徐章韜，顧泠沅

（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．上海市教育科學(xué)研究院，上海 200032）

師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)之調(diào)查研究

徐章韜1，顧泠沅2

（1．華中師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院，湖北 武漢 430079；2．上海市教育科學(xué)研究院，上海 200032）

借鑒TELT的做法，在三角內(nèi)容編排中，從幾何的、解析的、橫向的視角看三角幾個(gè)方面的設(shè)計(jì)問題，考察師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的實(shí)然水平，并從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的角度分析了其中的原因．師范生不能從整體上把握教材的編寫意圖，缺乏甄別教材優(yōu)缺點(diǎn)的眼光和技術(shù)；不能看到形式公式的幾何背景和知識(shí)的形式演變與研究動(dòng)機(jī)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)；不能看到教材中蘊(yùn)含的思想方法和研究視角的變遷，也缺乏相應(yīng)的導(dǎo)引；師范生在三角橫向內(nèi)容組織的理解水平上，雖可以達(dá)到概念水平的理解，但達(dá)不到問題解決水平的理解．師范生對教材的理解水平停留在概念和解題水平的原因不是他們的數(shù)學(xué)功底不扎實(shí)，而是他們不清楚知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，沒有有意識(shí)地溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系．研讀教材，發(fā)展課程與內(nèi)容的知識(shí)，要有廣闊的視野和“兼容并包”的胸懷．

面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)；課程與內(nèi)容的知識(shí)；數(shù)學(xué)的發(fā)生發(fā)展；師范生

1 問題提出

面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)（Mathematical Knowledge for Teaching，簡稱MKT）是一個(gè)重要的研究課題[1]．課程與內(nèi)容的知識(shí)（Knowledge of Content and Curriculum，簡稱KCC）是其中一個(gè)重要的組成部分．從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的觀點(diǎn)看，課程與內(nèi)容的知識(shí)，是指特定主題知識(shí)的源型和演化的知識(shí)，及其在教科書概念體系、邏輯結(jié)構(gòu)中的位置定位和來龍去脈的知識(shí)以及橫向聯(lián)系的知識(shí)．課程與內(nèi)容的知識(shí)集中體現(xiàn)了教師對教科書的把握程度和理解水平，因?yàn)檫M(jìn)入教科書里的內(nèi)容都是經(jīng)過了教學(xué)法的加工，字里行間隱隱跳動(dòng)著數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家的思維．教學(xué)就是在學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)水平與現(xiàn)實(shí)情境、歷史背景、數(shù)學(xué)本質(zhì)、傳授模仿[2]這4種設(shè)計(jì)狀態(tài)中進(jìn)行取舍．進(jìn)行合理取舍的前提條件之一是要求教師能把握數(shù)學(xué)課程、教材的結(jié)構(gòu)體系、內(nèi)容及其組織方式．此次研究以三角為抓手，調(diào)查師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的實(shí)然水平，并從數(shù)學(xué)發(fā)生數(shù)學(xué)的角度解析師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)實(shí)然水平的原因．

2 研究設(shè)計(jì)

2.1 研究對象

研究者在指導(dǎo)教育實(shí)習(xí)的過程中對師范生及其教學(xué)情況有了一定的了解，采取典型取樣法選取6名教三角的師范生為被試，姑且以小A、小B、小C、小D、小E和小F稱之．小A考取了應(yīng)用數(shù)學(xué)的研究生，小E直升了數(shù)學(xué)教育的研究生，小B、小C、小D順利地找到了工作．小B還獲得過學(xué)校教學(xué)比賽公開課的特等獎(jiǎng)．他們是優(yōu)秀的師范生，研究他們的課程與內(nèi)容的知識(shí)有一定的價(jià)值．

