黃麗芳

摘 要：數(shù)學概念的教學不光要重視概念的運用，更應該注重概念的形成過程，重視數(shù)學知識的產生與發(fā)展的過程.創(chuàng)造類比發(fā)現(xiàn)問題情境的應用，采用類比的方法引導學生學習新的概念，較好地解決了這個問題，但也容易使新的概念，在原有的認知結構同化與建設.在數(shù)學概念的教學，可以用很多類比。本文就以三個實例介紹了如何使用類比法來學習數(shù)學概念。

關鍵詞：類比；發(fā)現(xiàn)；引申；建構

1 目前課堂數(shù)學概念引入的現(xiàn)狀

教學中的數(shù)學概念，一般都要經過展示概念背景， 創(chuàng)設問題情景， 啟迪發(fā)現(xiàn)過程， 表述論證階段。然而，在教學中，很多教師對概念都是一語帶過，沒有背景，沒有平鋪，沒有引導，讓學生感覺突兀和生硬，機械地接受數(shù)學概念，無法實現(xiàn)自主性，失去對事物認知應有的一個正確過程，以及失去了在這過程中創(chuàng)造力的發(fā)展。

2 數(shù)學概念引入現(xiàn)狀產生的原因

造成這種現(xiàn)象形成的原因，一個方面是因為教師舊的教學理念，不重視在教學中培養(yǎng)學生的思維活動，沒有以學生為主體，讓學生自己去探索，從而達到認知再締造的目的，實現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，理解，創(chuàng)造和運用的目標。另一方面是許多教師不懂得如何去創(chuàng)設數(shù)學概念形成的問題情景，循序漸進地引導學生開展探索活動 [1 ]。

3 用類比引導學生學習概念的重要性

在教學中如何建立有效的問題情境，如何利用類比的數(shù)學概念，讓學生學會舉一反三的觀察，分析，猜測，抽象，概括這樣一種思想的傳播，探索規(guī)律，提高數(shù)學思維發(fā)展的過程，提高學生認知水平，培養(yǎng)學生數(shù)學能力，這是需要改革的數(shù)學教學觀念的最重要的問題，也是數(shù)學教學中的一個全新理念 [2 ]。

4 用類比來引導學生學習概念的方法

4.1 問題情景的設計

回顧已學過的相似概念，設置問題情景，用類比來引導學生學習概念。有很多類似性質的概念，在這些概念的教學中，教師可以指導學生歸納已學過的概念，然后創(chuàng)建類比問題，引導學生去聯(lián)想，試圖挖掘一個新的概念 [2 ]，這個新的概念是很容易讓學生吸收和建立在學生的認知結構中。下面將根據(jù)本人在教學實踐中的體驗與積累，談一談如何創(chuàng)設類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，用類比的方法來引導學生學習新概念。如高中數(shù)學中，等差數(shù)列與等比數(shù)列的教學、二面角的概念及其平面角的教學就可采用這種方法。

4.2 課堂例題展示

4.2.1 等比數(shù)列的教學

4.2.1.1 展示概念背景

向學生指出：我們學習了等差數(shù)列，知道了處理后一項比前一項的差相等的數(shù)列，此時，我們會相應地想到，如果是后一項比前一項的比相等，這樣的數(shù)列又是什么數(shù)列呢？

4.2.1.2 設置問題情景

先引導學生回顧一下等差數(shù)列的概念（包括概念的形成，通項公式的推導，等差數(shù)列的性質，等差數(shù)列前n項和公式），然后羅列出幾條等比數(shù)列的例子，如（1）3，9，27，81，243，…；（2） …；（3） -1，2，-4，8，-16，32， （4）6，6，6，6，6， …，讓學生通過這幾個例子，再通過與等差數(shù)列概念形成的類比， 去挖掘規(guī)律。

4.2.1.3 發(fā)現(xiàn)啟蒙階段

等比數(shù)列的定義必須遵循上述原則，然后引導學生討論：等比數(shù)列的概念特征，類比等差數(shù)列的概念，從而自己歸納出等比數(shù)列的概念如下：

進一步誘導：類比等差數(shù)列概念，上述例子中，

從第二項起，后一項與前一項的什么是同一個常數(shù)？

因為有了等差概念的類比，學生自然會先從“差”入手，發(fā)現(xiàn)差不一樣，接著他們就會把加減乘除各試一遍，學生會發(fā)現(xiàn)：從第二項起，后一項與前一項的比值是同一個常數(shù)。這樣，概念形成的過程就水到渠成，學生也容易理解與記住。

4.2.1.4 表述論證階段

最后引導學生發(fā)現(xiàn)：等比數(shù)列通項公式的推導過程，通過公式的推導來進一點論證概念的正確性。

等差數(shù)列的通項公式推導，是通過概念中后一項減前一項等于同一個常數(shù)，從而得出遞推公式，再根據(jù)累加法的思想把公式推導出來。然后讓學生類比等差數(shù)列，思考如何得出等比數(shù)列的遞推公式。（此時，引導學生從等差的公差d，思考等比的q） 再類比累加法的思想，引導學生討論，應用什么方法把等比遞推公式推導出通項公式。學生自然而然還是想到嘗試加減乘除四則運算，就慢慢探索出累乘法，從而推出等比的通項公式。

