宋博洋

（北京交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，北京 100044）

基于時間序列模型的軌道質(zhì)量指數(shù)預(yù)測研究

宋博洋

（北京交通大學(xué)交通運輸學(xué)院，北京 100044）

軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）是反映區(qū)段軌道整體不平順的一項重要指標，是一個具有隨機性特征的時間序列。本文用灰色系統(tǒng)理論分析TQI序列與各單項指標間的關(guān)聯(lián)度并預(yù)測某區(qū)段下一次檢查的數(shù)值；運用ARMA模型對200 m單元區(qū)段的TQI序列數(shù)據(jù)進行研究，分析其變化趨勢并對未來一段時間的TQI進行預(yù)測。算例分析表明，兩個模型的預(yù)測精度有所提高，相對誤差小于5%。

時間序列；ARMA模型；關(guān)聯(lián)度；修正GM（1，1）；軌道質(zhì)量指數(shù)

1 引言

隨著我國鐵路網(wǎng)規(guī)模的不斷擴大，鐵路運輸在促進國民經(jīng)濟發(fā)展中起著越來越重要的作用。同時，鐵路養(yǎng)護維修工作也變得更為重要和復(fù)雜［1］。鐵路行車安全是鐵路運輸工作的基本要求，而鐵路軌道不平順是使列車產(chǎn)生振動的主要原因，會對列車的行車質(zhì)量產(chǎn)生重大影響［2］。準確掌握軌道狀態(tài)的變化規(guī)律，制定合理的養(yǎng)護維修計劃，是解決行車安全問題的重要內(nèi)容。因此，鐵路工務(wù)部門提出了以軌道狀態(tài)為基礎(chǔ)的“狀態(tài)修”。

軌道質(zhì)量指數(shù)（track quality index，TQI）是反映區(qū)軌道整體平順程度的一項重要指標，是一個具有隨機特性的時間序列。徐偉昌［3］提出一種基于累計通過總重的線性模型進行預(yù)測，其基本公式為

其中，TQI0為初始時刻的軌道質(zhì)量指數(shù)，K為線路的劣化速率，T為累計通過總重。

此模型的預(yù)測結(jié)果可以基本反映短期TQI的變化趨勢，但是影響軌道的劣化因素不僅包括累計通過總重，而且跟所處的地理位置、溫度、降水以及測量誤差等因素相關(guān)，因此用直線擬合可能會產(chǎn)生比較大的偏差。

本文針對上述線性模型存在的問題，提出用灰色系統(tǒng)理論對TQI序列進行相關(guān)性分析和短期預(yù)測，用時間序列分析模型ARMA對每個200 m單元區(qū)段分別建模進行中長期預(yù)測，對制定鐵路線路的維修計劃具有一定的指導(dǎo)意義。

2 灰色分析及預(yù)測

灰色預(yù)測是針對介于白色系統(tǒng)和黑色系統(tǒng)之間的灰色系統(tǒng)的預(yù)測，系統(tǒng)內(nèi)一部分信息是已知的，另一部分信息是未知的，且內(nèi)部各因素之間具有不確定的關(guān)系。

2.1 灰色關(guān)聯(lián)分析

灰色關(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線集合形狀的相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間的關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越?。?］。

設(shè)x0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））為某一系統(tǒng)的行為特征序列，且

為相關(guān)性因素。記

軌道質(zhì)量指數(shù)TQI是7項單項指標的標準差之和，通過進行灰色關(guān)系度分析，可以找出影響TQI值的最主要因素，為采取有預(yù)防性的措施提供理論基礎(chǔ)。

2.2 改進灰色GM（1，1）模型

灰色GM（1，1）模型主要是針對指數(shù)遞增序列進行預(yù)測的，但實際上大部分時間序列數(shù)據(jù)不具有指數(shù)遞增的趨勢，此時灰色模型的預(yù)測精度就會降低。因此需要對原始模型進行改進，使之能夠擴大應(yīng)用領(lǐng)域。本文提出了利用殘差對原始模型進行改進的方法，試驗證明這種改進后的模型可以在一定程度提高預(yù)測的精度，預(yù)測結(jié)果對實際工作具有指導(dǎo)意義。

