陳成鋼，顧 沛

（1．天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384；2．南開大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300071）

“卓越計劃”下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的探索

陳成鋼1，顧 沛2

（1．天津城建大學(xué) 理學(xué)院，天津 300384；2．南開大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 300071）

根據(jù)“卓越工程師”培養(yǎng)計劃，通過“案例教學(xué)法”導(dǎo)入概念，“問題驅(qū)動法”開展討論課，激趣互動等教學(xué)實(shí)踐，介紹大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革和學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，并結(jié)合具體案例，探討課堂教學(xué)中如何將教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)手段有機(jī)結(jié)合．

卓越計劃；大學(xué)數(shù)學(xué)；教學(xué)方法；案例教學(xué)

1 引 言

大學(xué)數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)的語言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，在人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響．教育部“卓越工程師教育培養(yǎng)計劃”（簡稱“卓越計劃”），是貫徹落實(shí)《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》和《國家中長期人才發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》的重大改革項(xiàng)目，也是促進(jìn)中國由工程教育大國邁向工程教育強(qiáng)國的重大舉措．為落實(shí)“卓越計劃”，教育部和天津市教委等教育主管部門專門立項(xiàng)支持大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革．國際上，美國在邁向2020工程師培養(yǎng)計劃標(biāo)準(zhǔn)（13條）中指出學(xué)生應(yīng)具備數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程知識及應(yīng)用數(shù)學(xué)、科學(xué)和工程知識能力．

無論國際還是國內(nèi)，大學(xué)數(shù)學(xué)是卓越人才培養(yǎng)關(guān)鍵中的重點(diǎn)已成為共識．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不僅要獲得一大堆重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和結(jié)論，更為重要的是要掌握數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)．課堂教學(xué)是人才培養(yǎng)的中心環(huán)節(jié)，教學(xué)不僅是一門科學(xué)，更是一種藝術(shù)[1]．因此，教學(xué)方法的改革與創(chuàng)新應(yīng)成為教學(xué)改革的切入點(diǎn)和突破口．

2 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的必要性

近年來，隨著高校擴(kuò)招及大班授課，學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等方面的差異，現(xiàn)行的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在一些亟待解決的問題，使得大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革勢在必行．

2.1 教學(xué)觀念陳舊

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中過分強(qiáng)調(diào)知識的系統(tǒng)性，這與擴(kuò)招及大班授課、以及生源差異等產(chǎn)生了難以調(diào)和的矛盾．教學(xué)中不僅要強(qiáng)調(diào)其邏輯的嚴(yán)密性、思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，而且應(yīng)該將其作為專業(yè)課程的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)其應(yīng)用性、學(xué)生思維的開放性、解決實(shí)際問題的自覺性[2]．

2.2 教學(xué)內(nèi)容與應(yīng)用相脫節(jié)

隨著近代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用的發(fā)展，數(shù)學(xué)的應(yīng)用不再局限于傳統(tǒng)的物理、力學(xué)、普通工程技術(shù)的范圍，還擴(kuò)展到包括生物、化學(xué)、醫(yī)學(xué)、氣象、人口、生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、管理、社會學(xué)等極其廣泛的領(lǐng)域．相比之下，中國的教學(xué)內(nèi)容跟不上時代與實(shí)際應(yīng)用的需要，不能學(xué)以致用，難以適應(yīng)社會發(fā)展的要求[3]．

2.3 課堂教學(xué)的信息量較小

一直以來，大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)手段比較單一，大多數(shù)教師仍然沿用教師為主導(dǎo)的教學(xué)模式, 過分強(qiáng)調(diào)反復(fù)講解與訓(xùn)練．這種方法固然有利于學(xué)生牢固掌握基礎(chǔ)知識，但也容易造成學(xué)生的“思維惰性”，不利于獨(dú)立探究能力和創(chuàng)新能力的發(fā)展，同時，也使得課堂上呈現(xiàn)給學(xué)生的信息量極為有限[4]．