4.2.1.5 結果與分析

以上經過指導學生鉆研等差數(shù)列概念的內在特征，即孕育出新的概念的“延伸” [3 ]，以類比方法獲得等比數(shù)列的定義，學生覺得這一個定義是原有定義的一種自然發(fā)展，不感到別扭，學習起來也容易理解和應用。有很多這樣的概念，如長方形對角線與長方體和對角線的類比、三角形面積和三棱錐體積的類比、二次函數(shù)與二次方程的類比等等。下面再來說說立體幾何中二面角及其平面角的概念教學。

4.2.2 二面角概念的教學

4.2.2.1 展示概念背景

前面我們學過直線與直線、直線與平面所成的角，但在實際問題的解決中光有線線角和線面角是不夠的。如為了使堤壩堅固耐用，大壩的上游面必須與水平面建造出適當?shù)慕嵌?；又如飛機的起飛和下降的平面要和水平面計算好精準的角度，這樣才能保證乘客的安全，為了解決像這類的實際問題，人們需要研究兩個平面所成的角的問題。那么，該怎么定義兩個平面所成的角呢？

4.2.2.2 類比發(fā)現(xiàn)創(chuàng)設問題情景

教師引導學生回顧一下，初中平面幾何中的“角”是如何定義的？

初中“角”的定義：從平面內一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角。

然后再讓學生去類比：

兩直線相交，交點把每一條直線分成兩個部分，其中的每一部分都是一條射線。

兩平面相交，交線把每一個平面分成兩個部分，其中的每一部分都叫半平面。

該如何給兩相交平面所成的角下定義呢？用類比的辦法，通過和角的概念的類比，探討了兩個相交的平面的角度（角）的定義。

4.2.2.3 類比擴展階段

從二維繪圖到三維空間，即可得“從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角?！蓖瑫r用平面角表示法類比出二面角的表示法。

4.2.2.4 表述論證階段

通過高一學習了角的概念的推廣，我們知道平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點旋轉形成的圖形；那么，類似地，二面角可以看作是一個半平面繞其界線旋轉到一定位置所得到的圖形。

4.2.2.5 結果與分析

用類比的方法來學習，既能鞏固原有的知識，又能有新的發(fā)展，即所謂的“溫故知新”；也符合學生的最近發(fā)展區(qū)原理，跳一跳夠得著；同時用類比的方法來學習也符合建構理論，人的認識不是對于客觀實在的被動的反映，而是主體以已有的知識經驗為依托所進行的主動建構的過程，用類比去學習可以把新知識納入原有的知識體系，并形成新的有機的知識網(wǎng)絡，有利于學生知識網(wǎng)絡的建構。

4.2.3 二面角的平面角的教學

4.2.3.1 展示概念背景

為了反映組成二面角的兩個半平面的相對位置即它們的開合程度，我們有必要來研究二面角的度量問題。

4.2.3.2 創(chuàng)設類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：

前面我們學過兩異面直線所成的角、斜線與平面所成的角，并研究過它們的度量問題，那么，對于二面角的大小又該如何去度量呢？我們以往是如何度量兩異面直線所成的角、斜線與平面所成的角的？分別通過“取點、平移（相交）”（對異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對斜線與平面所成的角）去度量的。這些做法的共同點都是將空間角化為平面角。

4.2.3.3 類比引申階段

將二面角的度量轉化為平面角來度量。再次用類比的方法來學習二面角的度量問題，同時也滲透了轉化和化歸的思想方法。

5 結論與總結

在數(shù)學科的學習中能用類比的地方還有很多，如空間向量與平面向量，異面直線所成的角等等。用類似于大家熟悉的概念（類比的形式可以是多種多樣，如三維和二維類比，一元二次不等式與一元二次方程的類比，和同構類例，屬性類例，方式類例等等）讓學生能了解，理解，掌握新的數(shù)學概念。不過，類比出的結論不一定正確，所以一定要引導學生去論證，不能為了節(jié)省課堂時間而跳過這個環(huán)節(jié)，否則學生也會在做題中相應地用這種思路而不驗證，從而出現(xiàn)錯誤。

類比教學蘊含著豐富的教學思想和方法，能激發(fā)學生積極主動地去探索、去比較、去分析、去歸納、去認識新事物、去發(fā)現(xiàn)新規(guī)律，充分地調動學生學習的積極性，體現(xiàn)學生學習的主體性，維護學生的創(chuàng)造力，從而滿足素質教育的要求。

參考文獻：

[1]鄭秀云.APOS理論指導下的高中數(shù)學概念教學[D].福州：福建師范大學碩士論文，2003（8）：1.

[2]嚴運華.數(shù)學概念形成的問題情景創(chuàng)設[J].教學與管理，2001（6）：10.

[3]周金生.創(chuàng)設情景 引入概念[J].西江教育論叢， 2005（6）：20.