設(shè)數(shù)據(jù)的原始序列為：X0＝（x0（1），x0（2），…，x0（n））（x是TQI時序檢測數(shù)據(jù)），根據(jù)灰色系統(tǒng)理論，灰色預(yù)測模型GM（1，1）的基本形式為［3－4］：

模型的時間響應(yīng)序列為

當原始序列的波動性比較大時，GM（1，1）模型的精度比較低，此時需要對原始模型進行修正改進，以提高精度。

對ε0應(yīng)用GM（1，1）模型進行計算，得其模擬序列

用模擬得到的序列ε0修正，稱修正后的時間響應(yīng)式

為殘差修正GM（1，1）模型。

3 ARMA模型及改進

3.1 ARMA模型及其求解

ARMA模型（auto-regressivemoving averagemodel）又稱自回歸移動平均模型，是一種精度較高的時序短期預(yù)測模型，其基本思想是：某些時間序列是依賴于時間t的一組隨機變量，構(gòu)成該時序的單個序列值雖然具有不確定性，但整個序列的變化卻有一定的規(guī)律性，可以用相關(guān)的數(shù)學(xué)模型近似描述。通過對該數(shù)學(xué)模型的分析研究，更本質(zhì)地認識時間序列的結(jié)構(gòu)與特征，達到最小方差意義下的最優(yōu)預(yù)測。ARMA（p，q）的一般形式為［7－8］：

其中，p，q分別表示滯后的階數(shù)，εt是白噪聲序列。

由已有的研究可知，軌道質(zhì)量指數(shù)TQI隨時間變化的序列｛TQIt｝不是一個平穩(wěn)的時間序列，在一定程度上具有指數(shù)變化的特征。本文取經(jīng)過差分后的序列作為研究對象。｛TQIt｝的一階差分序列用｛TQIt1｝表示，其計算公式為

同理，可以計算TQI的二階、三階差分序列。具體的差分階次由差分后的序列是否平穩(wěn)所決定。這樣經(jīng)過d階差分變?yōu)槠椒€(wěn)序列后，對其進行建模預(yù)測，得到結(jié)果后再反向推導(dǎo)出原始序列的預(yù)測值。

確定模型的階數(shù)，即確定p和q。一般有3種方法，即偏、自相關(guān)函數(shù)法、FPE準則和AIC及BIC準則。本文采用第一種方法確定p和q的取值，并結(jié)合TQI的變化規(guī)律，在此方法上提出改進。

3.2 模型的改進

軌道質(zhì)量指數(shù)序列是一組沿時間方向上下波動的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)本身的單調(diào)性不明顯，此時ARMA模型的適用性會降低，進而影響預(yù)測的精度。TQI時間序列的波動性是由趨勢項和隨機噪聲兩項疊加而成的，基于此本文采用灰色系統(tǒng)理論中的疊加處理手段對ARMA模型進行了改進，盡量消除TQI波動性對模型預(yù)測精度的影響。具體的實現(xiàn)過程如下

將經(jīng)過處理后的數(shù)據(jù)序列建立模型進行預(yù)測，步驟如3.1，預(yù)測得到的結(jié)果為

這個結(jié)果為對處理后數(shù)據(jù)的預(yù)測，對其按下式進行反向遞減計算，可得到對原始TQI序列的預(yù)測結(jié)果：

4 算例分析

4.1 數(shù)據(jù)來源

京九鐵路是一條貫穿我國南北的交通大動脈，北起首都北京，南至香港特別行政區(qū)，途徑9個省市，全長2 536 km。本文所使用的軌檢測數(shù)據(jù)為京九線北段K372．776至K650．333區(qū)段的數(shù)據(jù)，區(qū)段長度為227．557 km，采集了2008年2月20日至2010年7月23日共86次檢測數(shù)據(jù)做分析研究。

4.2 TQI與各指標的關(guān)聯(lián)度

TQI值是軌距、水平、左高低、右高低、左軌向、右軌向和三角坑7項指標的標準差之和，這7項指標序列分別用X1，X2，X3，X4，X5，X6，X7表示。對于不同的單元區(qū)段，每一個單項指標對TQI的影響程度是不一樣的，需要分別考慮。這里，選擇上行468.8 km處2009年的10次檢測數(shù)據(jù)作分析。經(jīng)過反復(fù)試驗，取ε＝0.5，按照2.1所述方法，對7項指標與整體TQI值進行灰色關(guān)聯(lián)分析，得到計算結(jié)果見表1。