3 大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)方法改革的探索

教學(xué)方法雖然具有一定的模式，但其形式多種多樣，千變?nèi)f化．在教學(xué)過程中不能生搬硬套某種教學(xué)方法，更不能千篇一律套用一種教學(xué)手段，而是要深刻領(lǐng)會“教無定法，貴在得法”這個道理．教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，以及學(xué)生所具有的知識結(jié)構(gòu)及興趣愛好，為每節(jié)課“量身定做”一套靈活多變的教學(xué)方法[5]．

3.1 用“案例教學(xué)法”導(dǎo)入數(shù)學(xué)概念

案例教學(xué)最早起源于美國哈佛大學(xué)，它是指在課堂教學(xué)中，教師本著理論與實(shí)際相結(jié)合的原則，依據(jù)教學(xué)目的和教學(xué)內(nèi)容的需要以及學(xué)生身心發(fā)展的特點(diǎn)，運(yùn)用典型案例，將學(xué)生引入一個特定的真實(shí)情境中，通過對案例的分析、討論，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主探究性學(xué)習(xí)，了解與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，以提高學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題能力的一種教學(xué)方法．具體地說，就是將案例作為教學(xué)材料，結(jié)合教學(xué)主題，通過討論、問答等師生互動的教學(xué)過程，讓學(xué)習(xí)者了解與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)者高層次能力的教學(xué)方法．從這個概念中可以看出，案例教學(xué)主要強(qiáng)調(diào)3點(diǎn)：（1）強(qiáng)調(diào)以案例為教學(xué)材料；（2）強(qiáng)調(diào)師生互動的教學(xué)過程；（3）強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)與教學(xué)主題相關(guān)的概念或理論，并培養(yǎng)學(xué)生高層次的能力．這與“卓越計劃”培養(yǎng)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)不謀而合．

案例教學(xué)法的實(shí)施可以分為3個步驟[4]：（1）選擇案例．教師在上課前要精心選擇案例，選取案例時要考慮其目的性、趣味性、代表性、真實(shí)性和實(shí)用性．（2）分析案例．在引導(dǎo)學(xué)生理解案例的基礎(chǔ)上，教師提出一些有針對性的問題，引發(fā)學(xué)生去思考，討論并歸納出解決問題的思路和方法，然后建立數(shù)學(xué)模型并求解，得到案例的答案．（3）歸納推廣案例．再列舉一些類似的案例，分析案例解決的思想方法，通過對比找到共性，歸納并提煉出新的數(shù)學(xué)概念和方法．為了做好案例教學(xué)，課題組建立了大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用案例庫并制作了相應(yīng)的課件．

例如，無窮級數(shù)概念的引入：

第一步：結(jié)合學(xué)生已有的知識作為導(dǎo)引

第二步：更有趣的例子——Zeno’s Paradox（芝諾悖論）

若用T表示一半的路程，這是一個沒有終結(jié)的過程，因此永遠(yuǎn)跑不到原點(diǎn)．

實(shí)際情況是若等速行進(jìn)，跑一半路程所需時間為T，則跑完全程所需時間為2T，即有，由此導(dǎo)出對上面等式的理解．

另一方面，

令n→∞，結(jié)果為2T，與上面結(jié)果相同．

可見，要把無限多項(xiàng)之“和”等于2T 理解為前n項(xiàng)之和的極限．

但是，如果以如下方式減速前進(jìn)：

這種情況下，Zeno是有道理的：永遠(yuǎn)不能到達(dá)終點(diǎn)．

從上述實(shí)例不難得到一個結(jié)論：無窮級數(shù)是以加法形式出現(xiàn)的極限問題，正由于本質(zhì)是極限，故出現(xiàn)“極限是否存在”的問題，即無窮多項(xiàng)“相加”可能是“沒有和”的；然后再正式定義無窮級數(shù)、部分和等概念．

另外，引入概念時，要注意其幾何、物理背景或數(shù)學(xué)背景，用直觀語言進(jìn)行描述；在概念的表述上，一定要教給學(xué)生數(shù)學(xué)語言表述的嚴(yán)謹(jǐn)性，但為了學(xué)生便于理解，可結(jié)合圖形等進(jìn)行表述，同時講清楚概念的內(nèi)涵、外延，最后注意概念的應(yīng)用，如級數(shù)在年金現(xiàn)值等方面的應(yīng)用．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)奠基人，荷蘭數(shù)學(xué)家Freudenthal有一句名言：“沒有一種數(shù)學(xué)思想，以其被發(fā)現(xiàn)時的那個樣子發(fā)表出來．一個問題被解決以后，相應(yīng)地發(fā)展成一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗．”在概念教學(xué)中，善于用平易、通俗的語言揭示抽象概念的“本原”意義，闡明隱藏在形式符號后面的數(shù)學(xué)思考，這既是教學(xué)藝術(shù)，也是一種教學(xué)境界[6]．