2.2 研究框架

課程內(nèi)容的組織為歷代教育家所關(guān)注．在教育史上，最有影響的是縱向組織原則．但從20世紀(jì)70年代以后，一些教育家開始強(qiáng)調(diào)課程內(nèi)容的橫向組織原則．課程內(nèi)容的縱向組織與橫向組織是在組織課程內(nèi)容時(shí)經(jīng)常會(huì)碰到的[3]．鑒于此，從縱向和橫向兩個(gè)維度解析師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)．在縱向維度，首先討論師范生對三角教材編排的整體認(rèn)知；然后在初等數(shù)學(xué)的范圍里，考察師范生從幾何的、解析的視角看待三角課程與內(nèi)容的知識(shí)．在橫向維度，討論師范生從物理的角度認(rèn)識(shí)三角課程和內(nèi)容的知識(shí)．

2.3 研究工具

三角歷史悠久，人們從幾何的、解析的、物理的等多個(gè)角度對其進(jìn)行了深入的研究．具有如此悠久歷史的主題，其中所包含的研究視角、研究方法及核心思想，顯然不易一下子吃透，對教師駕馭教材的能力提出了很高的要求．教材不可能面面俱到，但教師要讀懂教材后面的微言要義．把三角函數(shù)的概念理解局限在一節(jié)課、一章書里是不對的，對該概念的理解不是一蹴而就的，需要一個(gè)漸進(jìn)、深入的過程．作為教師更要有全局觀念，在教三角這一章時(shí)，要用三角的眼光看待前前后后的內(nèi)容．

鮑爾在研究面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)曾開發(fā)了的TELT（Teacher Education and Learning to Teach Study，簡稱TELT）工具．這個(gè)問卷的特點(diǎn)是測試題能將特定數(shù)學(xué)概念與這個(gè)概念起關(guān)鍵作用的課堂情境交織起來，而不是直接地測試學(xué)科知識(shí)．供鑒TELT的做法，開發(fā)的研究工具由以下幾個(gè)問題組成：（1）三角部分在教材里分兩大部分：三角比和三角函數(shù)．按研究者的理解，三角比其實(shí)就是以角為自變量，比值為變量的函數(shù)，可是為什么教材不稱其為三角函數(shù)呢？教材的意圖是什么？（2）你能從幾何的角度解釋一下同角三角比的平方關(guān)系、誘導(dǎo)公式、萬能公式、兩角和與差的余弦公式及積化和差公式嗎？（3）三角比可以用單位圓中的有向線段表示，三角函數(shù)又稱圓函數(shù)．可見圓之于三角函數(shù)很重要．圓的重要性質(zhì)表現(xiàn)在三角函數(shù)的哪些地方呢？（4）公式y(tǒng)=Asin(ωx+φ)有很多實(shí)際意義，上海教材2004年版把它當(dāng)作選學(xué)內(nèi)容，2006年版又當(dāng)作必修內(nèi)容？對此你是怎么看的？對這個(gè)內(nèi)容你是怎樣看的？問題（1）考察師范生對教材內(nèi)容編排的整體認(rèn)識(shí)；問題（2）考察師范生是否了解三角函數(shù)的幾何背景；問題（3）考察師范生是否了解研究三角函數(shù)時(shí)所采用的解析視角；問題（4）考查師范生是否了解三角函數(shù)的現(xiàn)實(shí)來源．并且征求過一線著名特級(jí)教師對這些問題的意見，保證了測試問題的內(nèi)容效度．

2.4 數(shù)據(jù)的量化

教育科學(xué)研究中得到的數(shù)據(jù)大多是一些質(zhì)性數(shù)據(jù)，比較難于量化，但為了了解師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的實(shí)然水平，研究參照Kinach[4]修正過的理解水平框架和數(shù)學(xué)認(rèn)知水平分析框架，形成分析師范生面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架，如表1．

表1 面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架

2.5 分析視角

為了對師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的實(shí)然水平有一個(gè)合理的解釋，研究從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的視角分析影響師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)水平的內(nèi)在因素．這是一個(gè)全新的視角，已經(jīng)引起了研究者的注意，如Clark[5]和Jankvist[6]等的研究．

3 研究結(jié)果

3.1 師范生在三角內(nèi)容編排上的質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架，得到表2中的結(jié)果．

3.2 師范生從幾何的角度看三角內(nèi)容組織的質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架，得到表3中的結(jié)果．

