零點距進行了估計，對具有多個變時滯非線性微分方程振動解的零點分布研究結(jié)果寥寥無幾，本文考慮微分方程：

(1)

其中:

P(t),Qi(t),σi(t)∈C([t0,+∞],R+),τ∈R+

(2)

解的零點分布，對其相鄰零點間的距離進行了估計，并改進和推廣了已有的一些的結(jié)果。

1 引理

首先，如文獻[3]中，定義序列{an(ρ)}，0<ρ<1，如下:

a0(ρ)=1,an+1(ρ)=eρan(ρ),n=1,2,…

(3)

(4)

再定義序列{bm(ρ)},0<ρ<1如下:

(5)

易證，0<ρ<1時，bm+1(ρ)

(6)

為了證明本文的結(jié)論，我們用到以下的引理。

考慮微分不等式:

(7)

引理1假設(shè)Qi(t)，σi(t)∈C([t0,+∞],R+),i=1,2,…,m,x(t)是不等式(7)在[t0,+∞]上的解，若存在t1≥t0,0<ρ<1，使得:

(8)

且存在T0≥t1，T≥T0+3σ1,使x(t)在[T0,T]上恒為正，則對任意n≥1,T-(2+n)σ0≥T0有:

(9)

證：由(7)得：

(10)

故x(t)在[T0,T-σ0]上不減，因此有:

(11)

當T0≤t≤T-3σ0時，式(7)兩邊除以x(t)并從t到t+σ0積分得:

(12)

ρa0(ρ)

引理2假設(shè)Qi(t),σi(t)∈C([t0,+∞),R+)，i=1,2,…m,x(t)是不等式(7)在[t0,+∞)上的解，若存在t1≥t0，0<ρ<1,使得:

(13)

(14)

且存在T0≥t1+σ1，正整數(shù)N≥4使x(t)在[T0,T0+Nσ0]上恒為正，則對任意m≤N-3有:

(15)

t1+σ0

(16)

由t-σ0≤s≤t,知t≤s+σ0≤t+σ0≤T0+(N-2)σ0,(7)式從t到s+σ0積分得:

由(10)式知x(u+σi(u))在T0≤u≤T0+(N-2)σ0上不減，聯(lián)立(14)式得:

(17)

由(16)，(17)兩式得：

因x(λt)≤x(t)，則:

(18)

又t∈[T0+σ0,T0+(N-3)σ0]時，x(t-σ0)>0，由(18)式得:

(19)

當T0+2σ0≤t≤T0+(N-3)σ0時，易知T0+σ0≤t-σ0≤T0+(N-4)σ0，由(19)得:

代入(18)式得:

因此:

重復上述過程，得:

(20)

2 主要結(jié)果

定理1假設(shè)(2)成立，且Qi(t),σi(t)是以τ為周期的函數(shù)。

(21)

記Ri(t)=P(t+σi(t)),i=1,2,…,m

P(t)∈C′([t0,+∞),R+),

(22)

且存在t1≥t0使得:

(23)

則對任意T≥t1，方程(1)在[T,T+3σ0-τ]上至少存在一個零點。

證明：否則，不失一般性，設(shè)方程(1)的解x(t)>0，t∈[T,T+3σ0-τ]為方便起見，下記:

z(t)=x(t)+P(t)x(t+τ)

(24)

則z(t)>0,t∈[T,T+3σ0-2τ]

(25)

(26)

(27)

(28)

則w(t)>0,t∈[T,T+3(σ0-τ)]

(29)

(30)

由式(26)和式(28)知:

t∈[T,T+2(σ0-τ)]

由式(30)知：

則有:

(31)

(31)式從T到T+σ0-τ積分得:

w(T+σ0-τ)≥w(T)+w(T+σ0-τ)

即w(t)≤0，產(chǎn)生矛盾，證畢。

定理2假設(shè)式(2)，式(21)，式(22)成立，存在t1≥t0和正常數(shù)ρ，1/e<ρ<1,使得:

進一步設(shè):

t1≤t≤s+σ0-τ≤t+σ0-τ

則對任意的T≥t1+σ0-τ，方程(1)的解x(t)在[T,T+2σ0+K(σ0-τ)]上至少存在一個零點，這里:

定理3假定式(2)，式(21)，式(22)和式(33)成立，且存在t1≥t0和正常數(shù)ρ，0<ρ≤1/e,使(32)式成立，進一步假設(shè)存在序列{Ti}，Ti→∞,i→+∞使得:

其中a(ρ)是方程(4)在[1,e]上的實根.

定理2，定理3證明略，由引理1，引理2及定理1容易得證，事實上，定理1，2，3給出了方程(1)解振動的充分條件。

參考文獻：

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