實(shí)踐證明案例教學(xué)不僅加強(qiáng)了師生交流，活躍了課堂氣氛，而且可以讓學(xué)生了解所學(xué)內(nèi)容和實(shí)際問題的聯(lián)系，有利于增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的自覺性，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．

3.2 用“對比法”引入概念比較

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)過程中，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容的需要，適時采用對比法引入新的數(shù)學(xué)概念能使得學(xué)生在接受新知識的同時對已有概念做到科學(xué)的比較，達(dá)到良好的教學(xué)效果．

例如，關(guān)于“函數(shù)f(x)在x→a時的極限”不依賴于x=a 點(diǎn)處的函數(shù)值；“函數(shù)f(x)在x=a點(diǎn)處的連續(xù)性”卻依賴于x=a點(diǎn)處的函數(shù)值[7]．

教師在同一屏上展示下面3幅動畫：第一幅是函數(shù)f(x)在x→a時的極限等于該點(diǎn)處的函數(shù)值；第二幅除了函數(shù)在x=a點(diǎn)處無定義外與第一幅一樣；第三幅除了函數(shù)在x=a點(diǎn)處的函數(shù)值比原來大以外與第一幅一樣．這樣，三幅圖表達(dá)的函數(shù)，在ax→ 時的極限都存在，并且極限值也相同；但是3幅圖表達(dá)的函數(shù)是不同的，因?yàn)樗鼈冊赼x=點(diǎn)處的函數(shù)值不同．這表明“函數(shù) 在)(xfax→ 時的極限”是不依賴于ax=點(diǎn)處的函數(shù)值的．

而第一幅圖的函數(shù)在ax=點(diǎn)處連續(xù)；第二幅、第三幅圖的函數(shù)在ax=點(diǎn)處不連續(xù)；這表明“函數(shù)在ax=點(diǎn)處的連續(xù)性”卻是依賴于ax=點(diǎn)處的函數(shù)值的．

這些區(qū)別，本來是學(xué)生容易混淆和出錯的地方，現(xiàn)在用形象、生動的動畫配合講授，學(xué)生就比較容易理解和記?。?/p>

3.3 用“問題驅(qū)動法”開展討論課

所謂“問題作驅(qū)動”是指：一是問題驅(qū)動教學(xué)過程；二是問題驅(qū)動師生交流討論．因此討論題設(shè)計是非常關(guān)鍵的．一般說來，討論題應(yīng)從以下幾方面組織、設(shè)計：根據(jù)教學(xué)目的和要求設(shè)計討論題，使得在問題的驅(qū)動下完成教學(xué)任務(wù)；圍繞有利于揭示思想和解決問題的方法規(guī)律設(shè)計討論題，以提示學(xué)生總結(jié)提升；根據(jù)往屆學(xué)生理解困難、容易出現(xiàn)問題的地方設(shè)計討論題，以解疑釋惑，避免錯誤再現(xiàn)．教師還應(yīng)在課堂上因勢利導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問題后，隨時提出新的討論題[8~11]．

例如，在講解拉格朗日微分中值定理時，定理的證明需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)，有些教師在定理的條件和結(jié)論介紹后，把輔助函數(shù)和盤托出，然后證明結(jié)論無誤．學(xué)生聽完課后也認(rèn)為結(jié)論是嚴(yán)格的，可是他們無法理解這些命題是如何提出的，輔助函數(shù)是如何構(gòu)造出來的．構(gòu)造函數(shù)法在數(shù)學(xué)證明中廣泛應(yīng)用，它們所起的作用是橋梁式的作用，甚至有些是起著無法替代的作用．所謂構(gòu)造函數(shù)法，就是為了使某一數(shù)學(xué)命題或者某一數(shù)學(xué)概念通過已知的數(shù)學(xué)概念和方法，人為地構(gòu)造出來的函數(shù)，這些函數(shù)的存在，往往依賴于已知命題的函數(shù)的存在，在條件的約束下，達(dá)到證明或者說明某種結(jié)論或概念的正確性．

拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)滿足（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得，下面討論拉格朗日中值定理證明的幾種思路．

拉格朗日中值定理是羅爾定理的推廣，其證明的基本思路是借助羅爾定理，問題的關(guān)鍵就是構(gòu)造一個輔助函數(shù)，符合羅爾定理的3個條件，且應(yīng)用羅爾定理可以得到待證明的結(jié)論．

思路1：借助幾何圖形構(gòu)造輔助函數(shù)（如圖）

此命題存在著明顯的幾何意義，這時只要根據(jù)其幾何的表達(dá)，顯然也能方便快捷并且一目了然地構(gòu)造出輔助函數(shù)來．

討論：（1）弦AB方程是什么？（2）弦AB與函數(shù)f(x)的圖像有什么關(guān)系？（3）如何構(gòu)造輔助函數(shù)？

曲線f(x)減去弦AB，所得曲線兩端點(diǎn)的函數(shù)值相等故做輔助函數(shù)，借助羅爾定理可證．．

這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法也稱為幾何直觀法，其優(yōu)點(diǎn)是直觀易懂，但是缺點(diǎn)同樣突出，應(yīng)用比較局限，對于一些圖形難以描述的結(jié)論，尤其所證明結(jié)論涉及高階導(dǎo)數(shù)則此方法失效．

思路2：羅爾中值定理的結(jié)論為一個導(dǎo)數(shù)形式，那么構(gòu)造輔助函數(shù)其實(shí)就是要尋找一個能夠滿足羅爾中值定理?xiàng)l件的原函數(shù)，這樣，可以利用微分運(yùn)算的逆過程——積分運(yùn)算，來構(gòu)造輔助函數(shù)，以解決有關(guān)微分中值的問題．

（2）此函數(shù)與剛才的輔助函數(shù)不同，是否也滿足羅爾定理的3個條件？

這種構(gòu)造輔助函數(shù)的方法常稱為“原函數(shù)法”（或者“湊導(dǎo)數(shù)法”），其實(shí)是一種逆向思維的方法，在結(jié)合微分中值定理求解介值定理（或者零點(diǎn)定理）問題時，要證明的結(jié)論往往是一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，這時可通過不定積分反求出原函數(shù)構(gòu)造出輔助函數(shù)，這個證明的步驟：（1）將結(jié)論通過恒等變換，化為容易積分的函數(shù)形式，一般常用的變換方法是移項(xiàng)將等式一端變換為常數(shù)0；（2）用x替換變換后等式中的變量；（3）用觀察法或者湊微分法（對一些不易湊出原函數(shù)的問題，一般積分法找相應(yīng)的輔助函數(shù)）求出原函數(shù)，則原函數(shù)即為所要構(gòu)造的輔助函數(shù)；（4）最后結(jié)合微分中值定理，推導(dǎo)出結(jié)論來．

（2）f(b)-cb=f(a)-ca有什么特點(diǎn)？可以設(shè)想構(gòu)造什么輔助函數(shù)？

顯然，此式的左右兩邊整齊、結(jié)構(gòu)清楚．此時引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造一個滿足羅爾定理的輔助函數(shù)就顯得十分容易．學(xué)生很自然可以觀察到F(x)=f(x)-cx在a處和b處的函數(shù)值相等，當(dāng)然也滿足羅爾定理的另外兩個條件．

此方法構(gòu)造輔助函數(shù)的步驟為：

（1）將結(jié)論變形，使常數(shù)部分分離出來并令為k．

（2）恒等變形使等式一端為a及f(a)構(gòu)成的代數(shù)式，另一端為b及f(b)構(gòu)成的代數(shù)式．

（3）觀察分析關(guān)于端點(diǎn)的表達(dá)式是否為對稱式．若是，則把其中一個端點(diǎn)設(shè)為x，相應(yīng)的函數(shù)值改為f(x)．

