摘 要：以常見的排列組合試題為例，分析了各種排列組合中的數(shù)學模型，以期幫助學生更快更準確地解決排列組合問題。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學模型；排列組合

排列組合問題是高考中必考的一個類型題，常常單獨命題或與概率內(nèi)容等相結合，一般以較容易題出現(xiàn)，但由于解這類問題時方法靈活，切人點多，且抽象性極強，在解題過程中發(fā)生重復或遺漏現(xiàn)象不易被發(fā)現(xiàn)，所以又成為高中學生學習的難點之一。故在解題過程中通過分類、分步把復雜問題分解，找出問題的切入點，建立合理的數(shù)學模型，將問題簡單化、常規(guī)化。

一、特殊元素優(yōu)先數(shù)學模型

對于存在特殊元素或特殊位置的排列組合問題，我們可以從這些“特殊”入手，先滿足特殊元素或特殊位置，再去滿足其他元素或其他位置，這種模型稱為“特殊元素優(yōu)先數(shù)學模型”。

例1.用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字可組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)____個。（用數(shù)字作答）

解：先安排四位偶數(shù)的個位上的數(shù)字（優(yōu)先考慮）。無重復數(shù)字的四位偶數(shù)中如果個位數(shù)是0共有C■A■個，同時如果個位數(shù)是2或4共有C■C■A■=96個，所以，重復數(shù)字的四位偶數(shù)共有60+96=156個。

點評：特殊元素優(yōu)先法是比較容易入手的一種方法，在處理此類問題時一是要注意優(yōu)先考慮有要求的特殊位置的元素，二是要注意與分步計數(shù)原理結合運用。

二、捆綁式數(shù)學模型

對于某些元素要求相鄰排列的問題，可先將相鄰元素捆綁并看作一個元素再與其它元素進行排列，同時對相鄰元素進行自排， 這種模型稱為“捆綁式數(shù)學模型”。這種模型分為兩種，一種是相鄰元素要全排列，一種是相鄰元素是組合問題，不用排列。

例2.四個工人去住旅店，旅店只剩下三個房間，要求四人中必須有兩個住在一個房間，另兩個房間各住一人，問共有多少種不同的安排方法？

解：第一步：把四個工人中的二個捆綁在一起，共有C■=6種方法；第二步：把四個工人看成三個工人進行排列，共有A■=6種方法。所以共有36種不同的安排方法。

點評：由于兩個工人在同一個房間沒有排列問題，所以不能自排。還有一種典型的錯誤排法，先在四個人中選出三個工人入住三個房間，有24種方法，再把剩下一個人放下四個房間中的任意一個，共有4種方法，故共有96種方法。請學生思考，這種方法為什么是錯誤的？

三、插空式數(shù)學模型

對于某些元素要求不相鄰排列的問題，可先排好沒有限制條件的元素，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙及兩端位置，這種模型稱為“插空式數(shù)學模型”。

四、AB型數(shù)學模型

對于一些排列組合問題，不同的元素或不同的情況只有兩種，我們可把它們視為A和B，再進行排列，這種模型稱為“AB型數(shù)學模型”。坐座位問題，射擊問題，相同的小球放入盒中的問題，方程解的個數(shù)問題等等都可以歸結為“AB型數(shù)學模型”。

例3.一個樓梯共10級臺階，每步走1級或2級，8步走完，一共有多少種走法？

解：10級臺階，要求8步走完，并且每步只能走1級或2級。顯然必須有2步中每步走2級，6步中每步走一級。記每次走1級臺階為A，記每次走2級臺階為B，則原問題就相當于在8個格子中選2個填寫B(tài)。其余的填寫A，這是一個8選2的組合問題，所以一共有28種走法。

點評：本題利用AB型數(shù)學模型，把一個實際問題映射為一個純數(shù)學問題。

提高學生解排列組合題的有效途徑之一是將一些常見題型進行方法歸類，構造模型解題。這樣有利于學生區(qū)別模式，并進而熟練運用。本文列舉了四種常見的排列組合典型問題的解題模型，希望能對大家有所幫助。

參考文獻：

[1]王雷，連四清.數(shù)學問題解決方式的比較研究[J].數(shù)學教育學報，2010.

[2]顧亞楠.排列組合中的數(shù)學思想方法[J].考試：高考理科版，2008.

作者簡介：林子碧，男，出生年月：1979.11，本科，福建省泉州市南安華僑中學，研究方向：中學數(shù)學教學。