3.3 師范生從解析的角度看三角內(nèi)容組織的質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架，得到表4中的結(jié)果．

3.4 師范生橫向的三角內(nèi)容組織的質(zhì)的數(shù)據(jù)

根據(jù)面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的水平分析框架，得到表5中的結(jié)果．

表2 師范生對三角內(nèi)容編排的理解水平

表3 師范生從幾何的角度看三角內(nèi)容組織的理解水平

表4 師范生從解析的角度看三角內(nèi)容組織的理解水平

表5 師范生橫向的三角內(nèi)容組織的理解水平

3.5 質(zhì)的數(shù)據(jù)之間的關(guān)聯(lián)

利用超級(jí)畫板中統(tǒng)計(jì)作圖功能把上表繪制成條形成圖，如圖1所示．

從圖1中可以看到，師范生對三角內(nèi)容編排的整體認(rèn)識(shí)處于比較低的水平，還不能把握住教材．這與他們在幾何的、解析的、橫向的維度上的表現(xiàn)水平低是密切相關(guān)的．換言之，師范生若看不到三角的幾何的、解析的、物理的來源，他們處理教材的水平就不會(huì)高到哪里去．

圖1 師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的實(shí)然水平圖

4 討論與分析

4.1 師范生不能從整體上把握教材的編寫意圖并缺乏甄別教材優(yōu)缺點(diǎn)的眼光和技術(shù)

在新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，三角函數(shù)作為函數(shù)占據(jù)了主導(dǎo)地位，這相對于以往的課程標(biāo)準(zhǔn)是一個(gè)實(shí)質(zhì)性的變化．早在20世紀(jì)初，著名的數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克萊因主張，中小學(xué)課程應(yīng)該圍繞著函數(shù)展開，這個(gè)變化正好體現(xiàn)了克萊因的這種思想．但是在上海教材里，卻不是這樣編排的．從初中到高中的線索是這樣的：銳角三角比→任意角的三角比→三角函數(shù)．這樣的編排與師范生在高中時(shí)所用的人民教育出版社的教材的編排大不一樣，師范生如何甄別教材的優(yōu)、缺點(diǎn)，從而更有效地實(shí)施教材的意圖呢？雖然現(xiàn)在有人認(rèn)為教材不是神圣的，但從中國基礎(chǔ)教育的現(xiàn)狀和教師的基本素質(zhì)看，教材仍然是課堂教學(xué)的最主要的依據(jù)[7]．教材貴在用，教師要努力理解和領(lǐng)會(huì)教材的設(shè)計(jì)理念及教學(xué)思想，把握其特點(diǎn)，較好地挖掘教材所潛藏的資源．所以，強(qiáng)調(diào)對教材編寫意圖的理解具有現(xiàn)實(shí)意義．

上海教材之所以先講三角比再講三角函數(shù)，一個(gè)很重要的原因，是為了和初中銳角三角比銜接，而不僅是強(qiáng)調(diào)三角比是數(shù)而不是函數(shù)，三角函數(shù)難于理解等，比如全國教材就沒有三角比之說．至于先行內(nèi)容是后續(xù)內(nèi)容的準(zhǔn)備，要按照循序漸進(jìn)的原則等，均大而不實(shí)，不能從根本上說明問題．從歷史發(fā)生發(fā)展的角度看，三角的定義歷經(jīng)了正弦是圓弧所對的弦的弦長，正弦是圓弧所對的弦的半弦長，正弦是比值以及正弦是單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的嬗變．上海教材強(qiáng)調(diào)三角比是尊重了歷史的進(jìn)程，而人教版教材強(qiáng)調(diào)了函數(shù)的觀點(diǎn)，更具有現(xiàn)代眼光，對學(xué)生的認(rèn)知水平也提出了更高的要求．師范生們顯然不是從這個(gè)角度來理解教材的編排意圖的．他們的有些說法往往大而不當(dāng)，不能轉(zhuǎn)化為教學(xué)知識(shí)．