表1 TQI值與各指標關(guān)聯(lián)度Table 1 Correlation of TQI value and every index

由表1可以看出，就本單元區(qū)段而言TQI值與7項指標之間的關(guān)聯(lián)度大小順序分別是：三角坑、水平、右軌向、軌距、右高低、左高低、右軌向。并且與三角坑指標之間的關(guān)聯(lián)度遠大于其他幾項指標。這說明三角坑對整體TQI值得影響是最大的，需要在實際工作中注意預(yù)防三角坑超限，使整體區(qū)段保持良好狀態(tài)。

4.3 區(qū)間預(yù)測

京九線上行K468．2～K469區(qū)段2009年1月至2009年10月的TQI檢測數(shù)據(jù)見表2。

表2 TQI數(shù)據(jù)表Table 2 TQI data table

以K469處的10次檢測數(shù)據(jù)為例，繪制TQI變化趨勢圖，見圖1。

圖1 TQI變化趨勢圖Fig.1 TQIvariety trend

由圖1可知，整個變化過程大體分為三個階段。第一階段是前三次檢測，第三次檢測的TQI值較前兩次有明顯的降低，說明在第二次檢測之后發(fā)生了維修活動，使軌道質(zhì)量明顯提高。第二階段是第四至七次檢測，在這一期間內(nèi)TQI總體上成上升的趨勢，說明軌道質(zhì)量在逐步劣化。第三階段的特點與第一階段相似。

在整個變化過程中，引起TQI劣化的原因是多方面的，包括自然條件引起的軌道沉降和行車引起的軌道狀態(tài)的改變等。運用灰色理論，可以避免具體因素的影響，對TQI進行預(yù)測和分析。

應(yīng)用殘差修正模型，對5個單元區(qū)段2010年11月的TQI檢測值進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表3。

表3 TQI預(yù)測結(jié)果Table 3 Prediction results of TQI

通過2010年11月的實際檢測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)對比分析，殘差修正模型的預(yù)測值可以將預(yù)測誤差控制在5%以內(nèi)，較改進前的模型有了很大的提高，對指導(dǎo)實踐維修活動更具有實際意義。

4.4 單元區(qū)段預(yù)測過程

隨機選取京九線北段468．6 km的一個200 m單元區(qū)段，以2008年3月至2009年3月20次TQI監(jiān)測數(shù)據(jù)的實際值作為原始序列，見表4。

表4 TQI檢測數(shù)據(jù)實際值Table 4 The actual value of TQI test data

京九鐵路的軌道數(shù)據(jù)是采用Ⅳ型軌檢車檢測得到的。Ⅳ型軌檢車一般不單獨開行，而是編掛在其他列車上。由于受運行速度、傳感器靈敏度和其他一些外界條件的影響，會導(dǎo)致一些誤差的產(chǎn)生，200 m單元區(qū)段TQI的值是通過800個采樣點的7項不平順指標的標準差得到的。但是單個采樣點在每次采樣中的位置不是絕對固定的，這樣即使在不考慮外界環(huán)境對檢測活動的影響下，每次采樣的隨機性，也會引入相應(yīng)的誤差，稱為選擇性偏差。從理論上講，在沒有維修活動發(fā)生的情況下，對于同一區(qū)段而言，后一次的TQI檢測值應(yīng)該大于等于前一次的檢測值，但是考慮到上述誤差的影響，實際的檢測數(shù)據(jù)并不完全如此，見圖2。

圖2 整區(qū)段相鄰兩次TQI檢測值Fig.2 The adjacentTQIvalue of the entire segment

為了去除偏離點的影響，將表中后一次檢查結(jié)果比前一次檢查小并且幅度介于0．5到1之間的數(shù)據(jù)除去，得到修正后的TQI序列，見表5。

表5 TQI檢測數(shù)據(jù)預(yù)處理結(jié)果Table 5 Preprocessing results of TQI test data

應(yīng)用公式（8）對表5的數(shù)據(jù)進行累加，結(jié)果見表6。

表6 數(shù)據(jù)累加結(jié)果Table 6 Accumulation results of data

對得到的新序列建立ARMA模型，模型的階數(shù)為p＝2和q＝1，參數(shù)為c＝0.023 213，φ1＝0.512 689，φ2＝0.456 254，θ1＝－0．198 625，得到預(yù)測結(jié)果后，逆推出原始TQI序列的預(yù)測值，結(jié)果見表7。

