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        直線y=kx+b(k≠0)之極值在實(shí)際中的應(yīng)用

        2014-06-04 17:06:32滕書會
        成才之路 2014年12期
        關(guān)鍵詞:利潤利用生產(chǎn)

        滕書會

        對于直線y=kx+b(k≠0)本身無最值可言(用于實(shí)際問題),但是當(dāng)我們對一次函數(shù)直線y=kx+b的定義域加以限定(m≤x≤n)則可通過k的符號由一次函數(shù)的增減性而取其最值,即

        k>0時 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

        k<0時 x=n y■=kn+bx=m y■=km+b

        而這一知識更多地為解決實(shí)際問題所用,不妨看下列一題。

        例如某工廠現(xiàn)有甲種原料360千克,乙種原料290千克,計劃利用這兩種原料生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品共50件,已知生產(chǎn)一件A產(chǎn)品,需甲種原料9千克,乙種原料3千克,可獲利潤700元,生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品,需甲種原料4千克,乙種原料10千克,可獲利潤1200元,設(shè)生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品的總利潤為y(元),其中一種的生產(chǎn)數(shù)為x,試寫出y與x間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)決定生產(chǎn)方案,使之獲利最大,并求最大利潤為多少?

        解析:解決與經(jīng)濟(jì)掛鉤的實(shí)際問題是近年來的一種趨勢。這類問題通常具有的特點(diǎn)是文字量大,情景陌生,需要學(xué)生有較強(qiáng)的閱讀能力和歸納建模能力,但關(guān)鍵是找到?jīng)Q定這一結(jié)果的因素是什么,如本題所獲利潤y(元)由每種產(chǎn)品的件數(shù)及每件產(chǎn)品的獲利而定,原則上是每件產(chǎn)品獲利情況已定,故最終是由各產(chǎn)品的件數(shù)來決定,但是不要忘了,各種原料是有限的,從而對件數(shù)有一定的限制。如果設(shè)A產(chǎn)品的件數(shù)為x件,則B產(chǎn)品的件數(shù)為(50-x)件,故生產(chǎn)x件A產(chǎn)品可獲利700x元,生產(chǎn)(50-x)件B產(chǎn)品可獲利1200(50-x)元,所以總利潤是y=700x+1200(50-x)=60000-500x。

        如果忽略了x所表示的實(shí)際意義(件數(shù)),則y是x的一次函數(shù),這樣我們就可通過限定自變量x的取值范圍來決定y的最值,而這一取值范圍是由甲、乙兩種原料的有限來決定的。下面我們一起來分析甲、乙兩種原料的利用情況。

        (1)甲原料的利用。生產(chǎn)x件A產(chǎn)品用9x千克,而甲原料是有限的,為360千克,故9x+4(50-x)≤360。 (1)

        (2)乙原料的利用。生產(chǎn)x件A產(chǎn)品用3x千克,生產(chǎn)(50-x)件B產(chǎn)品用10(50-x)千克,而乙原料也是有限的為290千克,故

        3x+10(50-x)≤290。 (2)

        聯(lián)立(1)、(2)可得關(guān)于x的不等式組,解的結(jié)果為30≤x≤32。

        下面利用(3)來決定y的最值,對于y=60000-500x,其k<0,故y隨x的增大而減少,故x越小,y越大,而30≤x≤32,所以當(dāng)x取最小值x=30時,y最大值為y=60000-500×30=45000(元)。

        從而可知獲取最大利潤的生產(chǎn)方案是:生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件,生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件。

        解:設(shè)生產(chǎn)A種產(chǎn)品x件,則生產(chǎn)B種產(chǎn)品為(50-x)件,由題意可知:y=700x+1200(50-x)=60000-500x。

        而9x+4(50-x)≤360,3x+10(50-x)≤290,解之得30≤x≤32。

        由一次函數(shù)的增減性知,當(dāng)x=30時,=60000-500×30=

        45000(元)。

        所以,獲取最大利潤的生產(chǎn)方案是:生產(chǎn)A種產(chǎn)品30件,生產(chǎn)B種產(chǎn)品20件,所獲最大利潤為45000元。

        綜上所述,在用直線y=kx+b(k≠0)條件極值來解決實(shí)際問題時,先將結(jié)果(如獲利潤)表示為某一因素的函數(shù),而后利用這一因素的限制條件來獲取其最值,這是解題關(guān)鍵所在。

        (黑龍江省大慶市第六十一中學(xué))

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