4.2 師范生不能看到形式公式的幾何背景也不能看到知識(shí)的形式演變與研究動(dòng)機(jī)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)

三角函數(shù)其實(shí)是圓的性質(zhì)的解析表達(dá)，平面幾何是三角函數(shù)的“母體”．三角公式脫胎于幾何命題，當(dāng)用解析的形式表達(dá)出來后，生動(dòng)活潑的思想就淹沒在符號(hào)里面了．由于缺乏直觀的感性認(rèn)識(shí)，對公式的理解和記憶易陷入機(jī)械訓(xùn)練的窠臼．在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，不少師范生認(rèn)為學(xué)生對公式的理解記憶是學(xué)習(xí)三角的一大難點(diǎn)，顯然，他們沒有抓住三角的靈魂，把三角看作是一大堆符號(hào)的變換而已，這樣的學(xué)習(xí)已是本末倒置了，學(xué)起來興趣索然．這樣的情形不只發(fā)生在三角教學(xué)里，在統(tǒng)計(jì)教學(xué)里，容易把統(tǒng)計(jì)思想教成怎樣計(jì)算，怎樣算樣本平均數(shù)、樣本方差．形式化的數(shù)學(xué)最容易在教學(xué)中“變味”，規(guī)避這種現(xiàn)象要求師范生有一定的面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，并且要求師范生面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)達(dá)到方法層次的理解水平，然而從上述的實(shí)證材料中，看到師范生不僅達(dá)不到用平面幾何方法研究三角公式的問題解決的理解水平，有些還達(dá)不到內(nèi)容理解的水平．初中花大氣力學(xué)的平面幾何并沒有發(fā)揮對后續(xù)課程的輻射作用，這不啻于一種“浪費(fèi)”．

平面幾何方法研究三角的價(jià)值何在呢？從歷史發(fā)生發(fā)展的角度看，托勒密發(fā)現(xiàn)兩角和的余弦的初衷是為了由較小的角出發(fā)經(jīng)過一定的步長，如何確定較大角的余弦值，這個(gè)基本的研究動(dòng)機(jī)不因表達(dá)形式是平面幾何或解析幾何而改變，同時(shí)也可以不用解析法而用正弦圓證明這個(gè)定理．在三角發(fā)展的早期，三角的表現(xiàn)形式是線段，用平面幾何的方法證三角公式就表現(xiàn)為線段的加減．如，積化和差公式“加減術(shù)”．積化和差公式將大數(shù)乘法轉(zhuǎn)化為加法的思想，正是發(fā)明對數(shù)思想的起源．有了這樣的思想主線后，就能看清用平面幾何方法研究三角的實(shí)質(zhì)，也能根據(jù)學(xué)生的實(shí)際、教學(xué)的實(shí)際采用適當(dāng)?shù)膸缀文Ｐ秃喕矫鎺缀畏椒ㄗC三角的方法，既避免了平面幾何繁瑣的弊端，又不失研究動(dòng)機(jī)的精髓；既能發(fā)揮平面幾何的直觀形象作用，又不使已學(xué)過的平面幾何知識(shí)成為孤立的知識(shí)點(diǎn)．中國一線教師在這方面做了有益的探索，他們尋找線段間的關(guān)系或用面積法，采用比歷史上簡潔的方法從形的角度證明了三角公式，進(jìn)一步地發(fā)揮了平面幾何的育人功能．在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，師范生對用平面幾何證三角公式基本上是不認(rèn)同的或者把平面幾何方法等同于解析方法．他們排斥平面幾何方法證三角問題既沒有歷史的依據(jù)，也不能舉出恰當(dāng)?shù)睦樱?/p>