（4）端點(diǎn)換成變量x的表達(dá)式即為輔助函數(shù)F(x)．

以上3種方法，從不同的途徑構(gòu)造的輔助函數(shù)證明了定理．學(xué)生可以體會到在中值定理的證明問題中，存在輔助函數(shù)不唯一的情況，尤其重要的是掌握解決問題的方法．其中思路1有應(yīng)用的局限性，思路2和3的變形方法可以推廣到其他問題中．另外，在接下來講解的柯西中值定理，同樣可以讓學(xué)生體驗(yàn)這3種方法，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立完成，鍛煉其解決問題的能力，從而在研究性學(xué)習(xí)中解決這一類證明問題．很多學(xué)生在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，學(xué)會了許多典型的例題和巧妙的證明方法．這種方法的教學(xué)大大提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和學(xué)習(xí)能力．這樣啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的思維和認(rèn)識由淺入深，由表及里，層層深入，學(xué)生既能在一定程度了解這些命題的產(chǎn)生，也能自己體會創(chuàng)造和發(fā)現(xiàn)的樂趣．

進(jìn)一步的討論，由于對于一元函數(shù)而言，可導(dǎo)必連續(xù)，則能否用f(x)在[a,b]上可導(dǎo)代替條件（1）在[a,b]上連續(xù)；（2）在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)？當(dāng)然可以，但是由于拉格朗日中值定理不涉及端點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)．這樣定理適用的范圍縮小了，此外，在保證結(jié)論成立的前提下，定理的條件越弱，定理適用的范圍越寬．因此不用后一個條件代替前一個條件．雖然這種課堂教學(xué)模式教師要付出較多，但學(xué)生在如何思考問題和獲取知識方面將會得到很大收益．

3.4 將數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)

對于卓越人才的培養(yǎng)，應(yīng)該適當(dāng)介紹一些前沿性、方向性、潮流性的知識，如把軟件和建模等引入教學(xué)當(dāng)中．由于教材對原始研究背景的省略，教師對原始研究背景的重視不夠和課堂有限的學(xué)習(xí)時間等各種因素，傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)很少對前人的數(shù)學(xué)探索過程進(jìn)行再現(xiàn)．然而，這正是數(shù)學(xué)建模思想的點(diǎn)睛之處．因此，重要概念的提出、公式和定理的推導(dǎo)都是前人對現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的結(jié)果[12]．

那么，如何將前人的建模思想在傳授知識的過程中再現(xiàn)給學(xué)生呢？可以通過如下兩個途徑來實(shí)現(xiàn)．一是盡量用原始背景和現(xiàn)實(shí)問題，通俗的比喻，直觀的演示引入定義、定理和公式，然后再由通俗的描述性語言過渡到嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言．這樣不僅使學(xué)生真正了解到知識的來龍去脈，熟悉了這類問題的本質(zhì)屬性，而且掌握了處理這類問題的數(shù)學(xué)建模方法．例如，教材中“ε-δ”、“ε-N”語言給予形式化精確描述的極限概念，教師從劉徽的“割圓術(shù)”講起[13]，并利用課件進(jìn)行動態(tài)數(shù)值模擬演示，盡可能地向?qū)W生展示極限定義的形成過程，挖掘極限定義的實(shí)質(zhì)，然后再利用“ε-δ”、“ε-N”語言給出準(zhǔn)確的定義，從而使學(xué)生理解“極限”這個概念模型的構(gòu)建過程．這樣既省時又直觀，教學(xué)效果自然就會得到提高．再如以定積分定義的教學(xué)為例，談?wù)勅绾吻腥霐?shù)學(xué)建模的思想．可以設(shè)計如下教學(xué)過程：（1）實(shí)際問題；求曲邊梯形的面積？（2）利用“分割、取近似（化整為零、以直代曲）、求和，取極限”的微積分的基本思想，得到實(shí)際問題的模型．（3）總結(jié)，抽象出數(shù)學(xué)模型，得出定積分的定義．（4）回到實(shí)際問題中．?dāng)?shù)學(xué)模型的根本作用在于它將客觀原型化繁為簡、化難為易，便于人們采用定量的方法去分析和解決實(shí)際問題．