表7 進后TQI數(shù)據(jù)預(yù)測結(jié)果Tale 7 Improved prediction results of TQI data

如果采用文獻［1］中提出的直線預(yù)測法，得到的預(yù)測值與真實值之間的相對誤差平均在12%。表3和表7的預(yù)測結(jié)果表明，殘差修正GM（1，1）和改進的ARMA模型在一定程度上減小了數(shù)據(jù)本身誤差的影響，提高了預(yù)測的精度，相對誤差｜r｜＜5%，結(jié)果比較理想，對指導(dǎo)線路的維修工作，具有一定的借鑒意義。

5 結(jié)論與展望

本文首先利用殘差修正GM（1，1）模型對不同單元區(qū)段的TQI進行預(yù)測，得到的結(jié)果基本反應(yīng)了TQI的實際值，同時對影響TQI值得各種指標進行了關(guān)聯(lián)性分析。其次，用改進的ARMA模型針對單元區(qū)段建立單獨模型進行中長期的預(yù)測。兩個分析預(yù)測模型的結(jié)果較精確，對鐵路線路的維修工作有一定的實際指導(dǎo)意義。

當有維修活動發(fā)生時，TQI值會大幅度降低，導(dǎo)致預(yù)測值與實際值的偏差增大，因此如何更好地解決維修活動的影響，是下一步研究的重點。

［1］劉國強，顏穎．國內(nèi)外高速鐵路線路養(yǎng)護維修分析［J］．中國鐵路，2006（10）：57－59．

［2］中華人民共和國鐵道部．鐵路線路修理規(guī)則［M］．北京．中國鐵道出版社．2007．

［3］徐偉昌．利用軌道質(zhì)量指數(shù)（TQI）預(yù)測軌道不平順發(fā)展的探討［J］．上海鐵道科技，2011（2）：5－7．

［4］曲建軍，高亮，張新奎，等．基于灰色GM（1，1）非等時距修正模型的軌道質(zhì)量預(yù)測［J］．中國鐵道科學(xué)，2009，30（3）：5－8．

［5］賈朝龍，徐維祥，王福田，等．基于GM（1，1）與AR模型的軌道不平順狀態(tài)預(yù)測［J］．北京交通大學(xué)學(xué)報：自然科學(xué)版，2012，36（3）：52－56．

［6］譚冠軍．GM（1，1）模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用［J］．系統(tǒng)工程理論與實踐，2000，4（9）；98－103．

［7］李敏，陳勝可．EViews統(tǒng)計分析與應(yīng)用［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2011．

［8］李瑞瑩，康銳．基于ARMA模型的故障率預(yù)測方法研究［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2009，30（8）：1588－1591．

［9］劉思峰，謝乃明．灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用［M］．北京．科學(xué)出版社．2008．

［10］王建玲，劉思峰，邱廣華，等．基于信息集結(jié)的新型灰色關(guān)聯(lián)度構(gòu)建及應(yīng)用［J］．系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2010，32（1）：77－81．

Time sequence model based track quality index prediction

SONG Bo-yang
（School of Traffic and Transportation，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）

Track quality index（TQI），a time series with random characteristics，is an important indicator reflecting the total unevenness of a track segment．We analyze the correlation betweenTQIsequence and every single indicator with grey theory and predict next inspection value of a certain segment．Moreover，we investigateTQIsequence data for 200 m track segment with auto-regressive moving average（ARMA）model，analyze their variation tendency and predictTQIvalue in future time．Analysis show that the accuracy of each model has been improved，and the relative error is less than 5%．

time sequence；ARMA model；correlation；fitted GM（1，1）；TQI

U216

A

1002-4026（2014）03-0066-07

10.3976／j.issn.1002－4026.2014.03.013

2014-02-15

宋博洋（1990－），男，碩士，研究方向為交通運輸工程，運輸系統(tǒng)工程。Email：13125720＠bjtu．edu．cn