4.3 師范生不能看到教材中蘊(yùn)含的思想方法和研究視角的變遷也缺乏相應(yīng)的導(dǎo)引

在四千多年的歷史發(fā)展中，三角學(xué)的研究對象本質(zhì)上是圓，三角函數(shù)又稱圓函數(shù)．但由于人們在不同階段對三角學(xué)的認(rèn)識(shí)角度不同，因此研究問題和研究方法不同，從而使三角學(xué)呈現(xiàn)出不同的形態(tài)．正、余弦的基本性質(zhì)即是圓的幾何性質(zhì)（主要是其對稱性）的直接反映[8]．自歐拉發(fā)明三角函數(shù)的現(xiàn)代定義以來，圓與三角函數(shù)就結(jié)下了不解之緣，而單位圓成了研究三角函數(shù)的重要工具．但從上面的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，師范生從解析的角度看三角內(nèi)容組織的知識(shí)的理解水平并不高，絕大多數(shù)還只是停留在內(nèi)容理解的水平，鮮有能把圓的性質(zhì)主動(dòng)地表達(dá)成三角形式的．即使在誘導(dǎo)公式這樣的課題中，教材使用了單位圓作為推導(dǎo)工具，但是師范生還是沒有意識(shí)到誘導(dǎo)公式其實(shí)是圓的對稱性的解析表達(dá)，他們只是看到了單位圓的工具性，而沒有看到其中蘊(yùn)含的思想方法和研究視角的變遷．究其原因，是教材編寫缺乏歷史發(fā)生發(fā)展的眼光．比如，單位圓是研究三角函數(shù)的重要工具，可是在上海一期課改的教材里，竟然當(dāng)成選修內(nèi)容，就目前的實(shí)際來看，所謂選修就是不修．雖然在二期課改的教材里，單位圓成了必修內(nèi)容，但還是沒有引起相應(yīng)的重視，在教學(xué)中沒有達(dá)到方法水平理解的要求．再加之課程改革有個(gè)不良的慣性，動(dòng)不動(dòng)就對平面幾何“濫砍亂伐”，課程的深度和關(guān)注度正在逐漸地降低，對師范生的平面幾何素養(yǎng)造成了一定的影響．

Stiger & Hieber深刻地指出[9]，教學(xué)作為一個(gè)文化傳統(tǒng)，代代傳承，是因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)教師在正式教學(xué)以前，實(shí)際上已經(jīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)受了至少13年的“數(shù)學(xué)教學(xué)的教育訓(xùn)練”，這個(gè)非正式的“數(shù)學(xué)教學(xué)的教育訓(xùn)練”已經(jīng)潛移默化地影響了他/她日后教學(xué)的“腳本”（script），即教學(xué)“模版”，日后的教學(xué)會(huì)有意或無意地與這個(gè)教學(xué)思路有關(guān)．有位師范生曾說：“有向線段（即三角函數(shù)線）的引入可方便學(xué)生對以后用描點(diǎn)法作出三角函數(shù)圖像有更深入的理解．對于這方面的內(nèi)容，我上高中時(shí)的教材中沒有涉及到，實(shí)習(xí)的時(shí)候正好要上這一節(jié)課，帶我的老師對這一新內(nèi)容有一些抵觸情緒，所以我也不太清楚這一部分新內(nèi)容應(yīng)怎么教．”教師不可能教他不懂的知識(shí)，“淺教學(xué)”的不可逆轉(zhuǎn)性[10]都要求教材編寫者在課程取材、編寫上再三斟酌．

龔升先生指出[11]，數(shù)學(xué)中每一步真正的進(jìn)展都與更有力的工具和更簡單的方法的發(fā)現(xiàn)密切地聯(lián)系著，這些工具和方法同時(shí)會(huì)有助于理解已有的理論并把陳舊的、復(fù)雜的東西拋到一邊．?dāng)?shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的這種特點(diǎn)是根深蒂固的，這意味著研讀教材時(shí)要認(rèn)識(shí)到學(xué)科內(nèi)部“競爭性的觀點(diǎn)”，看到學(xué)科的演化歷程．歷史上，三角的研究方法經(jīng)歷了從幾何的、解析的和微積分的方法的嬗變．初中不在直角坐標(biāo)系中定義銳角三角比，而是利用直角三角形定義銳角三角比，所用的研究方法是幾何的方法；高中在直角坐標(biāo)系中定義銳角三角比，所用的研究方法是解析的方法．雖然研究對象相同，但研究方法不同．因此，研讀教材就是要打開凝結(jié)在教材的字里行間隱隱跳動(dòng)的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)．