在課堂教學(xué)中精選數(shù)學(xué)應(yīng)用例題，進(jìn)行建模示范，啟發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的意識．教師在課堂教學(xué)中適當(dāng)采取“減少經(jīng)典、增加現(xiàn)代、減少技巧、增加應(yīng)用”的原則，棄去了原書中部分經(jīng)典例子，加入既能反映問題，又能開闊學(xué)生眼界的例子．這樣教學(xué)，很容易牽動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，加深了他們對知識的理解，讓他們體驗(yàn)到了應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的樂趣，激發(fā)了他們用數(shù)學(xué)的思維和方法積極地探索現(xiàn)實(shí)世界[14~15]．

3.5 通過“專題作業(yè)”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主性學(xué)習(xí)

在大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，結(jié)合單元教學(xué)內(nèi)容的總結(jié)和課后習(xí)題，找一些有難度又有啟發(fā)性的問題給學(xué)生，來促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性[16]．教學(xué)中可將部分課堂教學(xué)內(nèi)容壓縮為學(xué)生的課外自學(xué)內(nèi)容，通過作業(yè)考核自學(xué)效果．每學(xué)期還增加兩次“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)”作業(yè)，作為學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)建模能力”的實(shí)踐訓(xùn)練．

3.6 激趣互動

高等數(shù)學(xué)概念和公式繁多而復(fù)雜，學(xué)生容易混淆，將有關(guān)概念、公式，特別是重要的數(shù)學(xué)方法編成口訣形式予以概括和總結(jié)，為學(xué)生的理解和記憶提供了良好的方法基礎(chǔ)．有時則以對對聯(lián)的方式引導(dǎo)學(xué)生自行總結(jié)，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的趣味性和積極性，形成活躍的課堂氛圍[8]．如定積分概念不僅是整個積分學(xué)的基礎(chǔ), 還深刻反映了其解決實(shí)際問題的方法與思路，有著十分重要的教學(xué)意義．對其基本思想與過程總結(jié)為4句話：“化整為零先細(xì)分，不變代變途徑新；累加求和得近似，確立極限定積分．”又如多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)歷來是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)之一．在教學(xué)中，可總結(jié)成“多元復(fù)合求偏導(dǎo)，圖解關(guān)系最重要；環(huán)節(jié)之間是乘法，路線之間用加號”等口訣．兩類曲面積分的計算是多數(shù)學(xué)生感到特別困難的，其實(shí)可用“一代二換三投影，一代二投三定號”14個字來概括，這樣不僅深刻地揭示了所學(xué)內(nèi)容、方法及注意事項(xiàng)，而且瑯瑯上口，便于記憶．把微積分的主要公式用數(shù)字做總結(jié)，如三對左右，即左右極限、左右聯(lián)系、左右導(dǎo)數(shù)；三套公式，即求導(dǎo)公式、微分公式及不定積分公式，這3個公式互相聯(lián)系．在函數(shù)極限問題上，自變量的變化趨勢有6種，而函數(shù)變化趨勢是3種，有兩種是極限不存在，又有兩種固定趨勢，在教學(xué)中又借助多媒體動態(tài)演示，可以給學(xué)生留下深刻的印象．

4 結(jié) 束 語

教學(xué)方法的改革與創(chuàng)新是教師永恒的話題和主題，一位好的老師，應(yīng)該把書本變成自己的東西，把思想本質(zhì)講出來，應(yīng)該多想想，我當(dāng)時是怎么學(xué)的，怎么才能讓學(xué)生學(xué)得更明白，怎樣才能能把書本的知識轉(zhuǎn)化為學(xué)生自己的智慧．

無論那種教學(xué)方法，做好配套的課件是十分關(guān)鍵，用數(shù)學(xué)軟件、CAI課件和多媒體教學(xué)，在課堂教學(xué)當(dāng)中穿插數(shù)學(xué)內(nèi)容的幾何直觀表現(xiàn)．內(nèi)容設(shè)計上注重科學(xué)合理地運(yùn)用多媒體手段．采用現(xiàn)代的、科學(xué)的教學(xué)方法，正確地劃分知識點(diǎn)并運(yùn)用了生動的多媒體表現(xiàn)形式，應(yīng)符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，課堂教學(xué)中合理使用多媒體技術(shù)，可以實(shí)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的可視性、通俗性、應(yīng)用性和趣味性．

