孟令凱
題目:(普高課程標(biāo)準(zhǔn)·數(shù)學(xué)(必修4))P66習(xí)題2.2。
如圖1,在任意四邊形ABCD中,E、F分別是AD、BC的中點。求證: + =2 。
方法1:(用結(jié)論)
∵ = + + , = + + ,又∵E、F分別是AD、BC的中點,∴ + = , + = 。
∴2 = + 。
方法2:(用法則)
如圖2,連結(jié)BE、CE,延長EF至G點,使EF=FG。
又∵BF=CF,∴四邊形ABCD是平行四邊形。
∴ + = =2 。
又∵ = + , = + , + = ,∴ = + =( + )+( + )= + 。
∴2 = + 。
方法3:(用舊知)
如圖3,過點E分別做EM AB,EN DC連結(jié)MN,設(shè)MN交BC于點F,則四邊形EABM,四邊形EDCN均為平行四邊形。
又∵E為AD的中點,AE BM,ED CN,∴BM CN。
∴△BMF*?艿△CNF*。
∴BF*=CF*。
∴點F*與點F重合。
∴ = 。
∴ = ( + )= ( + )。
∴ = ( + )。
∴ = + 。
方法四:(用定比)
如圖4,延長BA、CD交與G點。
又∵E、F分別是AD,BC的中點,∴ = ( + )。
∴ = ( + )。
又∵ = - ,∴2 =2( - )=2 ( + )- ( + )
=( + )-( + )=( - )+( - )= + 。
方法5:(用坐標(biāo))
建立如圖5所示的直角坐標(biāo)系,設(shè)A(m,n),D(p,q),C(a,0),F(xiàn)(0,0),則B(-a,0),E , 。
∴ =(-a-m,-n), =(a-p,-q),∴ =- , 。
∴ + n)=(-a-m-n)+(a-p,-q),=(-m-p,-n-q)=2- , =2 。
點評:方法5用坐標(biāo)和方法2用法則,是解決向量證明的常規(guī)思路;方法1、方法4用了結(jié)論首尾順次連結(jié)的封閉n邊形向量和是零向量,定比分點等結(jié)論解題;方法3用法則同時融進(jìn)了平面幾何知識,對提高學(xué)生的思維很有益處。但不論是常規(guī)思路還是其他方法,哪怕很復(fù)雜,教師在平常教學(xué)時皆可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行探索,多思考、多總結(jié),久而久之就會提高學(xué)生分析問題、解決問題的才能了。
(江蘇省灌云縣楊集高級中學(xué))