4.4 師范生在三角的橫向內(nèi)容組織的理解水平上雖可以達(dá)到概念水平的理解但達(dá)不到問題解決水平的理解

自18世紀(jì)以后，三角函數(shù)與振動(dòng)、波動(dòng)現(xiàn)象的關(guān)系越來越成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)．突出三角函數(shù)與振動(dòng)、波動(dòng)的聯(lián)系要抓住三角函數(shù)的本質(zhì)．三角函數(shù)就是勻速圓周運(yùn)動(dòng)的本質(zhì)表現(xiàn)．研究勻速圓周運(yùn)動(dòng)，最重要的是研究圓周上一點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)角的函數(shù)關(guān)系．因此y=Asin(ωx+φ)是很多周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，如簡諧振動(dòng)中位移與時(shí)間的關(guān)系，正弦電流（又稱簡諧電流）與時(shí)間的關(guān)系，電壓和時(shí)間的關(guān)系，潮汐現(xiàn)象，一個(gè)地方日出時(shí)間在一年中的變化，各種樂音、各種無線電波、地震波等無不可以歸結(jié)為y=Asin(ωx+φ)．上海教材編寫者看到了此式的物理意義，從描述在圓上做勻速運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)的縱坐標(biāo)怎樣隨時(shí)間變化來引入這個(gè)模型．從三角學(xué)的發(fā)展軌跡來看，應(yīng)該加強(qiáng)y =Asin(ωx+φ)的學(xué)習(xí)，包括A,ω,φ的物理意義以及它們的值對圖象的影響．上海教材最終把y=Asin(ωx+φ)作為必修內(nèi)容是考慮了三角的歷史發(fā)展及此式重要的物理意義．上海教材是很重視學(xué)科間的縱橫聯(lián)系．在閱讀材料中給出了機(jī)械振動(dòng)的英文材料（Mechanical Vibrations）．也許是由于語言上的緣故，也許是沒有縱橫聯(lián)系的習(xí)慣的緣故，師范生雖在物理里學(xué)機(jī)械振動(dòng)、機(jī)械波的實(shí)例及性質(zhì)，在數(shù)學(xué)里學(xué)了刻畫它們的數(shù)學(xué)模型，但還是不能把兩者整合起來，最多只表現(xiàn)出了內(nèi)容水平的理解，這種理解水平是不能有效生成教學(xué)表征的．

從訪談得知，師范生知道此式的物理意義，表現(xiàn)出了一定的理解水平，但沒有達(dá)到問題解決的理解水平．教材把此式作為圖象變換的載體來學(xué)習(xí)，但是由于圖象的復(fù)雜，三角圖象變換一直是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．師范生還記得“左加右減，上加下減”之類的口訣，不能從根本上消解學(xué)生的困惑，原因在于只從形式上理解此式，沒有從物理意義上理解此式．平移變換可看作剛體的平動(dòng)，剛體上的每一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)都可以代表整體的運(yùn)動(dòng)，所以只要抓住關(guān)鍵點(diǎn)就行了．把y=Asin(ωx+φ)看作波的傳播，是由振動(dòng)產(chǎn)生的，比較振源所在的初始位置，就知圖象向哪個(gè)方向平移以及平移多少個(gè)單位了．小D和小F提到過這種方法，只不過沒有從物理上給出解釋，可見縱向的內(nèi)容組織的知識(shí)有助于提升面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)．師范生還經(jīng)常遇到根據(jù)已給的圖形不知如何確定y =Asin(ωx+φ)中初相φ的問題．從物理意義上看，就可正本清源了．y=Asin(ωx+φ)是振動(dòng)方程而不是波動(dòng)方程，因x的物理意義是時(shí)間．φ是作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻x=0時(shí)，質(zhì)點(diǎn)所在的半徑與x軸的夾角，然后根據(jù)相位變到或π或時(shí)所需要的時(shí)間來確定初相．小A說其從來沒想到做這樣的解釋．由上面的分析可知，師范生在三角的橫向內(nèi)容組織的理解水平上，雖可以達(dá)到概念水平的理解，但達(dá)不到問題解決水平的理解．學(xué)科間的橫向聯(lián)系，真是說來容易做來難．

