楊 光 邱國民

（海南師范大學，海南 ?？?571158）

高中物理學習的內容，延續(xù)初中物理對一些基本量的定性研究，逐步滲入更多的定量計算，介紹一些基本定律，并研究如何帶領學習者把基本定律用于解決生活實際問題，培養(yǎng)學習者應用物理理論知識解決現(xiàn)實問題的素養(yǎng)。其間，在掌握物理量與物理定律的基本含義的基礎上，解題過程中通過建立數(shù)學模型，加深對物理知識的理解。一個物理問題的解決，經歷分析理解、簡化假設、數(shù)學建模、求解驗證幾個過程[1]，下面以實例進行演示分析。

一、物理學習中的比例關系建模

許多物理定律和規(guī)律都存在一個物理量與另一（或幾個）物理量之間的比例關系。如萬有引力定律、胡克定律（F=k·x）、初速為零的勻變速直線運動的位移與時間的變化規(guī)律 （X=at2）、庫侖定律、電阻定律、氣體三定律和理想氣體的狀態(tài)方程等等，類似這樣的比例關系在中學物理中不勝列舉，理解了它們的物理意義，運用數(shù)學的比例關系來解決有些物理問題非常方便。

圖1

例證：如圖1所示，三根粗細一樣上端開口的長玻璃管，其中都有一段水銀柱封閉下面氣體，且 V1=V2＞V3，h1＜h2=h3， 三者原先溫度相同，后來又緩慢升高相同溫度，則管中水銀柱向上移動最小的是哪一管[2]。

解析：由于三管中氣體上方水銀柱長度不變，大氣壓一定，故三管中被封氣體均作等壓膨脹。

因C管V初最小，所以△Vc最小，即C管中水銀向上移動最少。

此題的結論就是通過比例關系，利用數(shù)學的分比定律求得，體現(xiàn)了數(shù)學建模的在解決物理問題的作用。

應用比例關系進行建模，一般步驟：一是要理解分析，二是依題意列出各物理量間的比例關系，三是利用數(shù)學建模尋求問題突破，五是求解驗證。

二、物理學習中的幾何圖形建模

運用幾何圖形表達、推導某些物理過程和結論，在考試說明中有明確的要求，且在歷年高考物理題中都有所體現(xiàn)。如：帶電粒子進入有界的磁場中運動就是要通過建構幾何圖形解決物理問題。

例證：一帶電質點，質量為m，電量為q，以平行于OX軸的速度V從Y軸上的a點射入圖2的圖中。為了使該點能從x軸上的b點以垂直于OX軸的速度V射出，可在適當?shù)胤郊右粋€垂直于XY平面的磁感應強度為B的勻強磁場。若此磁場僅分布在一個圓形區(qū)域內，試求這圓形磁場區(qū)域最小半徑。重力忽略不計[2]。

解析：帶電質點在勻強磁場的洛倫茲力作用下做勻速圓周運動發(fā)生偏轉。

題設質點自a點射入，從b點射出，兩方向垂直，因此在磁場區(qū)域中它的徑跡應是半徑等于R的圓上的圓周，并分別與Va、Vb方向相切，過a點作平行X軸直線，過b點作平行Y軸直線，則與兩直線均相距為R的點O′就是上述圓的圓心。質點在磁場區(qū)域中的徑跡就是以O′為圓心，R為半徑的圓上的圓弧，M點和N點應在所求圓形磁場區(qū)域的邊界上 （如圖2所示）。

圖2

以 M、N兩點連線 MN為弦可以作許多圓。其中圓面積最小的一個是以MN為直徑的圓，圓心為O″。

這個圓形磁場區(qū)域的最小半徑為：

此題就是較強地運用幾何圖形結合物理過程進行數(shù)學建模，從而求得結果。在幾何光學中更大量地用到幾何知識，這里就不列舉例證。

三、物理學習中的不等式關系建模

圖3

物理量經常要求指出它的上限或下限，有時要指出它可能存在范圍，這往往要運用不等式進行建模。

例證：如圖3所示，在當光滑的絕緣水平面上，有一不導電的輕質彈簧，彈簧兩端分別與金屬小球A和B（均可視為質點）相連，若讓它們帶上等量同種電荷，彈簧伸長量為X1，若讓它們電量均增加為原來2倍，則不管彈簧的原長和X1關系如何，此時彈簧的伸長量X2的值應在什么范圍。

解析：設彈簧原長為L0（自由長），勁度系數(shù)為k，設A、B兩球原來的帶電量都為q，根據(jù)題意，由庫侖定律得下列方程：

所以：X2<4X1。

因X2>X1，

此題是典型的物理問題利用等式經過合理處理轉化為不等式，從而求得物理量的取值范圍。這也是解決物理量極值問題的有效方法。

四、物理學習中的函數(shù)圖象建模

用函數(shù)圖象表述物理規(guī)律是研究物理問題常用的一種方法，在2014年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試安徽卷考試說明理科綜合物理部分中對應用數(shù)學工具處理物理問題能力闡述的最后一句話是：“必要時能運用幾何圖形函數(shù)圖象表達分析”，有些復雜的物理問題只有用函數(shù)圖象才能解析。例如波在中學階段尚不能用解析式來描述，應用波的圖象來表達、分析是重要的也是唯一的數(shù)學手段。

例證：在xy平面內有一沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，波速為1米/秒，振幅為4厘米，頻率為7.5赫茲，在t=0.1時刻，P點位于其平衡上方最大位移處，則距P為0.2米的Q點（如圖4所示）。

A.在0.1秒時位移是4厘米

B.在0.1秒時的速度最大

C.在0.1秒時的速方向向下

D.在0到0.1秒時間內路程為4厘米

解析：先畫出t=0時刻波形，要畫波形必須求波長λ，根據(jù)公式和題給條件有：λ=v·f=1/2.5米=0.4米。

圖4

按照題意，t=0時波形圖如圖5中實線表示，P點位于平衡位置上方最大位移處，即Yp=4厘米，與其相距0.2米 （恰好相距為半波長），Q點顯然應在YQ=-4厘米處，又該波的周期T=1/f=1/2.5秒=0.4秒，所以T=0.1秒時，即在0到1/4T時，根據(jù)波向右（X軸正方向）傳播，此時波形圖如圖虛線表示，P、Q兩質點分別在P′、Q′位置，且Q點經4厘米路程后正在通過平衡位置以最大速度向上運動。

綜上所述，選項B、D正確。

應用函數(shù)圖象解題，形象、直觀、思路清楚，即能達到化難為易的目的，又訓練了學習者靈活多變的思維能力。

通過以上物理學習中的數(shù)學建模實例分析,我們不難看出,數(shù)學建模是解決物理問題的一種重要思想方法。運用數(shù)學建模處理物理問題既是學習者學習能力體現(xiàn)，又是提高學習者有效學習的重要途徑。當然，除以上物理問題用到數(shù)學的比例關系、幾何圖形、不等式關系和函數(shù)圖象建模外，還有一些物理問題用到數(shù)學的極值、三角函數(shù)、相似三角形、等比數(shù)列、等差數(shù)列等知識進行建模。因此，在物理學科教學中一定要培養(yǎng)學習者建立數(shù)學建模的思想方法。

[1]殷堰土.關于中學數(shù)學建模教學的思考[J].蘇州教育，2003，（3）.

[2]孫 偉.高中物理解題方法[M].延吉：延邊大學出版社，2013.