自從將信息技術(shù)引入大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)以來，學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)深度和廣度得以提高，學(xué)習(xí)興趣提高明顯．最近兩年來，天津城建大學(xué)數(shù)學(xué)建模每年都有天津賽區(qū)一等獎及國家獎，2013年還獲得兩項(xiàng)國家二等獎，取得歷史最好成績．可以說，“卓越計劃”下大學(xué)數(shù)學(xué)課程的改革和實(shí)踐，正取得預(yù)期的效果．

[1] 李大潛．關(guān)于高校數(shù)學(xué)教學(xué)改革的一些宏觀思考[J]．中國大學(xué)教學(xué)，2010，（1）：7-9．

[2] 王立冬，馬玉梅．關(guān)于高等數(shù)學(xué)教育改革的一些思考[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（2）：100-102．

[3] 何穗，胡典順，李書剛．大學(xué)文科數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與對策[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2013，22（1）：48-49．

[4] 王家軍，徐光輝，王勝奎．高等數(shù)學(xué)教學(xué)方法的改革實(shí)踐與回顧[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2010，（4）：4-5．

[5] 王光明．高效數(shù)學(xué)教學(xué)行為的特征[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（2）：35-38．

[6] 胡典順．新課程中的微積分及其教育價值[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（1）：13-16．

[7] 顧沛．培養(yǎng)學(xué)生形象思維、邏輯思維、辯證思維的相輔相成——兼談“大學(xué)文科數(shù)學(xué)”的教學(xué)改革[J]．中國大學(xué)教學(xué)，2010，（3）：31-35．

[8] 王友國．大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系和教學(xué)內(nèi)容的改革與實(shí)踐[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（4）：88-91．

[9] 韓旭里．大學(xué)數(shù)學(xué)課程整體融合的實(shí)踐與比較[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2009，18（2）：56-58．

[10] 吳曉紅，周明儒，苗正科．地方師范院校文科大學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的現(xiàn)狀及提高[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（2）：50-52．

[11] 顧沛．試論研究性教學(xué)中教師的作用[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2006，15（3）：4-7．

[12] 陳紹剛，黃廷祝，黃家琳．大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)學(xué)建模意識與方法的培養(yǎng)[J]．中國大學(xué)教學(xué)，2010，（12）：44-46．

[13] 高興佑，向長福．如何破解極限定義教學(xué)難題[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2011，20（5）：96-98．

[14] 徐映紅，徐定華．融數(shù)學(xué)思想和應(yīng)用的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革[J]．大學(xué)數(shù)學(xué)，2012，（5）：12-13．

[15] 李明哲．試論大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的效率策略[J]．黑龍江高教研究，2012，（2）：154-156．

[16] 王雪琴．發(fā)散思維是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的突破口——數(shù)學(xué)分析習(xí)題課教學(xué)感悟[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報，2010，19（1）：13-16．

Exploring of the Advanced Mathematical Teaching Methods under Outstanding Plan

CHEN Cheng-gang1, GU Pei2
(1. School of Science, Tianjin Chengjian University, Tianjin 300384, China; 2. School of Mathematical Sciences, NanKai University, Tianjin 300071, China)

According to the “outstanding engineer” fostering plan, by introducing the concept of “case teaching method”, “the problem driven approach” discussion class, stimulating interaction teaching practice and etc. The reforms of teaching methods and fostering student creative ability are introduced under, we discuss how the teaching contents, teaching methods and teaching means are combined with concrete teaching examples.

outstanding plan; advanced mathematics; teaching methods; examples teaching

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0009–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–10–22

天津市教委2012年重點(diǎn)教改課題——“卓越計劃”下數(shù)理基礎(chǔ)課程教學(xué)改革的研究與實(shí)踐（C04-0832）；天津市教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃青年專項(xiàng)課題——大學(xué)數(shù)理基礎(chǔ)公共課程教學(xué)效率研究（HEYP5014）

陳成鋼（1976—），男，山東菏澤人，副教授，碩士，主要從事大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)和概率統(tǒng)計等方面的研究．