傅立葉說：“深入地探索和研究自然界，乃是數(shù)學(xué)發(fā)展的最為豐富的源泉，也是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的最有成效的一種方法．”許多數(shù)學(xué)方法都有很強(qiáng)的直觀背景，是問題解決后的思維結(jié)晶．可是誠如弗賴登塔爾所說：“一個(gè)問題被解決以后，相應(yīng)地也發(fā)展了一種形式化的技巧，結(jié)果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗．”所以，在教學(xué)中追求知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程，尋找形式化背后的直觀背景，就顯得十分重要了．馮·諾伊曼也認(rèn)為數(shù)學(xué)有經(jīng)驗(yàn)的來源，不可能存在絕對的、脫離所有人的經(jīng)驗(yàn)的嚴(yán)密性概念，要保持?jǐn)?shù)學(xué)理論同物理學(xué)及其它自然科學(xué)中日益增長的復(fù)雜現(xiàn)象之間的聯(lián)系．這就要求師范生有比較寬廣的面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，能夠看到知識(shí)的來源和縱橫聯(lián)系，能夠充分利用學(xué)生已有物理、化學(xué)等學(xué)科的知識(shí)為數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)直觀背景．這樣，學(xué)生心目中的數(shù)學(xué)知識(shí)就不再是一些符號(hào)的堆砌了，每一個(gè)知識(shí)的后面都有許多鮮活的故事，數(shù)學(xué)因此也變得親切了．然而從上述結(jié)果看，要達(dá)到這樣的理解水平并非易事，而且這樣的理解水平在職后教育中也不一定有發(fā)展的機(jī)會(huì)，職后教育一般以教學(xué)理念的更新為主，很少涉及到具體的學(xué)科內(nèi)容，這就要求師范生多讀些史料，從史料中汲取發(fā)展面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的素材．

4.5 研讀教材發(fā)展課程與內(nèi)容的知識(shí)要有廣闊的視野和“兼容并包”的胸懷

學(xué)科結(jié)構(gòu)課程理論認(rèn)為，學(xué)科結(jié)構(gòu)由組織結(jié)構(gòu)、實(shí)質(zhì)結(jié)構(gòu)和句法結(jié)構(gòu)組成．Schwab認(rèn)為，教育工作者在設(shè)計(jì)課程和準(zhǔn)備教材時(shí)就必須考慮學(xué)科結(jié)構(gòu)，一定要把學(xué)科結(jié)構(gòu)深入到課程的各個(gè)方面，使其成為課程的實(shí)質(zhì)．這樣，在研讀教材時(shí)，就不能只關(guān)注一節(jié)書、一章書，而應(yīng)把章節(jié)內(nèi)容置于學(xué)科的歷史發(fā)生發(fā)展的寬廣背景中，看到學(xué)科的來源和學(xué)科內(nèi)部的觀點(diǎn)興衰與演變，看到這些觀點(diǎn)經(jīng)過了怎樣的教學(xué)法的加工而進(jìn)入了教科書，在教科書中的何處表現(xiàn)出來及表現(xiàn)形式是什么．從上面對三角函數(shù)的分析可知，各種觀點(diǎn)有其合理的成份，并沒有完全被其它觀點(diǎn)“吃掉”，而是雜糅相處，各有各的教育價(jià)值，要求研究者能審視之，但又不要固著于某一種觀點(diǎn)，要有“兼容并包”的胸懷．誠如龔升先生所說，一些數(shù)學(xué)雖然后來被更有力的工具和更簡單的方法所產(chǎn)生的新的數(shù)學(xué)所替代了，即“低級(jí)”的被“高級(jí)”的所替代了，但在人們一生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，卻不能只學(xué)習(xí)“高級(jí)”的，而完全不學(xué)習(xí)“低級(jí)”的，完全省略掉學(xué)習(xí)“低級(jí)”的過程．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，沒有“低級(jí)”的數(shù)學(xué)打好基礎(chǔ)，很難理解與學(xué)習(xí)好“高級(jí)”的數(shù)學(xué)．

這對教材編寫有一定的啟示，能否在教材正文之外，以習(xí)題或閱讀材料的形式，把問題研究的角度化隱為顯，揭示學(xué)科間的聯(lián)系呢？上海教材在這方面做了有益的嘗試．如探究與實(shí)踐課題的形式，在制作彎管的過程中，揭示了圓柱面斜截面的展開曲線就是三角函數(shù)曲線，溝通了立體幾何與三角的聯(lián)系，這有助于發(fā)展師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)．教材是影響師范生課程與內(nèi)容的知識(shí)的關(guān)鍵因素之一．

5 結(jié) 論

這些師范生來自部屬師范院校，無論是高考成績，還是高等數(shù)學(xué)的成績都是很優(yōu)秀的．因此，他們對教材的理解水平停留在概念和解題水平，不能歸因于高等數(shù)學(xué)或初等數(shù)學(xué)沒學(xué)好．從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的角度看，不清楚知識(shí)的來源和流變，對研究問題和研究方法缺乏真切的理解，師范生雖然對顯性的研究結(jié)果（知識(shí)）有一定的理解，但是對散布在不同學(xué)段、不同章節(jié)的以不同形式出現(xiàn)的研究結(jié)果（知識(shí)）看不到其來源和本質(zhì)，理解水平相當(dāng)?shù)停械纳踔翆δ骋谎芯考捌洚a(chǎn)生的研究結(jié)果表現(xiàn)出排斥的心理．反之，如果師范生清楚了知識(shí)的來源和流變，能有意識(shí)地加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，他們扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)將有助于提高他們處理教材的能力．師范生對教材的理解水平停留在概念和解題水平的原因不是他們的數(shù)學(xué)功底不扎實(shí)，而是他們不清楚知識(shí)的發(fā)生發(fā)展歷程，沒有有意識(shí)地溝通知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系．

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Investigation of Knowledge of Curriculum and Content of Pre-Service Teachers

XU Zhang-tao1, GU Ling-yuan2
(1. College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China; 2. Shanghai Academy of Educational Science, Shanghai 200032, China)

Drawing the practice of TELT, from the angle of arranging the triangular content and the view of plane geometry, analytic geometry and physics, the study examines the real levels of KCC of six pre-service teachers and analyses the reasons from the genesis and development of mathematics. The pre-service teachers can’t fully grasp the intention of textbook and lack the eyes and ways to screening the advantages and disadvantages of textbook. They can’t see the geometric background of the formula and the relation of the evolution of knowledge and research motivation. They can’t see the development of the way of thinking and research perspective and lack of corresponding guidance. Although they can conceptually understand the physical background of trigonometric functions, they solve the problems of trigonometric functions from physical views. The level of the pre-service teachers’ KCC stands lowly, not because they have solid mathematical knowledge, but because they do not know the genesis and development of the knowledge and do not consciously discover the intrinsic link among knowledge. It is necessary for us to have broad perspective to studying teaching materials and develop KCC.

mathematical knowledge for teaching; knowledge of curriculum and content; the genesis and development of mathematics; pre-service teachers

G420

：A

：1004–9894（2014）02–0001–05

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2013–12–30

中國博士后科學(xué)基金——深入學(xué)科的信息技術(shù)支持下的數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)（2011M50213）；中國博士后科學(xué)基金特別資助——信息技術(shù)推動(dòng)數(shù)學(xué)歷史文化走進(jìn)數(shù)學(xué)課堂之研究；湖北省省級(jí)教學(xué)研究項(xiàng)目——數(shù)學(xué)師范生拔尖創(chuàng)新型人才培養(yǎng)的理論與實(shí)踐（20130924）

徐章韜（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，國家數(shù)字化學(xué)習(xí)中心博士后，主要從事信息技術(shù)背景下的學(xué)科教學(xué)知識(shí)研究．